Weierstrassova funkce

Weierstrassova funkce je příkladem spojité funkce , která nemá nikde derivaci ; protipříklad pro Ampèrovu domněnku .

Weierstrassova funkce je dána na celé reálné čáře jediným analytickým výrazem

w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x),

kde je libovolné liché číslo , které se nerovná jedné a je kladné číslo menší než jedna. Tato funkční řada je majorizována konvergentními číselnými řadami $A$ $b$

\sum _{n=0}^{\infty }b^{n},

proto je funkce definovaná a spojitá pro všechny reálné . Tato funkce však nemá derivaci, alespoň pro $w$ $X$

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.

Chcete - li dokázat nepřítomnost derivace v libovolném bodě , sestrojte dvě posloupnosti a , konvergující k bodu , a dokažte , že vztahy $x_{0}$ $\{x_{m}\}$ $\{y_{m}\}$ $x_{0}$

{\displaystyle {\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0))))

{\displaystyle {\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0))))

mít různá znamení alespoň když

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1

a .

a>1

Tyto sekvence lze definovat jako

{\displaystyle x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m))))

y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m))},

kde je nejbližší celé číslo k . $\gamma _{m}$ ${\displaystyle a^{m}x_{0))$

Absence derivace ve všech bodech za obecnějších podmínek

ab\geqslant 1

a>1

byla založena Hardym . [jeden]

Historické pozadí

V roce 1806 se Ampère [2] pokusil analyticky dokázat, že každá „libovolná“ funkce je všude diferencovatelná kromě „výjimečných a izolovaných“ hodnot argumentu. Zároveň byla brána jako samozřejmá možnost rozdělit interval změny argumentu na části, ve kterých by byla funkce monotónní. S těmito výhradami lze Amperovu domněnku považovat za nepřísnou formulaci Lebesgueova teorému [3] . V první polovině 19. století byly učiněny pokusy dokázat Ampérův dohad pro širší třídu, a to pro všechny spojité funkce. V roce 1861 dal Riemann svým posluchačům jako protipříklad následující funkci:

r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2))},

studium diferencovatelnosti této funkce je však nesmírně obtížné. Joseph Gerver dokázal , že tato funkce má stále ještě derivaci v některých racionálních bodech až v roce 1970 [ 4] .

V roce 1872 Weierstrass navrhl svůj vlastní protipříklad, funkci popsanou výše , a předložil rigorózní důkaz její nediferencovatelnosti [5] . Tento příklad se poprvé objevil v tisku v roce 1875 v díle P. Dubois-Reymonda [6] . $w$

Dalším příkladem je van der Waerden (1930):

v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}},

kde složené závorky znamenají převzetí zlomkové části. [7]

Poznámky

↑ Nediferencovatelná funkce Hardyho GH Weierstrasse // Trans-Amer. Matematika. Soc 17 (1916), str. 301-325. Weierstrass však toto prohlášení také zmínil v dopise Dubois-Reymondovi v roce 1873, viz: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moskva: Nauka, 1985. s. 229.
↑ Ampère, A. M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Obr. F., S.-Nagy B. Přednášky o funkcionální analýze. M.: Mir, 1979. S. 13.
↑ Gerver J. // American Journal of Mathematics, Vol. 92, č.p. 1 (leden, 1970), str. 33-55 Archivováno 24. března 2016 na Wayback Machine .
↑ Zpráva Weierstrassova, přečtená v Pruské akademii věd 18. července 1872, publikovaná v sebraných pracích (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
↑ Du Bois-Reymond R. // J. fur Math., 79 (1875), str. 21-37; Weierstrass byl redaktorem tohoto časopisu a uvedl svůj protipříklad v dopise Dubois-Reymondovi z 23. listopadu 1873, viz: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moskva: Nauka, 1985. s. 229.
↑ Van der Waerden B. L. // Matematika. Zeitschr.32 (1930), str. 474-475.

Literatura

Weierstrass K. Math. Werke . bd. 2. Berlín, 1895. Abh. 6.
Obr. F., S.-Nagy B. Přednášky o funkcionální analýze. M.: Mir, 1979.
Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moskva: Nauka, 1985.