Centrální binomický koeficient

V matematice je n-tý centrální binomický koeficient definován následujícím výrazem z hlediska binomických koeficientů

{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}

pro všechny .

n\geq 0

Své jméno dostaly díky tomu, že jsou přesně uprostřed sudých řad v Pascalově trojúhelníku . Prvních několik centrálních binomických koeficientů je napsáno níže, počínaje n = 0:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... OEIS sekvence A000984

Vlastnosti

Funkce generování :

{\frac {1}{{\sqrt {1-4x))))=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .

Podle Stirlingova vzorce dostaneme:

{2n \vyberte n}\sim {\frac {4^{n}} ({\sqrt {\pi n))))

v .

n\rightarrow\infty

Užitečná omezení:

{\frac {4^{n}}{{\sqrt {4n}}}}\leq {2n \vyberte n}\leq {\frac {4^{n}}{{\sqrt {3n+1}} }}

pro každého

n\geq 1

Pokud je potřeba větší přesnost:

{2n \choose n}={\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n}}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)

kde pro všechny .

{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}

n\geq 1

S tímto pojmem úzce souvisí i tzv. Katalánská čísla , C n . Jejich vzorec:

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \vyberte n}={2n \vyberte n}-{2n \vyberte n+1}

pro všechny .

n\geq 0

Za zobecnění centrálních binomických koeficientů lze považovat čísla , pro všechna reálná n, pro která je výraz definován, kde je funkce gama , a to je funkce Beta . ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2))}={\frac {1}{n\mathrm{B} (n+1,n)))$ $\gamma (x)$ $\mathrm{B} (x,y)$

Viz také

Erdősův předpoklad pravoúhlosti

Centrální binomický koeficient

Vlastnosti

Viz také

Odkazy