Pareto efektivní distribuce bez závisti

Efektivita a rovnost jsou dva hlavní cíle ekonomie blahobytu . Vzhledem k množině zdrojů a množině agentů je cílem alokovat zdroje mezi agenty tak, aby to bylo Pareto efektivní ( PE ) a bez závisti ( EF) . Cíl poprvé identifikovali David Schmeidler a Menahem Yaari [1] . Později byla existence takových distribucí prokázána pro různé podmínky.

Existence distribuce STEP

Budeme předpokládat, že každý agent má preferenční vztah na množině všech sad produktů. Předvolby jsou úplné, přechodné a uzavřené. Ekvivalentně může být každý preferenční vztah reprezentován spojitou funkcí užitku [2] .

Slabě konvexní preference

Věta 1 (variant) [3] : Pokud jsou preference všech agentů konvexní a přísně monotónní , pak existuje Paretova efektivní distribuce bez závisti (EPBZ distribuce).

Důkaz : Důkaz se opírá o existenci konkurenční rovnováhy se stejnými příjmy. Předpokládejme, že všechny zdroje v ekonomice jsou rovnoměrně rozděleny mezi agenty. To znamená, že pokud je celkový fond ekonomiky roven , každý agent obdrží počáteční fond ve výši . $E$ $i\in 1,\tečky ,n:$ $E_{i}=E/n$

Protože preference jsou konvexní , z modelu Arrow-Debreu vyplývá, že existuje konkurenční rovnováha. To znamená, že existuje cenový vektor a rozdělení sady , pro které $P$ $X$

(CE) Všichni agenti maximalizují užitek podle rozpočtu. Tedy pokud , tak . ${\displaystyle P\cdot Y\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i))$
(EI) Všichni agenti mají stejný příjem za rovnovážné ceny: pro všechny . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j))$

U takové distribuce se vždy žádná závist nekoná. Důkaz: podle podmínky (EI) pro jakýkoli . Tedy podle podmínky (CE) . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{j}\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\displaystyle X_{j}\preceq _{i}X_{i))$

Protože preference jsou monotónní , každá taková distribuce je také Pareto účinná, protože monotónnost implikuje místní nenasycenost . Viz Základní teorémy ekonomie blahobytu .

Příklady

Všechny příklady používají dva statky , x a y , a dva agenty, Alice a Bob . Ve všech příkladech jsou utility slabě konvexní a spojité.

A. Mnoho alokací EHP: Celkový fond je (4.4). Alice a Bob mají lineární funkce užitku reprezentované substituty :

u_{A}(x,y)=2x+y

u_{B}(x,y)=x+2y

Všimněte si, že nástroje jsou slabě konvexní a přísně monotónní. Existuje několik distribucí ESTP. Pokud Alice získá alespoň 3 jednotky produktu x, pak její užitečnost je 6 a nežárlí na Boba. Podobně, pokud Bob získá alespoň 3 jednotky součinu y, nežárlí na Alici. Distribuce [(3,0);(1,4)] je tedy EFSP s utilitami (6,9). Podobně distribuce [(4,0);(0,4)] a [(4,0,5);(0,3,5)] jsou EFFI. Na druhou stranu distribuce [(0,0);(4,4)] je pareto efektivní, ale je přítomna závist (Alice žárlí na Boba). U distribuce [(2,2);(2,2)] sice není závist, ale není Paretově efektivní (utility se rovnají (6,6), ale lze je vylepšit např. na ( 8,8)).

B. V podstatě jediná alokace STEP: Celkové prostředky se rovnají (4.2). Alice a Bob mají Leontief užitečné funkce představující doplňkové zboží :

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

Všimněte si, že nástroje jsou slabě konvexní a pouze slabě monotónní. Stále existuje distribuce STEP. Stejné rozdělení [(2,1);(2,1)] je EVAP s vektorem užitku (1,1). Absence závisti je zřejmá (jakékoli totožné rozdělení vede k absenci závisti). Pokud jde o Paretovu účinnost, povšimněte si, že oba agenti chtějí pouze y, takže jediný způsob, jak agent získat užitečnost, je vzít něco od druhého agenta, ale tím se sníží užitečnost pro druhého agenta. Ačkoli existují další distribuce EOPS, jako je [(1.5,1);(2.5,1)], všechny mají stejný vektor užitku (1,1), takže neexistuje způsob, jak oba agenti získat více než 1 [ 4] .

