Elipsoidní souřadnice

Elipsoidální souřadnice - trojrozměrný ortogonální souřadnicový systém , který je zobecněním dvourozměrného eliptického souřadnicového systému . Tento souřadnicový systém je založen na použití konfokálních ploch druhého řádu . $(\lambda ,\mu ,\nu )$

Základní vzorce

Kartézské souřadnice se získají z elipsoidních souřadnic pomocí rovnic $(x,y,z)$ $(\lambda ,\mu ,\nu )$

x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+ \nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right))),

y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+ \nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right))),

z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+ \nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right))),

zatímco na souřadnice jsou uvalena omezení

-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.

Plochy s konstantou jsou elipsoidy : $\lambda$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,

Plochy s konstantou jsou jednovrstvé hyperboloidy $\mu$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,

protože poslední člen je záporný a plochy s konstantou jsou dvouvrstvé hyperboloidy $\nu$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1,

protože poslední dva termíny jsou záporné.

Při konstrukci elipsoidních souřadnic se používají konfokální plochy druhého řádu.

Faktory měřítka a diferenciální operátory

Pro stručnost v níže uvedených rovnicích zavedeme funkci

S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \ vpravo)\left(c^{2}+\sigma \right),

kde může představovat kteroukoli z veličin . Pomocí této funkce můžeme zapisovat faktory měřítka $\sigma$ $(\lambda ,\mu ,\nu )$

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{ S(\lambda )}}},

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{ S(\mu )}}},

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{ S(\nu )}}}.

Proto lze nekonečně malý elementární objem zapsat jako

dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {- S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu ,

a Laplacián má podobu

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \ vpravo))){\frac {\částečný }{\částečný \lambda ))\levý[{\sqrt {S(\lambda ))){\frac {\částečný \Phi }{\částečný \lambda ))\vpravo ]\ +

+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right))){\frac { \partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu ))){\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac { 4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right))){\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu ))){\frac {\částečné \Phi }{\částečné \nu }}\vpravo].

Jiné diferenciální operátory, jako a , lze vyjádřit v souřadnicích dosazením měřítek do obecných vzorců pro ortogonální souřadnice. $\nabla \cdot \mathbf {F}$ $\nabla \times \mathbf {F}$ $(\lambda ,\mu ,\nu )$

Viz také

Focaloid (skořepina definovaná dvěma souřadnicovými plochami)

Literatura

Morse PM, Feshbach H. Metody teoretické fyziky, část I (neopr.) . - New York: McGraw-Hill Education , 1953. - S. 663.
Zwillinger D. Handbook of Integration (neurčité) . — Boston, MA: Jones a Bartlett, 1992. - S. 114. - ISBN 0-86720-293-9 .
Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - New York: Springer Verlag , 1967. - S. 101-102.
Korn GA, Korn TM Matematická příručka pro vědce a inženýry (anglicky) . - New York: McGraw-Hill Education , 1961. - S. 176.
Margenau H., Murphy GM Matematika fyziky a chemie (nespecifikováno) . - New York: D. van Nostrand, 1956. - S. 178-180 .
Moon PH, Spencer DE Elipsoidální souřadnice (η, θ, λ) // Příručka teorie pole, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení . opraveno 2., 3. tisk. - New York: Springer Verlag , 1988. - S. 40-44 (tabulka 1.10). — ISBN 0-387-02732-7 .

Odkazy

Popis konfokálních elipsoidních souřadnic na MathWorld

Souřadnicové systémy
Název souřadnic	Úsečka Ordinovat Nášivka
Typy souřadnicových systémů	Přímočarý souřadnicový systém Křivočarý souřadnicový systém
2D souřadnice	Dvojúhelníkové souřadnice Bicentrické souřadnice Hyperbolické souřadnice Polární souřadnice Bipolární souřadnice Parabolické souřadnice Eliptické souřadnice Tetracyklické souřadnice Trilineární souřadnice
3D souřadnice	Válcové souřadnice Sférické souřadnice Bisférické souřadnice Toroidní souřadnice Válcové parabolické souřadnice Bicylindrické souřadnice Elipsoidní souřadnice Kuželové souřadnice Pentasférické souřadnice Dipolární souřadnicový systém
$n$ -rozměrné souřadnice	Kartézské souřadnice Afinní souřadnice Projektivní souřadnice Plückerovy souřadnice barycentrické souřadnice
Fyzické souřadnice	Rindlerovy souřadnice Rodné souřadnice Nebeský souřadnicový systém Zeměpisné souřadnice Hlavní ortodromický souřadnicový systém
Související definice	Souřadnicová metoda Původ Souřadnicová osa Vektor Orth referenční systém Benchmark Kulhavé koeficienty Metrický tenzor