Číslo bez čtverce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. června 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

V matematice je číslo bez čtverce nebo bez čtverce číslo , které není dělitelné žádným čtvercem kromě 1. Například 10 je bez čtverců, ale 18 není, protože 18 je dělitelné 9 = 3 2 . Začátek posloupnosti čísel bez čtverců je:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... OEIS sekvence A005117

Teorie prstenců zobecňuje pojem pravoúhlosti takto:

Prvek r faktoriálního kruhu R se nazývá bez čtverce, pokud není dělitelný netriviálním čtvercem.

Bezčtvercové prvky lze také charakterizovat z hlediska jejich rozkladu: libovolný nenulový prvek r lze reprezentovat jako součin prvočísel

{\displaystyle r=\varepsilon p_{1}p_{2}\cdots p_{n))

navíc, všechny prvočinitele p i jsou různé a jde o nějakou identitu ( invertibilní prvek ) kruhu. $\varepsilon$

Ekvivalentní charakteristika čísel bez čtverců

Kladné číslo n je prosté čtverců právě tehdy, když se žádné prvočíslo neobjeví více než jednou při rozkladu tohoto čísla na prvočinitele . Jiný způsob, jak to vyjádřit, je: pro libovolného prvočíselného dělitele p z n , p nedělí n / p . Nebo, číslo n je čtvercové-volné právě tehdy a jen tehdy , když pro jeho rozklad n = ab jsou faktory aab coprime .

Kladné číslo n je bez čtverce právě tehdy, když , kde značí Möbiovu funkci . $\mu (n)\neq 0$ $\mu(n)$

Dirichletova řada , generující čísla bez čtverců:

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}

kde je Riemannova funkce zeta .

\zeta (s)

To je okamžitě zřejmé z produktu Euler :

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{ -s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).

Kladné číslo n je bez čtverce právě tehdy, když jsou všechny abelovské skupiny řádu n navzájem izomorfní, což platí právě tehdy, když jsou všechny cyklické . Vyplývá to z klasifikace finitely generovaných abelovských grup .

Kladné číslo n je bez čtverce právě tehdy, když je prstenec podílu (viz modulo kongruence ) součin polí . To vyplývá z čínské věty o zbytku a skutečnosti, že prstenec je pole právě tehdy, když k je prvočíslo. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Pro libovolné kladné číslo n je množina všech jeho kladných dělitelů částečně uspořádanou množinou , vezmeme-li jako řád vztah "dělitelnosti". Tato částečně uspořádaná sada je vždy distribuční mřížkou . Je to booleovská algebra právě tehdy, když n je bez čtverce.

Radikál celého čísla je vždy bez druhých mocnin.

Hustota čísel bez čtverců

Let určuje počet čísel bez čtverců mezi 1 a x . Pro velké n nejsou 3/4 kladných čísel menších než n dělitelné 4, 8/9 těchto čísel není dělitelných 9 atd. Protože tyto události jsou nezávislé, dostaneme vzorec: $Q(x)$

{\displaystyle Q(x)\přibližně x\prod _{p\ {\text{prime))}\left(1-{\frac {1}{p^{2))}\right)=x\prod _{p\ {\text{prime))}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2))})^{-1))))

Q(x)\přibližně x\prod _{p\ {\text{prime))}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2))}+{\ frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2} }}}}={\frac {x}{\zeta (2)))

Vzorec můžete získat bez funkce zeta:

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2 }}}+O\left({\sqrt {x}}\vpravo)

(viz pí a "O" velké a "o" malé ). Podle Riemannovy hypotézy lze odhad zlepšit: [1]

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)))+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\vpravo).

Takto se na webu OEIS chová rozdíl mezi počtem čísel bez čtverců do n : A158819 - (Počet čísel bez čtverců ≤ n ) mínus round( n /ζ(2)). $\left[{\frac {n}{\zeta (2)))\right]$

Asymptotická hustota čísel bez čtverců tedy vypadá takto:

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{ \zeta(2)}}

Kde je Riemannova zeta funkce a (to znamená, že přibližně 3/5 všech čísel je bez čtverců). $\zeta$ $1/\zeta (2)\cca 0,6079$

Podobně if znamená počet n -volných čísel (tj. 3-volná čísla neobsahují kostky) mezi 1 a x , pak: $Q(x,n)$

Q(x,n)={\frac {x}{\součet _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n))))}+O\left ({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)))+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right ).

