Endomorfismus

Endomorfismus je morfismus objektu kategorie do sebe, v kontextu univerzální algebry je to homomorfismus , který mapuje algebraický systém do sebe.

V jakékoli kategorii je složení dvou endomorfismů také endomorfismem, složení je asociativní a existuje identický endomorfismus. Z toho vyplývá, že všechny endomorfismy pro objekt tvoří monoid , který se označuje (nebo pro zdůraznění kategorie ). $X$ $X$ $\operatorname {Konec} (X)$ $\operatorname {End}_{C}(X)$ $C$

Reverzibilní endomorfismus (mající vlastnosti izomorfismu ) se nazývá automorfismus . Množina automorfismů je podmnožinou s přirozenou grupovou strukturou a označuje se . $\operatorname {Konec} (X)$ $\operatorname {Aut} (X)$

Podle pravidla lze přidat libovolné dva endomorfismy abelovské grupy . S přidáním definovaným tímto způsobem, endomorphisms nějaké abelian skupiny tvoří prsten volal endomorphism prsten . Například endomorfismy volné abelovské grupy jsou kruhem všech matic s celočíselnými koeficienty. Endomorfismy vektorového prostoru nebo modulu také tvoří prstenec, stejně jako endomorfismy jakéhokoli objektu preaditivní kategorie . Endomorfismy komutativního monoidu tvoří semiring , zatímco endomorfismy nekomutativní skupiny tvoří strukturu známou jako blízký prsten . $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ ${\mathbb Z}^{n}$ $n\krát n$

Literatura

Nathan Jacobson . Základní algebra (neurčitá) . — 2. - Dover, 2009. - Svazek 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
McLane S. Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .