Funkce Mangold

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. dubna 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Mangoldtova funkce je aritmetická funkce rovna if je mocnina prvočísla , jinak . Krátce: $\Lambda (n)$ $\ln str$ $n=p^{m}$ $\Lambda (n)=0$

\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{cases))

Mangoldtovu funkci navrhl v roce 1894 X. Mangoldt . Používá se k prokázání zákona rozdělení prvočísel obecně a v aritmetických posloupnostech.

Vlastnosti

Z definice vyplývá, že

\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n

Pomocí Möbiova inverzního vzorce z předchozího vzorce získáme

\Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d))=-\sum \limits _{d\mid n} \mu (d)\ln d

Vztah k rozdělení prvočísel

Vztah k Riemannově zeta funkci : $\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n)),\ \ jméno operátora {Re} s>1$
$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{ n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$
Podobné vztahy platí také pro Dirichletovy L-funkce :

\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ ln n}},\ \operatorname {Re} s>1

-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi ( n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1

$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n))\sim \ln x$
$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n))=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x)))}),$ kde je Eulerova konstanta $\gamma$
Čebyševova funkce psi je sumační funkcí Mangoldtovy funkce

\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)

Perronův vzorec aplikovaný na předchozí vztah dává

{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)} {x^{1+s}}}dx,\ \operatorname {Re} s>1

Literatura

Prahař. Rozdělení prvočísel. — M .: Mir, 1967.