Inverzní goniometrické funkce

Inverzní goniometrické funkce ( kruhové funkce , obloukové funkce ) jsou matematické funkce , které jsou inverzní k goniometrickým funkcím . Inverzní goniometrické funkce obvykle zahrnují šest funkcí:

arcsinus (symbol: úhel , jehož sinus je ) $\arcsin x;$ $X$
arkosinus (symbol: úhel, jehož kosinus je roven atd.) $\arccos x;$ $X$
arctangens (symbol: ; v zahraniční literatuře ) $\operatorname {arctg} x$ $\arctan x$
arkus tangens (symbol: ; v zahraniční literatuře nebo ) $\operatorname {arcctg} x$ $\operatorname {arccot} x$ $\operatorname {arccotan} x$
arcsekant (symbol: ) $\operatorname {arcsec} x$
arccosecant (symbol: ; v zahraniční literatuře ) $\operatorname {arccosec} x$ $\operatorname {arccsc} x$

Název inverzní goniometrické funkce je tvořen z názvu příslušné goniometrické funkce přidáním předpony "arc-" (z latiny arc us - oblouk). To je způsobeno skutečností, že geometricky může být hodnota inverzní goniometrické funkce spojena s délkou oblouku jednotkové kružnice (nebo úhlem, který tento oblouk svírá) odpovídající jednomu nebo druhému segmentu. Obvyklý sinus vám tedy umožňuje najít akord odečtením podél oblouku kruhu a inverzní funkce řeší opačný problém. Způsob označování inverzních goniometrických funkcí tímto způsobem se objevil u rakouského matematika 18. století Karla Scherfera a byl opraven díky Lagrangeovi . Poprvé byl speciální symbol pro inverzní goniometrickou funkci použit Daniel Bernoulli v roce 1729. Až do konce 19. století nabízely anglické a německé matematické školy jiné zápisy: ty se však neprosadily [1] . Jen příležitostně v zahraniční literatuře, stejně jako ve vědeckých/inženýrských kalkulačkách, používají zápisy jako sin -1 , cos -1 pro arcsinus, arkosinus atd. [2] - takový zápis není považován za příliš vhodný, protože je možná záměna se zvýšením funkce na mocninu −1. $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin )),$

Goniometrické funkce jsou periodické, takže funkce k nim inverzní jsou vícehodnotové. To znamená, že hodnota obloukové funkce je množina úhlů ( oblouků ), pro které je odpovídající přímá goniometrická funkce rovna danému číslu. Například znamená množinu úhlů, jejichž sinus je . Ze sady hodnot každé funkce oblouku jsou vybrány její hlavní hodnoty (viz grafy hlavních hodnot funkcí oblouku níže), které jsou obvykle míněny, když mluvíme o arcsin, arckosin atd. $\arcsin 1/2$ $\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30 ^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right)$ $1/2$

V obecném případě, za podmínky , mohou být všechna řešení rovnice reprezentována jako [3] $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ $\sinx=\alpha$ $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\tečky ~.$

Základní poměr

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2))

\operatorname {arctg}\,x+\operatorname {arctg}\,x={\frac {\pi }{2))

funkce arcsin

Arkussinus čísla x je hodnota úhlu y , vyjádřená v radiánech , pro který $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2))\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2)),\quad |x|\leqslant 1.$

Funkce je spojitá a ohraničená v celém svém oboru definice. Striktně se zvyšuje. $y=\arcsin x$

$\sin(\arcsin x)=x\qquad$ v $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y)=y\qquad$ v $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (doména),
$E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\right]\qquad$ (rozsah hodnot).

