Moment setrvačnosti

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. prosince 2020; kontroly vyžadují 6 úprav .

Moment setrvačnosti
$J=\int \limits _{(m)}r^{2}\mathrm {d} m$
Dimenze	L 2 M
Jednotky
SI	kg m² _ _
GHS	g cm² _ _

Moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina , míra setrvačnosti při rotačním pohybu kolem osy, stejně jako hmotnost tělesa je mírou jeho setrvačnosti při translačním pohybu. Vyznačuje se rozložením hmot v tělese: moment setrvačnosti je roven součtu součinů elementárních hmotností a druhé mocniny jejich vzdáleností k základní množině (bod, přímka nebo osa).

Měrná jednotka v mezinárodní soustavě jednotek (SI ) : kg m² .

Označení : I nebo J.

Momentů setrvačnosti je několik - v závislosti na typu základní sady, ke které se měří vzdálenosti od elementárních hmot.

Axiální moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti mechanické soustavy vzhledem k pevné ose („axiální moment setrvačnosti“) je hodnota J a rovna součtu součinů hmotností všech n hmotných bodů soustavy a druhých mocnin jejich vzdálenosti k ose [1] :

J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},

kde:

m i je hmotnost i - tého bodu,
r i je vzdálenost od i -tého bodu k ose.

Axiální moment setrvačnosti tělesa J a je mírou setrvačnosti tělesa při rotačním pohybu kolem osy, stejně jako hmotnost tělesa je mírou jeho setrvačnosti při translačním pohybu .

J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,

kde:

dm = ρ dV je hmotnost prvku o malém objemu tělesa dV , ρ je hustota, r je vzdálenost od prvku dV k ose a .

Pokud je těleso homogenní, tedy jeho hustota je všude stejná

J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.

Huygens-Steinerova věta

Moment setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k jakékoli ose závisí na hmotnosti , tvaru a velikosti tělesa a také na poloze tělesa vzhledem k této ose. Podle Huygens-Steinerovy věty je moment setrvačnosti tělesa J k libovolné ose roven součtu momentů setrvačnosti tohoto tělesa J c k ose procházející těžištěm tělesa rovnoběžně s osou. uvažovaná osa a součin hmotnosti těla m krát druhá mocnina vzdálenosti d mezi osami [1] :

J=J_{c}+md^{2},

kde m je celková hmotnost tělesa.

Například moment setrvačnosti tyče kolem osy procházející jejím koncem je:

J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^ {2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.

Axiální momenty setrvačnosti některých těles

Momenty setrvačnosti homogenních těles nejjednoduššího tvaru kolem některých os rotace

Popis	a - poloha osy	Moment setrvačnosti J a
Hmotný bod m	Ve vzdálenosti r od bodu, pevná	$pan^{2}$
Dutý tenkostěnný válec nebo prstenec o poloměru r a hmotnosti m	Osa válce	$pan^{2}$
Plný válec nebo kotouč o poloměru r a hmotnosti m	Osa válce	${\frac {1}{2}}pan^{2}$
Dutý silnostěnný válec o hmotnosti m s vnějším poloměrem r 2 a vnitřním poloměrem r 1	Osa válce	$m{\frac {r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}{2}}$ [Komunikace 1]
Plný válec délky l , poloměru r a hmotnosti m	Osa je kolmá na tvořící čáru válce a prochází jeho těžištěm	${1 \přes 4}m\cdot r^{2}+{1 \nad 12}m\cdot l^{2}$
Dutý tenkostěnný válec (prstenec) délky l , poloměru r a hmotnosti m	Osa je kolmá k válci a prochází jeho těžištěm	${1 \přes 2}m\cdot r^{2}+{1 \nad 12}m\cdot l^{2}$
Přímá tenká tyč o délce l a hmotnosti m	Osa je kolmá k tyči a prochází jejím těžištěm	${\frac {1}{12}}ml^{2}$
Přímá tenká tyč o délce l a hmotnosti m	Osa je kolmá k tyči a prochází jejím koncem	${\frac {1}{3}}ml^{2}$
Tenkostěnná koule o poloměru r a hmotnosti m	Osa prochází středem koule	${\frac {2}{3}}pan^{2}$
Koule o poloměru r a hmotnosti m	Osa prochází středem míče	${\frac {2}{5}}pane^{2}$
Kužel o poloměru r a hmotnosti m	osa kužele	${\frac {3}{10}}pan^{2}$
Rovnoramenný trojúhelník o výšce h , základně a a hmotnosti m	Osa je kolmá k rovině trojúhelníku a prochází vrcholem (ve výšce)	${\frac {1}{24}}m(a^{2}+12h^{2})$
Pravidelný trojúhelník o straně a a hmotnosti m	Osa je kolmá k rovině trojúhelníku a prochází těžištěm	${\frac {1}{12}}ma^{2}$
Čtverec o straně a a hmotnosti m	Osa je kolmá k rovině čtverce a prochází těžištěm	${\frac {1}{6}}ma^{2}$
Obdélník se stranami aab a hmotností m	Osa je kolmá k rovině obdélníku a prochází těžištěm	${\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})$
Pravidelný n-úhelník o poloměru r a hmotnosti m	Osa je kolmá k rovině a prochází těžištěm	${\frac {mr^{2}}{6}}\left[1+2\cos(\pi /n)^{2}\right]$
Torus (dutý) s poloměrem vodící kružnice R , poloměrem tvořící přímky r a hmotností m	Osa je kolmá k rovině vodící kružnice torusu a prochází těžištěm	$I=m\left({\frac {3}{4}}\,r^{2}+R^{2}\right)$

