Charakteristické číslo (integrální rovnice)

Charakteristickým číslem jádra integrální rovnice je komplexní hodnota , při které Fredholmova homogenní integrální rovnice druhého druhu $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy

má netriviální (tj. ne identicky nulové) řešení , nazývané vlastní funkce . Zde je oblast v , je jádro integrální rovnice . Charakteristická čísla jsou převrácené hodnoty vlastních hodnot integrálního operátoru s jádrem [1] . Hodnoty , které nejsou charakteristickými čísly, se nazývají regulární . If je regulární hodnota, Fredholmova integrální rovnice druhého druhu $\varphi(x)$ $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x, y)$ $K(x, y)$ $\lambda$ $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x)

má jedinečné řešení pro jakýkoli volný termín ; charakteristická čísla jsou "singulární body", ve kterých neexistuje řešení nebo existuje nekonečně mnoho řešení v závislosti na volném členu [2] . $f(x)$ $f(x)$

Vlastnosti

Charakteristická čísla spojitého jádra mají následující vlastnosti:

Množina charakteristických čísel je spočetná a nemá žádné konečné mezní body .
Násobnost charakteristického čísla je počet lineárně nezávislých vlastních funkcí, které mu odpovídají. Násobnost každého charakteristického čísla je konečná.
Z prvních dvou vlastností vyplývá, že charakteristická čísla lze očíslovat vzestupně podle jejich modulu :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\tečky,

při opakování čísla tolikrát, kolikrát je jeho násobek. $\lambda_k$

$\bar \lambda_1, \, \bar \lambda_2, \tečky$ jsou všechna charakteristická čísla sjednocovacího jádra . $K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$
Jestliže a , , to je, a jsou vlastní funkce jader resp ., pak jsou vlastní funkce ortogonální v prostoru . $\lambda_k \ne \lambda_i$ $\varphi_k = \lambda_k K \varphi_k$ $\psi_i = \bar \lambda_i K^* \psi_i$ $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$ $L_2(G)$
Opakované jádro má charakteristická čísla a stejné vlastní funkce jako jádro . $K_p(x, y)$ $\lambda_k^p$ $\varphi_k$ $K(x, y)$
Naopak, jestliže a je charakteristické číslo a odpovídající vlastní funkce opakovaného jádra , pak alespoň jeden z kořenů rovnice je charakteristické číslo jádra [3] . $\mu$ $\varphi$ $K_p(x, y)$ $\lambda_j, \, j = 1, 2, \tečky, p,$ $\lambda^p = \mu$ $K(x, y)$
Množina charakteristických čísel hermitovského spojitého jádra není prázdná a nachází se na reálné ose , systém vlastních funkcí lze zvolit ortonormální [4] .
Charakteristická čísla se shodují s póly rezolventa [2] .
Degenerované jádro má konečný počet charakteristických čísel [5] .
Souvislé jádro Volterry nemá žádná charakteristická čísla [6] .

Viz také

Poznámky

↑ Vladimirov V.S. Rovnice matematické fyziky, 1981 , s. 271.
↑ 1 2 Krasnov M. L. Integrální rovnice, 1975 , str. 35.
↑ Vladimirov V.S. Rovnice matematické fyziky, 1981 , kapitola IV, §18, s. 4.
↑ Vladimirov V.S. Rovnice matematické fyziky, 1981 , s. 306.
↑ Vladimirov V.S. Rovnice matematické fyziky, 1981 , s. 292.
↑ Vladimirov V.S. Rovnice matematické fyziky, 1981 , s. 280.

Literatura

Vladimirov VS Rovnice matematické fyziky. - Ed. 4. - M . : Věda, kap. vyd. Fyzikální matematika lit., 1981. - 512 s.
Krasnov M. L. Integrální rovnice. (Úvod do teorie). - M . : Věda, kap. vyd. Fyzikální matematika lit., 1975.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. Příručka integrálních rovnic: Metody řešení. - M .: Factorial Press, 2000. - 384 s. - ISBN 5-88688-046-1 .