Vlastnosti funkce arcsin

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (funkce je lichá ).
$\arcsin x>0$ v . $0<x\leqslant 1$
$\arcsin x=0$ v $x=0.$
$\arcsin x<0$ v $-1\leqslant x<0.$
$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\arcsin x=\název operátora {arctg}{\frac {x}({\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\jméno operátora {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix }}\že jo.$

Získání funkce arcsin

Daná funkce . Na celé své definiční oblasti je po částech monotónní , a proto na celé číselné ose není inverzní korespondence funkcí. Zvažte tedy segment , na kterém funkce přísně monotónně roste a všechny hodnoty svého rozsahu hodnot nabývá pouze jednou. Pak existuje inverzní funkce na intervalu , jejíž graf je symetrický ke grafu funkce vzhledem k přímce . $y=\sin x$ $y=\arcsin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\sin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\arcsin x$ $y=\sin x$ $y=x$

funkce arccos

Arkosinus čísla x je hodnota úhlu y v radiánové míře, pro kterou $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$

Funkce je spojitá a ohraničená v celém svém oboru definice. Je přísně klesající a není negativní. $y=\arccos x$

$\cos(\arccos x)=x$ v $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arccos(\cos y)=y$ v $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (doména),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (rozsah hodnot).

Vlastnosti funkce arccos

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ Funkce je středově symetrická vzhledem k bodu a je indiferentní (ani sudá, ani lichá) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$
$\arccos x>0$ v $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ v $x=1.$
$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin { \sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\arccos x=\název operátora {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix }}\že jo.$
$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2))}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2))}$
$\arccos x=2\operatorname {arctg}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

Získání funkce arccos

Daná funkce . Na celé své definiční oblasti je po částech monotónní , a proto na celé číselné ose není inverzní korespondence funkcí. Zvažte tedy segment , na kterém funkce přísně monotónně klesá a všechny hodnoty svého rozsahu hodnot nabývá pouze jednou. Pak existuje inverzní funkce na intervalu , jejíž graf je symetrický ke grafu funkce vzhledem k přímce . $y=\cos x$ $y=\arccos x$ $[0;\pi]$ $y=\cos x$ $[0;\pi]$ $y=\arccos x$ $y=\cos x$ $y=x$

funkce arctg

Arkustangens čísla x je hodnota úhlu vyjádřená v radiánech , pro kterou $y,$ $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

Funkce je definována na celé reálné čáře, spojitá a všude ohraničená. Striktně se zvyšuje. $y=\jméno operátora {arctg}x$

$\operatorname {tg}\,(\operatorname {arctg}\,x)=x$ v $x\in {\mathbb R},$
$\operatorname {arctg}\,(\operatorname {tg}\,y)=y$ v $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (doména),
$E(\operatorname {arctg}\,x)=\left(-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\right)$ (rozsah hodnot).

Vlastnosti funkce arctg

$\operatorname {arctg}(-x)=-\operatorname {arctg}x\qquad$ (funkce je lichá ).
$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)))).$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatorname {arcctg} {\ frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$
${\displaystyle \operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arth} {ix))$ , kde je inverzní hyperbolická tečna, plošná tečna . $\operatorname {arth}$
$\operatorname {arth} x=i\operatorname {arctg} {ix}.$

Získání funkce arctg

Daná funkce . Je po částech monotónní v celé své doméně definice , a proto inverzní korespondence není funkcí. Uvažujme tedy interval , na kterém funkce přísně monotónně narůstá a všechny hodnoty svého rozsahu nabývá pouze jednou. Pak existuje inverzní funkce na intervalu, jehož graf je symetrický s grafem funkce vzhledem k přímce . $y=\jméno operátora {tg}\,x$ $y=\jméno operátora {arctg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\jméno operátora {tg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\jméno operátora {arctg}\,x$ $y=\jméno operátora {tg}\,x$ $y=x$

funkce arcctg

Arkustangens čísla x je hodnota úhlu y (v radiánech úhlů), pro který $\operatorname {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

Funkce je definována na celé reálné čáře, spojitá a všude ohraničená. Je to přísně klesající a všude pozitivní. $y=\jméno operátora {arctg}\,x$

$\operatorname {ctg} (\operatorname {arcctg} \,x)=x$ v $x\in {\mathbb R},$
$\operatorname {arcctg} (\operatorname {ctg} \,y)=y$ v $0<y<\pi ,$
$D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty ;\infty),$
$E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).$

vlastnosti funkce arcctg

$\operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} x.$ Graf funkce je středově symetrický vzhledem k bodu Funkce je indiferentní (ani sudá ani lichá) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$
$\operatorname {arcctg} x>0$ pro jakékoli $X.$
$\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)))).$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operatorname{arctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x.$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatorname {arctg} {\ frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\vpravo.$