Odvození vzorců

Tenkostěnný válec (kroužek, obruč)

Odvození vzorce

Moment setrvačnosti tělesa je roven součtu momentů setrvačnosti jeho součástí. Rozdělme tenkostěnný válec na prvky s hmotností dm a momenty setrvačnosti dJ i . Pak

J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).

Protože všechny prvky tenkostěnného válce jsou ve stejné vzdálenosti od osy otáčení, vzorec (1) se převede na tvar

J=\součet R^{2}dm=R^{2}\součet dm=mR^{2}.

Silnostěnný válec (kroužek, obruč)

Odvození vzorce

Nechť existuje homogenní prstenec s vnějším poloměrem R , vnitřním poloměrem R 1 , tloušťkou h a hustotou ρ . Rozdělme jej na tenké kroužky o tloušťce dr . Hmotnost a moment setrvačnosti tenkého prstence o poloměru r bude

dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.

Moment setrvačnosti tlustého prstence najdeme jako integrál

J=\int _{R_{1}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=

=2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{R_{1}}^{R}={\frac {1}{2 }}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2 }-R_{1}^{2}\vpravo)\vlevo(R^{2}+R_{1}^{2}\vpravo).

Protože objem a hmotnost prstenu jsou stejné

V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1 }^{2}\right)h,

získáme konečný vzorec pro moment setrvačnosti prstence

J={\frac {1}{2}}m\left(R^{2}+R_{1}^{2}\vpravo).

Homogenní disk (plný válec)

Odvození vzorce

Uvažujeme-li válec (disk) jako prstenec s nulovým vnitřním poloměrem ( R 1 = 0 ), získáme vzorec pro moment setrvačnosti válce (disku):

J={\frac {1}{2}}mR^{2}.

pevný kužel

Odvození vzorce

Rozdělme kužel na tenké kotouče o tloušťce dh kolmé k ose kužele. Poloměr takového disku je

r={\frac {Rh}{H}},

kde R je poloměr základny kužele, H je výška kužele, h je vzdálenost od vrcholu kužele k disku. Hmotnost a moment setrvačnosti takového disku bude

dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;

dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}} \pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;

Integrace, rozumíme

{\begin{aligned}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right) ^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right )^{4}\vlevo.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R ^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}= {\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}

Pevný jednotný míč

Odvození vzorce

Rozdělme kouli na tenké kotouče o tloušťce dh kolmé k ose otáčení. Poloměr takového disku, který se nachází ve výšce h od středu koule, lze zjistit vzorcem

r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.

Hmotnost a moment setrvačnosti takového disku bude

dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;

dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}} \pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}- 2R^{2}h^{2}+h^{4}\vpravo)dh.

Moment setrvačnosti koule se zjistí integrací:

{\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\left (R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{ \frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}= \pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\ frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot { \frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}

tenkostěnná koule

Odvození vzorce

K odvození použijeme vzorec pro moment setrvačnosti homogenní koule o poloměru R :

J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.

Spočítejme, jak moc se změní moment setrvačnosti koule, když se při konstantní hustotě ρ její poloměr zvětší o nekonečně malou hodnotu dR .

{\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\ pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ {2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}

Tenká tyč (osa prochází středem)

Odvození vzorce

Rozdělme tyč na malé fragmenty délky dr . Hmotnost a moment setrvačnosti takového fragmentu je

dm={\frac {mdr}{l));\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l)).

Integrace, rozumíme

J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l))\int _{0} ^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\vlevo.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l /2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.

