Funkce, která má primitivní prvek

Funkce, která má primitivní funkci, je funkce, kterou lze získat jako výsledek derivování nějaké funkce. Obvykle se termín používá ve vztahu k reálným funkcím jedné reálné proměnné, definované na intervalu . Tyto funkce budou popsány dále v článku.

Definice

Nechť , kde je netriviální interval (tj. ne prázdná množina ani bod). Funkce se nazývá primitivní , jestliže . Pokud taková funkce existuje, pak říkáme, že má primitivní funkci. $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ $X\in \mathbb {R}$ $F:X\rightarrow \mathbb {R}$ $F$ $F' = f$ $F$ $F$

Příklady

Každá spojitá funkce má primitivní prvek. To vyplývá z vlastností Riemannova integrálu s horní proměnnou mez . Pomocí něj můžete snadno obnovit primitivní. Ne všechny primitivní funkce jsou však spojité. Právě tyto funkce jsou zajímavé.

Příklad 1. Omezená funkce s jednou mezerou

Nejznámější příklad nespojitě diferencovatelné funkce je následující:

G(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x)),&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases} }

Derivaci této funkce ve všech bodech kromě nuly lze vypočítat podle obvyklých pravidel derivace . Derivát na nule bude muset být vypočten podle definice:

g(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x}}-0}{x}}=\lim _{ x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x}}=0

Jeho derivát je:

g(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}),&x\neq 0;\\0 , &x=0.\end{cases}}

[jeden]

Lze snadno zkontrolovat, že tato funkce nemá žádné omezení na nule. Ve skutečnosti skládáme dvě posloupnosti inklinující k nule a tak, že nulují sinus, ale , a . Pak: $\{y_{n}\}$ $\{x_n\}$ $\cos y_{n}=1$ $\cos z_{n}=-1$

\lim _{n\to \infty }g(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0-1)=-1

\lim _{n\to \infty }g(z_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2z_{n}\sin {\dfrac {1}{z_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{z_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0+1)=1

Limita v tedy neexistuje a funkce se v ní láme. $0$

Nyní dokažme omezenost. Nechte _ Pak: $x\in (-1;1)$

\left|2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2|x|\left|\sin {\dfrac { 1}{x}}\right|+\left|\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2+1=3

Proto je funkce omezena. Pojďme najít limitu, protože argument směřuje k nekonečnu. $[-1;1]$

\lim _{x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right)=\lim _{ x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}\right)-\lim _{x\to \infty }\cos {\dfrac {1}{x}}=2 -1=1

Limita v nekonečnu je konečná, což znamená, že funkce je omezena v nějakém okolí nekonečna ( vezměte více ). Na segmentech a funkce je spojitá, zatímco funkce spojitá na segmentu je na něj omezena. Sjednocením všech těchto množin vznikne celá číselná osa a dokázali jsme, že funkce je omezena na každé z nich zvlášť, a protože jich je konečný počet, bude omezena na celé číselné ose (max. majoranti na každé sadě dají majorantovi na celé čáře ). $(-\infty ;-a)\cup (a;+\infty )$ $A$ $jeden$ $[-a;-1]$ $[a;1]$

Příklad 2. Funkce s jednou mezerou, neomezená ve svém okolí

Upravme předchozí příklad, abychom získali neomezenou funkci.

H(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\ end{cases}}

Podobně se uvažuje o jeho derivátu.

h(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-0}{x}}= \lim _{x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x^{2))}=0

h(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-{\dfrac {2}{x}}\cos {\dfrac {1} {x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases}}

[2]

Nespojitost v nule prokážeme jiným způsobem. Vezmeme posloupnost inklinující k nule , takže nuluje sinus, ale . Pak: $\{y_{n}\}$ $\cos y_{n}=1$

\lim _{n\to \infty }h(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n }^{2}}}-{\dfrac {2}{y_{n}}}\cos {\dfrac {1}{y_{n}^{2}}}\right)=\lim _{n\ do \infty }\left(0-{\frac {2}{y_{n))}\right)=\infty

To automaticky dokazuje, že funkce je neomezená v okolí nuly.

Je také zajímavé, že v bodě má funkce výraznou diskontinuitu, a ne nekonečnou. Chcete-li to zkontrolovat, stačí vzít sekvenci takovou, že vynuluje kosinus a změní sinus na jeden. Je snadné spočítat, že limita funkce je v tomto případě . Tyto dvě sekvence daly různý limit, což znamená, že neexistuje žádný limit. $0$ $0$

Příklad 3. Funkce s spočetnou množinou bodů nespojitosti

Není těžké sestavit funkci se dvěma, třemi, čtyřmi, pěti, libovolným konečným počtem bodů přerušení: stačí přidat požadovaný počet funkcí jedním bodem přerušení. Primitivní prvek pro ně pak bude součtem jejich primitivních prvků. Například funkce se třemi body přerušení:

g(x)+g(x-1)+g(x-2)

, kde je funkce příkladu 1.