Topologické podmínky na prostoru efektivních rozdělení

Distribuce EPBZ existují, i když preference agentů nejsou konvexní. Existují určité dostatečné podmínky týkající se tvaru sady rozvodů odpovídajících konkrétním konfiguracím sítě. Je-li daný vektor utilit u, definujte A(u) = množinu všech alokací, pro které se utility rovnají u. Níže je několik teorémů navržených různými autory:

Věta 2 (variant) [5] : Předpokládejme, že všechny preference všech agentů jsou přísně monotónní . Pokud je pro jakoukoli slabě Paretovu efektivní konfiguraci utility u množina A(u) singletonová (to znamená, že neexistují dvě slabě Paretově efektivní distribuce, takže mezi nimi všichni agenti nerozlišují), pak existuje distribuce EPBZ.

Důkaz používá Knaster-Kuravtosky-Mazurkiewicz lemma .

Poznámka : Podmínky ve Větě 1 a Větě 2 jsou nezávislé – žádná z nich nevyplývá z druhé. Obojí však vyplývá z přísné konvexnosti preferencí . Je zřejmé, že ze striktní konvexity vyplývá slabá konvexita (Věta 1). Abychom viděli, že z toho vyplývá podmínka věty 2, předpokládejme, že existují dvě různá rozdělení x a y se stejnou konfigurací utility u. Definujme z = x/2+y/2. Díky striktní konvexnosti všichni agenti silně preferují z před x a y. Proto x a y nemohou být slabě Pareto efektivní.

Věta 3 (Svensson) [6] : Pokud jsou preference všech agentů přísně monotónní a pro jakékoli Pareto-efektivní nástroje u je množina A(u) konvexní, pak existuje rozdělení EPBZ.

Důkaz používá Kakutaniho teorém o pevném bodě .

Poznámka : Pokud jsou preference všech agentů konvexní (jako ve větě 1), pak A(u) bude také konvexní. Pokud se navíc A(u) skládá z jednoho prvku (jako ve větě 2), pak je zjevně také konvexní. Proto je Svenssonova věta obecnější než obě Varianovy věty.

Věta 4 (Diamantaras) [7] : Pokud jsou preference všech agentů přísně monotónní a pro jakýkoli pareto-efektivní vektor užitku u je množina A(u) kontrahovatelná (může být plynule kontrahována do bodu), pak existuje distribuce EPBZ .

Důkaz využívá Eilenbergovu a Montgomeryho větu o pevném bodě [8] .

Poznámka: Jakákoli konvexní množina je kontrahovatelná, takže Diamantarasova věta je obecnější než předchozí tři.

Sigma-optimality

Svensson prokázal další dostatečnou podmínku pro existenci EPBZ rozvodů. Nechť jsou opět všechny preference reprezentovány spojitými užitkovými funkcemi. Všechny užitné funkce jsou navíc plynule diferencovatelné v interiéru spotřebního prostoru.

Hlavním konceptem je sigma-optimalita . Předpokládejme, že pro každého agenta vytvoříme k kopií se stejnými preferencemi. Nechť X je rozdělení v původní ekonomice. Nechť Xk je distribuce v k-té kopii, kde všechny kopie stejného agenta obdrží stejnou sadu výhod jako původní agent X. Distribuce X se nazývá sigma-optimální , pokud pro každé k je distribuce Xk Paretovo optimální.

Lemma [9] : Rozdělení je sigma-optimální právě tehdy, když je rovnovážné při konkurenci .

Věta 5 (Svensson) [10] : Pokud jsou všechna Pareto-optimální rozdělení sigma-optimální, pak existují EPBZ rozdělení.

