Extrémní

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. května 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Extrém ( lat. extremum - extrém ) v matematice - maximální nebo minimální hodnota funkce na dané množině . Bod, ve kterém je dosaženo extrému, se nazývá bod extrému . Podle toho, pokud je dosaženo minima, extrémní bod se nazývá minimální bod a pokud maximum se nazývá maximální bod . V matematické analýze se také rozlišuje pojem lokální extrém (resp. minimum nebo maximum) .

Problémy s hledáním extrému se objevují ve všech oblastech lidského poznání: teorie automatického řízení , problémy ekonomie , biologie , fyziky atd. [1]

Definice

Nechť funkci a být vnitřním bodem definičního oboru $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\v M^{0}$ $F.$

$x_{0}$ se nazývá lokální maximální bod funkce , pokud existuje proražené okolí takové, že $F,$ ${\tečka {U}} (x_{0})$ $\forall x\in {\tečka {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ se nazývá lokální minimální bod funkce , pokud existuje proražené okolí takové, že $F,$ ${\tečka {U}} (x_{0})$ $\forall x\in {\tečka {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

$x_{0}$ se nazývá globální (absolutní) maximální bod, jestliže $\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ se nazývá globální (absolutní) minimální bod, jestliže $\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

Pokud jsou výše uvedené nerovnosti přísné, pak se nazývá bod přísného lokálního nebo globálního maxima nebo minima. $x_{0}$

Hodnota funkce se nazývá (striktní) lokální nebo globální maximum nebo minimum. Body, které jsou body (lokálního) maxima nebo minima, se nazývají body (lokálního) extrému. $f(x_{0})$

Poznámka

Funkce definovaná na množině nemusí mít žádný lokální nebo globální extrém. Například, $F,$ $M,$ $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

Nezbytné podmínky pro existenci lokálních extrémů

Z Fermatova lemmatu [2] vyplývá :

Nechť bod je extrémní bod funkce definované v nějakém okolí bodu .

x_{0}

F

x_{0}

Pak buď derivace neexistuje, nebo .

f'(x_{0})

f'(x_{0})=0

Tyto podmínky nejsou dostatečné, takže funkce může mít v bodě nulovou derivaci, ale tento bod nemusí být extrémním bodem, ale může být, řekněme, inflexním bodem , jako je bod (0,0) funkce . $f(x)=x^{3}$

Dostatečné podmínky pro existenci lokálních extrémů

Nechť je funkce spojitá a existují konečné nebo nekonečné jednostranné derivace . Pak pod podmínkou $f\in C(x_{0})$ $x_{0}\v M^{0},$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0

$x_{0}$ je bodem přísného lokálního maxima. Co když

f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,

pak je to bod přísného místního minima. $x_{0}$

Všimněte si, že v tomto případě není funkce nutně v bodě diferencovatelná . $x_{0}$

Nechť je funkce spojitá a dvakrát diferencovatelná v bodě . Pak pod podmínkou $F$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0

f''(x_{0})<0

$x_{0}$ je místní maximální bod. Co když

f'(x_{0})=0

f''(x_{0})>0

což je místní minimální bod. $x_{0}$

Nechť funkce je diferencovatelné časy v bodě a , a . $F$ $n$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\tečky =f^{{(n-1)}}(x_{0})=0$ $f^{{(n)}}(x_{0})\neq 0$

Jestliže a je sudé , pak je místní maximální bod. Jestliže a je sudé , pak je místní minimální bod. Pokud je to liché, pak neexistuje žádný extrém. $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})<0$ $x_{0}$ $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})>0$ $x_{0}$ $n$

Viz také

Poznámky

↑ Pšenice, 1969 , s. 7.
↑ Kudryavtsev L. D. Matematická analýza. - 2. vyd. - M . : Vyšší škola , 1973. - T. 1.

Literatura

Pšenice B.N. Nutné podmínky pro extrém. — M .: Nauka, 1969. — 150 s.