Benardovy buňky

Benardovy nebo Rayleigh-Benardovy články - vzhled řádu ve formě konvektivních buněk ve formě válcových hřídelí nebo pravidelných šestiúhelníkových struktur ve vrstvě viskózní kapaliny s vertikálním teplotním gradientem , to znamená, že je rovnoměrně zahříván zespodu.

Benardovy buňky dokážou vysvětlit vznik vulkanických útvarů v podobě svazku svislých sloupů – takové jsou přírodní památky „ Ďáblova věž “ (USA) a „ Most obrů “ (Severní Irsko).

Kontrolním parametrem samoorganizace je teplotní gradient. V důsledku zahřátí začíná difúze v původně homogenní vrstvě kapaliny v důsledku výsledné nehomogenity hustoty. Při překonání určité kritické hodnoty gradientu nestihne difúze vést k rovnoměrnému rozložení teploty v objemu. Objevují se válcové hřídele, otáčející se k sobě (jako spřažená ozubená kola) [1] . Jak se teplotní gradient zvyšuje, nastává druhý kritický přechod. Pro urychlení difúze se každá role rozdělí na dvě menší role. S dalším zvýšením kontrolního parametru se role rozpadnou a v limitu vzniká turbulentní chaos , který je dobře vidět na bifurkačním diagramu nebo Feigenbaumově stromě .

V tenké vrstvě se při zahřívání zespodu vytvářejí články pravidelného šestiúhelníkového tvaru, uvnitř kterých kapalina středem stoupá a podél okrajů článku klesá [2] . Takový experiment byl historicky první, ale zde je ve skutečnosti pozorována Marangoniho konvekce , ke které dochází působením sil povrchového napětí a jejich závislosti na teplotě kapaliny.

Analytické řešení problému (Rayleighův problém)

V problému konvekce v ploché vrstvě je důležitá skutečnost, že jejím zápisem v Boussinesqově aproximaci je možné získat přesné analytické řešení rovnic hydrodynamiky. Pravda, jednoduché exaktní řešení lze nalézt pouze v abstraktním prostředí se dvěma volnými nedeformovatelnými hranicemi vrstev (jak nahoře, tak dole), realističtější verze takových řešení nemají (ale dobře jim fungují přibližné analytické metody, např. , Galerkinova metoda ).

Uvádíme zde řešení úlohy [3] [4] . Předpokládejme, že osa z směřuje nahoru, kolmo k vrstvě, a osy x a y jsou rovnoběžné s hranicí. Je vhodné zvolit počátek souřadnic na spodní hranici vrstvy. Počáteční rovnice konvekce :

${\frac {\částečný {\vec {v))}{\částečný t))+({\vec v}\cdot \nabla ){\vec v}=-{\frac {1}{\rho _{ 0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec v}-\beta T{\vec g},$

${\frac {\partial T}{\partial t))+{\vec v}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatorname {div}{\vec v}=0.$

Bezrozměrný tvar konvekčních rovnic pro malé poruchy rovnováhy za předpokladu exponenciálního růstu poruch v čase (tzv. "Normální" poruchy ) - : ${\vec v},\theta \sim e^{{\lambda t))$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +{\vec v}\cdot {\vec e}_{z},$

$\operatorname {div}{\vec v}=0,$

kde je jednotkový vektor osy z, jsou Prandtlovo číslo a Rayleighovo číslo a je přírůstek (rychlost růstu) poruch. Po nedimenzionizaci se proměnná z změní z 0 na 1. T. n. "Normální" poruchy jsou konkrétní řešení lineárního systému diferenciálních rovnic , a proto jsou široce používány při studiu problémů v různých oblastech. ${\vec e}_{z}$ $Pr,Ra$ $\lambda$

Okrajové podmínky jsou nastaveny za předpokladu, že obě hranice jsou nedeformovatelné, ale volné a v tekutině nevznikají žádná smyková napětí. Hraniční podmínky:

${\vec v}\cdot {\vec e}_{z}=0$ , je nedeformovatelnost hranic.

$\sigma _{{xz}}=\sigma _{{yz}}=0$ , je absence smykových napětí. Protože se domníváme, že pracujeme s tekutinou, pro kterou platí Navier-Stokesova rovnice , můžeme explicitně zapsat tvar tenzoru viskózního napětí a získat okrajové podmínky pro složky rychlosti.