G

Je logické předpokládat, že pro získání funkce se spočetnou množinou bodů nespojitosti je nutné přidat řadu takových funkcí. Zde však nastává potíž: série nemusí konvergovat. Pro získání požadované funkce je nutné nějak zajistit konvergenci této řady. Navíc není skutečností, že po tomto bude součet této řady derivací součtu řady primitivních. To vše vyžaduje další analýzu.

Vezměme si nějakou posloupnost a nějakou kladnou konvergentní číselnou řadu . Pak série $a_n$ $b_n$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}g(x-a_{n})

konverguje rovnoměrně podle Weierstrassova testu (funkce , jak si pamatujeme, je omezená). Řada primitivů $G$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}G(x-a_{n})

konverguje bodově. Větu můžete použít na derivaci řady po členech .

Spojitost ve všech bodech kromě bodů posloupnosti vyplývá z vlastností rovnoměrně konvergentních řad. Nespojitost v nezáporných celých číslech vyplývá z následující úvahy. Pro každé takové číslo můžete vyhodit výraz, který je v něm nesouvislý. Zbývající členy jsou spojité a jejich součet je také spojitý. Součet funkce, která je nespojitá a spojitá v bodě, je nespojitá. [3] $a_n$

Graf ukazuje takovou funkci pro posloupnost racionálních čísel a geometrickou posloupnost jako řadu.

Vlastnosti

Pro libovolnou funkci, která má primitivní funkci, je splněna vlastnost střední hodnoty: nechť doména definice zahrnuje body a . Pak $x_{1}$ $x_{2}$

\forall \eta \in (f(x_{1}),f(x_{2}))\ \exists \xi \in (x_{1},x_{2}):f(\xi ) =\eta

[čtyři]

Všechny body nespojitosti (body, kde je funkce definována, ale ne spojitá) jsou významné. [5]
Jednostranná limita v bodě v oboru definice nemůže být nekonečná. Pokud je bod bodem nespojitosti, pak alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje.
Bilaterální, levá a pravá množiny nejistot pro libovolný bod definičního oboru jsou segmentem prodloužené reálné čáry. Segmenty mohou být libovolné, kromě jednobodových, obsahujících pouze nekonečno. Pravá a levá sada nejistot se nemusí shodovat.
Pokud je definičním oborem funkce interval nebo poloviční interval, pak má limitní bod, který není zahrnut v definičním oboru. Limita v takovém bodě už může být nekonečná. Množina nejistot takového bodu je také segmentem prodloužené reálné čáry, ale tentokrát jsou povoleny jednobodové segmenty pouze s nekonečnem.
Hodnota v libovolném bodě definičního oboru je vždy částečná limita na obou stranách (pokud je bod koncovým bodem, pak na jedné straně). [6]
Funkce, které mají primitivní funkci, jsou v první třídě Baer . [7]
Množina bodů nespojitosti funkce, která má primitivní funkci, je -množina první Baerovy kategorie . Navíc jakákoli -množina první Baerovy kategorie je množinou bodů nespojitosti nějaké funkce, která má primitivní funkci. [osm] $G_\delta$ $G_\delta$

Integrace

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál funkce je z definice množinou všech jejích primitivních funkcí. Proto každá funkce, která má primitivní funkci, má také neurčitý integrál.

Všechny primitivní funkce se liší konstantou a každá funkce, která se od některé primitivní funkce liší konstantou, je také primitivní. Neurčitý integrál je tedy množina získaná přičtením všech možných konstant k nějaké primitivní, tj.

\int f(x)\,dx=F(x)+C

Pro naplnění této vlastnosti hraje velkou roli to, co je definováno na intervalu. Pokud v definici připustíme, aby definičním oborem nebyl interval, ale sjednocení neprotínajících se netriviálních intervalů, pak se již primitivní funkce nebudou muset lišit o konstantu. Na každém z intervalů definičního oboru je rozdíl mezi primitivními deriváty konstantou, avšak na různých intervalech mohou být tyto konstanty různé. To znamená, nechť je definováno na , kde jsou neprotínající se netriviální intervaly a žádné dva z nich nelze spojit do intervalu. Pak $F$ $F$ ${\displaystyle X=X_{1}\cup \ldots \cup X_{n))$ ${\displaystyle X=X_{1},\ldots ,X_{n))$

\int f(x)\,dx={\begin{cases}F(x)+C_{1},&x\in X_{1}\\\cdots \\F(x)+C_{n },&x\in X_{n}.\end{cases}}

Konstanty zde procházejí všemi možnými hodnotami. ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n))$

Poznámky

↑ Bruckner, 1978 , s. 45.
↑ Bruckner, 1978 , s. 73.
↑ Bruckner, 1978 , s. 47.
↑ Bruckner, 1978 , s. 3.
↑ Bruckner, 1978 , s. čtyři.
↑ Bruckner, 1978 , s. 9.
↑ Bruckner, 1978 , s. 12.
↑ Bruckner, 1978 , s. 46.

Literatura

Bruckner A.M. Diferenciace reálných funkcí . - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1978. - 251 s. — (Poznámky z matematiky). - ISBN 978-3-540-35776-6 .