Získání funkce arcctg

Daná funkce . Je po částech monotónní v celé své doméně definice , a proto inverzní korespondence není funkcí. Uvažujme tedy interval , na kterém funkce klesá přísně monotónně a všechny hodnoty svého rozsahu nabývá pouze jednou. Pak existuje inverzní funkce na intervalu, jehož graf je symetrický s grafem funkce vzhledem k přímce . $y=\jméno operátora {ctg}\,x$ $y=\jméno operátora {arctg}\,x$ $(0;\pi)$ $y=\jméno operátora {ctg}\,x$ $(0;\pi)$ $y=\jméno operátora {arctg}\,x$ $y=\jméno operátora {ctg}\,x$ $y=x$

Graf arkus tangens se získá z grafu arkus tangens, pokud se tato odráží podél osy y (tj. nahradí znaménko argumentu, ) a posune se nahoru o π / 2 ; to vyplývá z výše uvedeného vzorce $x\šipka doprava -x$ $\operatorname {arctg}x=\operatorname {arctg}(-x)+\pi /2.$

funkce arcsec

Arkussekans čísla x je hodnota úhlu y (v radiánech úhlů), pro který $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

Funkce je spojitá a ohraničená v celém svém oboru definice. Striktně se zvyšuje a všude není negativní. $y=\operatorname {arcsec} x$

$\sec(\operatorname {arcsec} x)=x$ v $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arcsec}(\sec y)=y$ v $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\operatorname {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (doména),
$E(\operatorname {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2)))\cup ({\frac {\pi }{2));\pi ]$ (rozsah hodnot).

Vlastnosti funkce arcsec

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x.$ Graf funkce je středově symetrický vzhledem k bodu Funkce je indiferentní (ani sudá ani lichá) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$
$\operatorname {arcsec} x\geqslant 0$ pro jakékoli $X.$
$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x)),\qquad x\geqslant 1\ \\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccosec} x.$
$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x)).$

funkce arccosec

Arkussekansa čísla x je hodnota úhlu y (v radiánech úhlů), pro který $\operatorname {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

Funkce je spojitá a ohraničená v celém svém oboru definice. Striktně se snižuje. $y=\operatorname {arccosec} x$

$\operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x$ v $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arccosec} (\operatorname {cosec} y)=y$ v $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operatorname {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (doména),
$E(\operatorname {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2));0)\cup (0;{\frac {\pi }{2))]$ (rozsah hodnot).

Vlastnosti funkce arccosec

$\operatorname {arccosec} (-x)=-\operatorname {arccosec} x$ (funkce je lichá ).
$\operatorname {arccosec} \,x=\operatorname {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin {matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatorname {arctg} {\frac {1}{\ sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arccosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.$
$\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x)).$

Rozšíření do série

$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ pro všechny [4] $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ pro všechny $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ součet _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ pro všechny $\left|x\right|\leq 1$

Derivace inverzních goniometrických funkcí

Všechny inverzní goniometrické funkce jsou nekonečně diferencovatelné v každém bodě své oblasti definice. První deriváty:

Funkce $f(x)$	Derivát $f'(x)$	Poznámka
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Důkaz Derivaci arkussinus můžete najít pomocí vzájemně inverzních funkcí. Poté musíme vzít derivaci těchto dvou funkcí. Nyní musíme vyjádřit derivaci arkussinus. Na základě goniometrické identity ( ) - dostaneme. Abychom pochopili, že plus by mělo být nebo mínus, pojďme se podívat, jaké hodnoty. Protože kosinus je ve 2. a 4. kvadrantu, ukazuje se, že kosinus je kladný. Ukazuje se. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Důkaz Derivát arkosinu můžete najít pomocí této identity: Nyní najdeme derivát obou částí této identity. Nyní vyjádříme derivaci arkosinu. Ukazuje se. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Důkaz Derivaci arkus tangens můžete najít pomocí reciproké funkce: Nyní najdeme derivaci obou částí této identity. Nyní musíme vyjádřit derivaci arkus tangens: Nyní nám pomůže identita ( ) : Ukazuje se. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Důkaz Pomocí této identity můžete najít derivaci inverzní tečny: Nyní najdeme derivaci obou částí této identity. Nyní vyjádříme derivaci inverzní tečny. Ukazuje se. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Důkaz Derivát arcsekantu můžete najít pomocí identity: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Nyní najdeme derivát obou částí této identity. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2)))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Ukazuje se. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Důkaz Pomocí této identity můžete najít derivaci úhlového kosekansu: Nyní najdeme derivaci obou částí této identity. Nyní vyjádříme derivaci arkosinu. Ukazuje se. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Integrály inverzních goniometrických funkcí