Binární kódování

Reprezentujeme-li číslo bez čtverce jako nekonečný součin tvaru

\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n)),

kde , a je n-té prvočíslo, pak můžeme zvolit tyto koeficienty a použít je jako binární bity: $a_{n}\in \{0,1\},$ $p_n$ $a_n$

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}

Například číslo bez čtverce 42 se rozloží jako 2 × 3 × 7 nebo jako nekonečný součin: 2 1 3 1 5 0 7 1 11 0 13 0 …; Číslo 42 je tedy zakódováno posloupností ...001011 nebo 11 v desítkové soustavě. (V binárním kódování se bity zapisují obráceně.) A protože prvočíselná rozklad každého čísla je jedinečný, je jedinečný i binární kód každého čísla bez čtverců.

Platí to i obráceně: protože každé kladné číslo má jedinečný binární kód, lze jej dekódovat a získat tak jedinečná čísla bez čtverců.

Vezměme si jako příklad opět číslo 42 – tentokrát jen jako kladné číslo. Pak dostaneme binární kód 101010 - to znamená: 2 0 3 1 5 0 7 1 11 0 13 1 = 3 × 7 × 13 = 273.

Z hlediska kardinalit to znamená, že mohutnost množiny čísel bez čtverců je stejná jako mohutnost množiny všech přirozených čísel. Což zase znamená, že kódování čísel bez čtverců v pořadí jsou přesně permutací množiny přirozených čísel.

Viz sekvence A048672 a A064273 na webu OEIS .

Erdősova domněnka

Centrální binomický koeficient nemůže být bez čtverců pro n > 4. ${2n \choose n}$

Tento Erdősův předpoklad pravoúhlosti prokázali v roce 1996 matematici Olivier Ramare a Andrew Graville.

Viz také

Möbiova funkce

Literatura

Bukhshtab A. A. Teorie čísel. - M .: Vzdělávání, 1966. - 385 s.

Poznámky

↑ Ťia, Chao Hua. "Rozdělení čísel bez čtverců", Science in China Series A: Mathematics 36 :2 (1993), str. 154-169. Citováno v Pappalardi 2003, A Survey on k -freeness Archived 3. března 2016 na Wayback Machine ; viz také Kaneenika Sinha, „ Průměrné objednávky určitých aritmetických funkcí Archivováno 14. února 2012 na Wayback Machine “, Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21 :3 (2006), str. 267-277.

Čísla podle charakteristik dělitelnosti
Obecná informace	Faktorizace celých čísel Dělitelnost unitární dělitel Funkce děliče prvočíslo Základní teorém aritmetiky Aritmetické číslo
Faktorizační formy	prvočíslo Složené číslo Semiprime obdélníkové číslo Sfénické číslo Číslo bez čtverců Plný násobek Perfektní stupeň Achillovo číslo hladké číslo Běžné číslo hrubé číslo neobvyklé číslo
S omezenými děliteli	dokonalé číslo Poněkud nedostatečná čísla Trochu nadbytečná čísla Multiperfektní číslo Hemiperfektní čísla hyperdokonalé číslo super dokonalé číslo unitární prvočíslo polodokonalé číslo pararytmické číslo Erdős-Nicolasovo číslo
Čísla s mnoha děliteli	Přebytečná čísla Primitivní nadbytečná čísla Vysoce nadbytečná čísla Super redundantní čísla Velmi nadbytečná čísla superkompozitní číslo Vysoce superkompozitní číslo podivné číslo
Souvisí s alikvotními sekvencemi	posvátné číslo přátelská čísla veřejná čísla Kvazi přátelská čísla
jiný	Nedostatek čísel čísla kamarádů sublimovaná čísla Rudná čísla skromné číslo Stejné číslice extravagantní číslo