Řada podskupin

V matematice , série podskupin je řetěz podskupin formy . Řada podskupin může zjednodušit studium skupiny tím , že ji redukuje na studium podskupin této skupiny a studium vztahů mezi nimi. Řada podskupin může tvořit důležité invarianty dané skupiny . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G$ $\displaystyle G$ $\displaystyle G$

Definice

Normální řada, subnormální řada

Subnormální řada (také nazývaná subnormální věž , subinvariantní řada , subnormální matrjoška nebo jednoduše řada ) skupiny je posloupnost podskupin. $\displaystyle G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

z nichž každá je normální podskupinou větší podskupiny bezprostředně následující, tj . Pokud je navíc každá z podskupin normální ve skupině , pak se o řadě říká , že je normální . $\displaystyle G_{i}\triangleleft G_{{i+1}}$ $G_{{i}}$ $\displaystyle G$

Faktorové skupiny se nazývají série faktorových skupin . $G_{i+1}/G_{i}$

Délka řádku

Série s další vlastností pro všechny se nazývá série bez opakování . Délka řady je počet správných inkluzí . Pokud série nemá žádná opakování, pak její délka je . $\displaystyle G_{i}\neq G_{{i+1}}$ $\displaystyle i$ $\displaystyle G_{i}\varsubsetneq G_{{i+1}}$ $\displaystyle n$

Pro subnormální řadu je její délka počet netriviálních skupin faktorů řady. Každá netriviální skupina má subnormální řadu délky 1, konkrétně řadu . Každá správná normální podskupina definuje subnormální řadu délky 2. Pro jednoduché skupiny je triviální řada délky 1 jedinou možnou subnormální řadou. $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Vzestupné a sestupné pozice

Pořadí podskupin lze zapisovat vzestupně

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

nebo v sestupném pořadí

G=G_{0}\supseteq G_{1}\cdots \supseteq G_{n}=\{1\}.

U závěrečné řady není rozdíl v tom, jakou formou je napsána – jako vzestupná nebo jako sestupná řada. Pro nekonečnou řadu však již existuje rozdíl: vzestupná řada má nejmenší prvek, prvek bezprostředně následující, pak další atd., ale nesmí mít jiný maximální prvek než . Naproti tomu sestupná řada má největší prvek, ale nesmí mít nejmenší prvek jiný než . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G,$ $\displaystyle G$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \cdots \supseteq \{1\}$ $\displaystyle \{1\}$

Noetherian a Artinian skupiny

Skupina, která splňuje podmínku vzestupného řetězce, se nazývá noetheriánská . Tato podmínka znamená, že pro takovou skupinu neexistuje nekonečný řetězec podgrup rostoucích vzhledem k inkluzní relaci. V souladu s tím se skupina, která splňuje podmínku ukončení sestupného řetězce, nazývá Artinian ; tato terminologie je analogická k oddělení Artinian a Noetherian prstenů.

Skupina může nebo nemusí být noetheriánská, příkladem je aditivní skupina celých čísel . Na rozdíl od prstenů, skupina může nebo nemusí být Artinian, příkladem je Pruferova skupina .

Faktorové skupiny a podskupiny noetheriánských grup jsou noetherovské. Navíc rozšíření noetheriánské skupiny o noetherovskou skupinu je noetherovská skupina (to znamená, že pokud má daná skupina noetherovskou normální podskupinu, jejíž kvocientová skupina je noetherovská, pak je samotná skupina noetheriánská). Podobná tvrzení platí pro artinské skupiny.

Podmínka pro to, aby skupina byla noetheriánská, je také ekvivalentní podmínce, že jakákoli podskupina dané skupiny je definitivně vygenerována .

Nekonečné a transfinitní řady

Nekonečné řady podgrup jsou definovány přirozeným způsobem: v tomto případě je potřeba opravit nějakou nekonečnou lineárně uspořádanou množinu indexů . Vzestupná řada , pro kterou je soubor indexů množinou přirozených čísel, se často jednoduše nazývá nekonečná vzestupná řada . Jsou-li podskupiny řady očíslovány pořadovými čísly , získáme transfinitní řadu , [1] například řada $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{\omega }\subseteq G_{{\omega +1}}=G.

Pokud je pro prvky řady dán rekurzivní vzorec, lze pomocí transfinitní rekurze určit transfinitní řadu . Navíc na omezujících řadových číslech jsou prvky vzestupné transfinitní řady dány vzorcem

G_{\lambda }=\bigcup _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha },

a prvky sestupné transfinitní řady vzorcem

G_{\lambda }=\bigcap _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha }.

Jiné lineárně uspořádané množiny se zřídka objevují jako indexační množiny v řadách podskupin. Například lze uvažovat o dvoustranné nekonečné řadě podskupin, indexovaných celými čísly:

\{1\}\subseteq \cdots \subseteq G_{{-1}}\subseteq G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G.

Porovnání řádků

Zhutnění řady podskupin je další řada podskupin obsahujících každý prvek původní řady. Pojem zhutnění definuje dílčí uspořádání na množině řad podgrup dané skupiny, řady podgrup tvoří s ohledem na toto uspořádání mřížku a podnormální a normální řady tvoří podmřížky této mřížky. Zvláště zajímavé jsou v určitém smyslu maximální série bez opakování.

O dvou subnormálních řadách se říká , že jsou ekvivalentní nebo izomorfní , pokud existuje bijektivní zobrazení , které spojuje soubory jejich skupin faktorů tak, že odpovídající skupiny faktorů jsou izomorfní.

Maximální hodnosti

Kompoziční řada je maximální subnormální řada.

Ve třídě konečných subnormálních řad maximalita znamená, že každá faktorová skupina je jednoduchá , to znamená, že konečná složená řada je konečná subnormální řada s jednoduchými faktorovými skupinami .

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

Ve třídě vzestupných transfinitních subnormálních řad souvisí maximalita s pojmem transfinitní superjednoduchosti [1] (hypertransjednoduchost).

Skupina se nazývá transfinitely supersimple $\displaystyle G$ , pokud nemá vzestupné subnormální řady bez opakování (konečné nebo transfinitní) jiné než triviální řady . $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Vzestupná transfinitní subnormální řada je kompoziční řada, pokud jsou všechny její faktorové skupiny transfinitní superjednoduché. $\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}$

Otevřené problémy

Každá transfinite superjednoduchá grupa je jednoduchá. To znamená, že třída transfinitely superjednoduchých grup tvoří podtřídu ve třídě jednoduchých grup. Otázka koincidence či nekoincidence těchto tříd zůstává otevřená. Je třeba sestavit příklad jednoduché grupy, která není transfinity superjednoduchá, nebo dokázat, že takové grupy neexistují.

Reference

↑ 1 2 Sharipov, RA (2009), Transfinitní normální a kompoziční řada grup, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].