Růst dodatečného příjmu

Distribuce STEP nemusí existovat, i když jsou všechny preference konvexní, pokud existuje výroba a technologie má rostoucí přírůstkové výnosy.

Tvrzení 6 (Vohra) [11] : Existují ekonomiky, ve kterých jsou všechny preference spojité, přísně monotónní a konvexní, jediným zdrojem nekonvexity v technologii jsou pevné ceny a neexistuje pro ně distribuce STEP.

Přítomnost rostoucího dodatečného příjmu tedy představuje zásadní konflikt mezi efektivitou a absencí závisti.

Absenci závisti lze však oslabit následujícím způsobem. Alokace X je definována jako v podstatě bez závisti ( EEF ), pokud pro jakéhokoli agenta i existuje proveditelná alokace Yi se stejnými utilitami (všichni agenti nevidí žádný rozdíl mezi X a Yi), ve které agent i nikomu nezávidí. Je zřejmé, že jakákoli distribuce bez závisti je PBZ, protože X můžeme brát jako Yi pro jakéhokoli agenta i.

Věta 7 (Vohra) [11] : Předpokládejme, že všechny preference agentů jsou přísně monotónní a jsou reprezentovány spojitými funkcemi užitku. Pak je tu Pareto efektivní distribuce, většinou bez závisti.

Neexistence rozvodů EPBZ

Nekonvexní preference

Distribuce EPBZ nemusí existovat ani bez výroby, pokud preference nejsou konvexní.

Předpokládejme například, že celkový fond je (4,2), přičemž Alice a Bob mají stejné konkávní funkce:

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

Při stejném rozdělení [(2,1);(2,1)] neexistuje závist a vektor užitku je roven (2,2). Navíc jakákoli alokace bez závisti musí oběma agentům poskytnout stejný užitek (protože mají stejnou užitkovou funkci) a tyto utilitky by neměly překročit 2. Žádná taková alokace však není Pareto efektivní, protože distribuci dominuje Pareto [( 4 ,0);(0,2)], jehož vektor užitku je roven (4,2).

Neexistuje žádná distribuce, i když nedostatek závisti zredukujeme na absenci dominance – žádný agent nezíská více každého statku než ten druhý.

Tvrzení 8 (maniquet) [12] : Existují ekonomiky se 2 produkty a 3 agenty s přísně monotónními, kontinuálními a dokonce diferencovatelnými užitnými funkcemi, ve kterých převládá jakákoli Paretova efektivní distribuce.

Hledání distribuce EPBZ

Pro dva agenty je procedura „ tuning winner “ jednoduchá procedura, která najde distribuci EPBZ se dvěma dalšími vlastnostmi – je také nezaujatá a maximálně jeden zdroj je sdílen dvěma agenty.

Pro tři nebo více agentů s lineárními funkcemi užitku je každá optimální distribuce Nash EPBZ. Nashova optimální distribuce je distribuce, která maximalizuje součin utilit agentů nebo ekvivalentně součet logaritmů utilit. Nalezení takových distribucí je konvexní optimalizační problém

${\text{maximize}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~$ , pokud se jedná o distribuci, $(X_{1},\ldots ,X_{n})$

a proto je lze efektivně nalézt. Skutečnost, že jakákoli Nashova optimální distribuce je EPBZ, platí i za obecnějších podmínek poctivého krájení koláčů [13] .

Důkaz : Představte si nekonečně malý kousek koláče Z. Pro každého agenta i je nekonečně malý příspěvek Z k is $\log(u_{i}(X_{i}))$

$u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i} (Z) \over u_{i}(X_{i})}$ .

