Tarského axiomatika (reálná čísla)

Tarskiho axiomatika reálných čísel je variantou systému základů aritmetiky reálných čísel navržené Alfredem Tarskim v roce 1936 [1] .

Funkce

Tato Tarskiho axiomatika může být považována za verzi obvyklejší definice množiny reálných čísel jako jediného uspořádaného pole kompletního ve smyslu Dedekinda [2] (viz také vlastnost Least-upper-bound ).

Tarskiho přístup na rozdíl od běžnějších analogů (viz článek Reálná čísla ) obsahuje pouze 9 axiomů spojujících čtyři primitivní pojmy [3] .

Je třeba poznamenat, že Tarskiho axiomatika nepoužívá logiku prvního , ale druhého řádu , což ji také odlišuje od analogů. Stručnosti axiomatiky je dosaženo použitím neortodoxních variant standardních algebraických axiomů a dalších jemných triků (viz například axiomy 5 a 6, které kombinují obvyklé čtyři axiomy abelovských grup ). Kompaktnost seznamu axiomů navíc vyžaduje zdlouhavé dokazování dlouhého seznamu teorémů, které „přenesou“ teorii na praktickou úroveň [4] .

Axiomatika

Tarskiho axiomatika používá čtyři primitivní (nedefinované) koncepty.

  1. Sada čísel, označená R .
  2. Binární relace plného řádu prvků R , označená infixovým symbolem < .
  3. Operace binárního sčítání na R , označená infixovým symbolem +.
  4. Konstantní 1.

Tyto pojmy spojuje následujících devět axiomů [3] .

Řádové axiomy pro R
  1. ( linearita ): jestliže x ≠ y , pak buď x < y nebo y < x .
  2. ( asymetrie ): jestliže x < y , pak y < x je nepravda .
  3. (zákon hustoty řádu): jestliže x < z , pak existuje y takové, že x < y a y < z .
  4. (Dedekindův axiom spojitosti): pro libovolné podmnožiny X , Y ⊆ R , jestliže x  <  y pro libovolné x  ∈  X a y  ∈  Y , pak existuje prvek z takový, že pro libovolné x  ∈  X a y  ∈  Y platí následující vlastnost : jestliže z  ≠  x az  ≠  y , pak x  <  z a z  <  y .

Poslední axiom jasně znamená, že pokud jsou všechny prvky množiny X umístěny na číselné ose vlevo než všechny prvky množiny Y, pak je mezi těmito množinami alespoň jedno reálné číslo. Právě tento axiom obsahující dva podmnožinové kvantifikátory způsobuje, že Tarskiho axiomatika nepatří do prvního, ale do druhého řádu logiky. Použití axiomu spojitosti umožňuje (po definování násobení) zavést nejprve racionální čísla [5] , a poté libovolná reálná čísla jako Dedekindovy sekce [2] .

Axiomy sčítání
  2. x  + ( y  +  z ) = ( x  +  z ) +  y .
  3. (možnost odčítání ): pro libovolné x , y existuje z takové, že x  +  z  =  y . Jedním z důsledků tohoto axiomu je existence nuly jako řešení rovnice 1 +  x  = 1.
  4. jestliže x  +  y  <  z  +  w , pak x  <  z nebo y  <  w .
Axiomy pro jednotu
  2. (existence): 1 ∈ R .
  3. 1 < 1 + 1.

Tarski dokázal, že všechny axiomy kromě prvního jsou nezávislé (první lze odvodit z ostatních [4] ). Z axiomů lze odvodit, že R je lineárně uspořádaná abelovská dělitelná grupa s ohledem na sčítání s kladným rozlišeným prvkem 1. Je také prokázána existence násobení , dělení a jejich obvyklé vlastnosti. R je úplné ve smyslu Dedekind .

Poznámka

První axiom ( linearita řádu) vyplývá ze zbytku axiomů [6] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Tarski, Alfred. Úvod do logiky a do metodologie deduktivních  věd . - 4. - Oxford University Press , 1994. - ISBN 978-0-19-504472-0 .
  2. ↑ 1 2 Viz Dedekindův přístup v knize: Fikhtengolts G. M. Průběh diferenciálního a integrálního počtu. - Ed. 6. - M .: Nauka, 1966. - T.I.
  3. ↑ 1 2 Tarski. Úvod do logiky, 1948 , str. 275.
  4. ↑ 1 2 Tarski. Úvod do logiky, 1948 , str. 278.
  5. ↑ Tarsky. Úvod do logiky, 1948 , str. 285.
  6. ↑ Ucsnay, Stefanie. A Note on Tarski's Note  //  The American Mathematical Monthly  : journal. - 2008. - Leden ( roč. 115 , č. 1 ). - str. 66-68 . — .

Literatura