$\sigma _{{ij}}=\eta \left({\frac {\částečné v_{i}}{\částečné x_{j}}}+{\frac {\částečné v_{j}}{\částečné x_ {i}}}\vpravo)$ - Navierův zákon ,

Vezmeme-li označení pro složky rychlosti: , přepíšeme okrajovou podmínku pro smyková napětí na rychlost: ${\vec v}=\left\{u,v,w\right\}$

${\frac {\partial u}{\partial z}}=0,$

${\frac {\partial v}{\partial z}}=0$ .

Pro teplotní odchylky na hranici se bere nulová hodnota. V důsledku toho je systém okrajových podmínek problému následující:

$z=0,1:$

$w=0;{\frac {\částečné u}{\částečné z))={\frac {\částečné v}{\částečné z))=0;\theta =0$

Nyní, za předpokladu, že poruchy jsou v prostoru normální — (zde — vlnový vektor poruchy rovnoběžné s rovinou ) a nahradíme derivační operátory — , můžeme přepsat systém konvekčních rovnic do podoby systému ODR : ${\vec v},p,\theta \sim e^{{\lambda t}}e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}$ ${\vec k}$ $xy$ $\Delta ={\frac {\částečný ^{2}}{\částečný z^{2}}}-k^{2},\nabla =\left\{i{\vec k};{\frac {\ částečný }{\částečný z}}\vpravo\}$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w,$

$\operatorname {div}{\vec v}=0.$

Vezmeme- li dvojitý rotor z první rovnice a promítneme jej na osu z, dostaneme konečný systém rovnic pro poruchy:

${\frac {\lambda }{Pr))\Delta w=\Delta ^{2}w+k^{2}Ra\theta,$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w.$

Na základě okrajových podmínek a také skutečnosti, že všechny derivace v systému jsou sudého řádu, je vhodné reprezentovat řešení ve formě goniometrických funkcí:

$w=a\sin n\pi z,$

$\theta=b\sin n\pi z,$

kde n je celé číslo. Řešení ve formě sinus splňuje všechny okrajové podmínky najednou.

Dále, označíme -li a dosadíme do rovnic očekávaný tvar řešení, získáme lineární homogenní algebraický systém pro a,b. Závislost lze vyjádřit z jejího determinantu : $D=n^{2}\pi ^{2}+k^{2}$ $Ra(\lambda)$

$Ra(\lambda )={\frac {1}{Prk^{2}}}\left(D\lambda ^{2}+D^{2}(1+Pr)\lambda +PrD^{3}\ že jo)$

Za předpokladu, že zde – hranice monotónní stability, nezvyšování normálních poruch – získáme vzorec pro určení kritického Rayleighova čísla n-tého poruchového módu: $\lambda=0$

$Ra^{*}={\frac {(k^{2}+n^{2}\pi ^{2})^{3}}{k^{2}}}.$

Nejmenší Rayleighovo číslo se získá při . Minimální závislost, jak můžete snadno vidět, připadá na , a samotné minimální Rayleighovo číslo je rovno . V souladu s kritickým vlnovým číslem se ve vrstvě objevují struktury ve formě rolí šířky (v bezrozměrných jednotkách). $n=1$ $k={\frac {\pi }{{\sqrt {2))))$ $Ra^{*}={\frac {27}{4}}\pi ^{4}\cca 657$ ${\sqrt {2}}$

U problémů s jinými variantami hranic se kritické Rayleighovo číslo ukazuje jako vyšší. Například pro vrstvu se dvěma pevnými hranicemi je to 1708 [5] , pro vrstvu s pevnou horní a volnou spodní hranicí je to 1156 a mění se i kritická vlnová čísla. Obraz konvektivních rolí se však kvalitativně nemění.

Viz také

Poznámky

↑ Van Dyke M. Album proudů kapalin a plynů, M .: Mir, 1986 - str. 84, Obr. 139-140
↑ Van Dyke M. Album proudů kapalin a plynů, M .: Mir, 1986 - str. 85, Obr. 140-141
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Konvektivní stabilita nestlačitelné tekutiny. // M.: Nauka, 1972 - § 5
↑ Frick P. G. Turbulence: metody a přístupy. Průběh přednášek, část 1 // Perm: Perm State. tech. un-t., 1998 - str. 33-37
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M., tamtéž, § 6

Literatura

LEScriven & CVSternling "Marangoni Effects"

Benardovy buňky

Analytické řešení problému (Rayleighův problém)

Viz také

Poznámky

Literatura

Odkazy