Neurčité integrály

Pro skutečné a komplexní x :

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2))}+C,\\\int \arccos x\,dx&{ }=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg }\,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg}\,x\,dx&{} =x\,\operatorname {arcctg}\,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname{arcsec} x \,dx&{}=x\,\název operátora{arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2))}\ ,\right)\!\right)+C,\\\int \název operátora {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\jméno operátora {arccosec}\,x+\ln \left(x\left( 1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}

Pro skutečné x ≥ 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\ right)+C,\\\int \operatorname {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec}\,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}- 1}}\right)+C.\end{aligned}}

Viz také Seznam integrálů inverzních goniometrických funkcí

Použití v geometrii

Inverzní goniometrické funkce se používají k výpočtu úhlů trojúhelníku , pokud jsou známé jeho strany, například pomocí kosinové věty .

V pravoúhlém trojúhelníku tyto funkce poměrů stran okamžitě dávají úhel. Takže, pokud je délka nohy opačná k úhlu , pak $A$ $\alpha$

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\jméno operátora {arctg} (a/b)=\jméno operátora {arccosec} (c/a)=\jméno operátora {arcsec}( c/b)=\jméno operátora {arctg} (b/a).$

Spojení s přirozeným logaritmem

Pro výpočet hodnot inverzních goniometrických funkcí ze složitého argumentu je vhodné použít vzorce, které je vyjadřují pomocí přirozeného logaritmu:

{\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned} }

{\begin{aligned}\operatorname {arcctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {zi}{z}}\right)-\ ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname{arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{{-1}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left( {\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2))))}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arccosec}\,z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}

Viz také

Poznámky

↑ Alexandrova N. V. Historie matematických termínů, pojmy, notace: Slovník-příručka, ed. 3 . - Petrohrad. : LKI, 2008. - S. 211 . - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Zde znaménko −1 definuje funkci x = f −1 ( y ), inverzi funkce y = f ( x )
↑ Encyklopedický slovník, 1985 , str. 220.
↑ S hodnotou x blízkou 1 dává tento výpočetní vzorec velkou chybu. Proto můžete použít vzorec kde $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\přes 2}-\arcsin x$

Odkazy

Weisstein, Eric W. Inverzní goniometrické funkce ve Wolfram MathWorld .
Matematická encyklopedie / Ch. vyd. I. M. Vinogradov. - M .: "Sovětská encyklopedie", 1982. - [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0% 9D%D0%AB%D0%95 V. 3. - str. 1135].
Inverzní goniometrické funkce - článek z Velké sovětské encyklopedie . - M .: "Sovětská encyklopedie", 1974. - T. 18. - str. 225.
Inverzní goniometrické funkce // Encyklopedický slovník mladého matematika / Savin A.P. - M . : Pedagogika, 1985. - S. 220-221. — 352 s.
Vykreslování inverzních goniometrických funkcí online
Online kalkulačka: inverzní goniometrické funkce

Trigonometrie
Všeobecné	Přehled trigonometrie Příběh Používání Funkce Zvrátit Málo používané Generalizovaná trigonometrie
Adresář	Totožnosti Přesné konstanty tabulky jednotkový kruh
Zákony a věty	Sinusová věta Pythagorova věta Kosinová věta Věta tečny Kotangensová věta Řešení trojúhelníků
Matematická analýza	Trigonometrické substituce Integrály ( inverzní funkce ) Deriváty