Nashovo pravidlo optimality tedy přiděluje každý takový kousek Z agentu j , pro který je tento výraz největší:

$\forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j}) }\geqslant {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}$

Suma přes všechny infinitezimální podmnožiny množiny X j nám dá

$\forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geqslant {u_{i}(X_{j} ) \over u_{i}(X_{i})}$

Z toho vyplývá definice distribuce bez závisti:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geqslant {u_{i}(X_{j)))))$

Viz také

Wellerova věta o existenci nezávidění prosté Paretovy efektivní distribuce (EPBZ distribuce) pro krájení dortu.
Další související teorémy Hala Variana lze nalézt ve Varianově článku [14] .
Věty o distribučním EFSP v ekonomice s produkcí lze nalézt v Pikettyho článku [15] .

Poznámky

↑ Schmeidler, Yaari, 1971 .
↑ Varian, 1974 , str. 79.
↑ Varian, 1974 , str. 68.
↑ Všimněte si, že podobná ekonomika se objevila v dokumentu z roku 1974 jako příklad, kde distribuce STEP neexistuje . Možná to byl jen překlep - místo "min" mělo být "max", jako v příkladu C níže. Viz ekonomické vlákno výměny zásobníku
↑ Varian, 1974 , str. 69.
↑ Svensson, 1983 , str. 301–308.
↑ Diamantaras, 1992 , str. 141–157.
↑ Eilenberg, Montgomery, 1946 , s. 214–222.
↑ Svensson, 1994 , str. 528.
↑ Svensson, 1994 , str. 531.
↑ 1 2 Vohra, 1992 , s. 185–202.
↑ Maniquet, 1999 , s. 467–474.
↑ Segal-Halevi, Sziklai, 2018 .
↑ Varian, 1976 , str. 249–260.
↑ Piketty, 1994 , str. 391–405.

Literatura

David Schmeidler, Menahem Yaari. spravedlivé příděly. — 1971. Nepublikovaný článek, ústní prezentace - CORE (1969), Stanford, 1970
Hal Varian. Rovnost, závist a efektivita // Journal of Economic Theory. - 1974. - T. 9 . - doi : 10.1016/0022-0531(74)90075-1 .
Lars-Gunnar Svensson. O existenci spravedlivých přídělů (anglicky) // Zeitschrift für Nationalökonomie. - 1983. - Září ( roč. 43 , ses. 3 ). - S. 301-308. — ISSN 0044-3158 . - doi : 10.1007/BF01283577 .
Dimitrios Diamantaras. O rovnosti s veřejnými statky // Social Choice and Welfare. - 1992. - Červen ( díl 9 , číslo 2 ). — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00187239 .
Rajiv Vohra. Rovnost a efektivita v nekonvexních ekonomikách // Social Choice and Welfare. - 1992. - Červenec ( díl 9 , číslo 3 ). — S. 185–202 . — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00192877 .

Samuel Eilenberg, Deane Montgomery. Věty o pevném bodě pro vícehodnotové transformace // American Journal of Mathematics. - 1946. - T. 68 , čís. 2 . - doi : 10.2307/2371832 . — .
Lars-Gunnar Svensson. σ-Optimality and Fairness // International Economic Review. - 1994. - T. 35 , no. 2 . - doi : 10.2307/2527068 . — .
Francois Maniquet. Silná neslučitelnost mezi efektivitou a spravedlností v nekonvexních ekonomikách // Journal of Mathematical Economics. - 1999. - Prosinec ( díl 32 , číslo 4 ). — ISSN 0304-4068 . - doi : 10.1016/S0304-4068(98)00067-6 .
Erel Segal-Halevi, Balazs R. Sziklai. Monotonie a konkurenční rovnováha v krájení koláčů // Ekonomická teorie. - 2018. - Květen. — ISSN 1432-0479 . - doi : 10.1007/s00199-018-1128-6 . - arXiv : 1510.05229 .
Hal R Varian. Dva problémy v teorii spravedlnosti // Journal of Public Economics. - 1976. - V. 5 , čís. 3–4 . - doi : 10.1016/0047-2727(76)90018-9 .
Thomas Piketty. Existence spravedlivých alokací v ekonomikách s produkcí // Journal of Public Economics. - 1994. - Listopad ( díl 55 , číslo 3 ). — ISSN 0047-2727 . - doi : 10.1016/0047-2727(93)01406-Z .