Tenká tyč (osa prochází koncem)

Odvození vzorce

Při pohybu osy otáčení ze středu tyče na její konec se těžiště tyče posune vzhledem k ose o vzdálenost l⁄ 2 . Podle Steinerovy věty se nový moment setrvačnosti bude rovnat

J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}} ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.

Bezrozměrné momenty setrvačnosti planet a jejich satelitů [2] [3] [4]

Bezrozměrné momenty setrvačnosti planet a satelitů

Velký význam pro studium vnitřní struktury planet a jejich satelitů mají jejich bezrozměrné momenty setrvačnosti. Bezrozměrný moment setrvačnosti tělesa o poloměru r a hmotnosti m je roven poměru jeho momentu setrvačnosti kolem osy rotace k momentu setrvačnosti hmotného bodu stejné hmotnosti kolem pevné osy rotace umístěné v vzdálenost r (rovná se mr 2 ). Tato hodnota odráží rozložení hmoty do hloubky. Jednou z metod jeho měření pro planety a satelity je určení Dopplerova posunu rádiového signálu vysílaného AMS letícím kolem dané planety nebo satelitu. U tenkostěnné koule je bezrozměrný moment setrvačnosti roven 2/3 (~0,67), u homogenní koule je to 0,4 a obecně platí, že čím menší, tím větší je hmotnost tělesa soustředěná v jejím středu. Například Měsíc má bezrozměrný moment setrvačnosti blízký 0,4 (rovná se 0,391), takže se předpokládá, že je relativně homogenní, jeho hustota se s hloubkou mění jen málo. Bezrozměrný moment setrvačnosti Země je menší než u homogenní koule (rovný 0,335), což je argument ve prospěch existence hustého jádra [5] [6] .

Odstředivý moment setrvačnosti

Odstředivé momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k osám pravoúhlého kartézského souřadnicového systému jsou následující veličiny [1] [7] :

J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,

J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,

J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,

kde x , y a z jsou souřadnice malého prvku tělesa o objemu dV , hustotě ρ a hmotnosti dm .

Osa OX se nazývá hlavní osou setrvačnosti tělesa , pokud jsou odstředivé momenty setrvačnosti J xy a J xz současně rovné nule. Každým bodem tělesa lze vést tři hlavní osy setrvačnosti. Tyto osy jsou na sebe navzájem kolmé. Momenty setrvačnosti tělesa vůči třem hlavním osám setrvačnosti nakresleným v libovolném bodě O tělesa se nazývají hlavní momenty setrvačnosti tohoto tělesa [7] .

Hlavní osy setrvačnosti procházející těžištěm tělesa se nazývají hlavní centrální osy setrvačnosti tělesa a momenty setrvačnosti kolem těchto os se nazývají jeho hlavní centrální momenty setrvačnosti . Osa symetrie homogenního tělesa je vždy jednou z jeho hlavních centrálních os setrvačnosti [7] .

Geometrické momenty setrvačnosti

Geometrický moment setrvačnosti objemu vzhledem k ose je geometrická charakteristika tělesa, vyjádřená vzorcem [8] :

J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,

kde, jako dříve, r je vzdálenost od prvku dV k ose a .

Rozměr J Va je délka k páté mocnině ( ), respektive jednotka SI je m 5 . $\mathrm {dim} J_{Va}=\mathrm {L^{5}}$

Geometrický moment setrvačnosti plochy vzhledem k ose je geometrická charakteristika tělesa, vyjádřená vzorcem [8] :

J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,

kde integrace se provádí přes plochu S a dS je prvkem této plochy.

Rozměr J Sa je délka ke čtvrté mocnině ( ), respektive jednotka SI je m 4 . Ve stavebních výpočtech, literatuře a sortimentech válcovaného kovu se často uvádí v cm 4 . $\mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}}$

Prostřednictvím geometrického momentu setrvačnosti plochy je vyjádřen moment průřezového odporu :

W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.

Zde r max je maximální vzdálenost od povrchu k ose.

Geometrické momenty setrvačnosti oblasti některých obrazců
Výška a šířka obdélníku : $h$ $b$	$J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}$ $J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}$
Obdélníková krabicová část s výškou a šířkou podél vnějších obrysů a , a podél vnitřního resp $H$ $B$ $h$ $b$	$J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3 }-bh^{3})$ $J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3 }-hb^{3})$
Průměr kruhu $d$	$J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

Moment setrvačnosti kolem letadla

Moment setrvačnosti tuhého tělesa vůči určité rovině se nazývá skalární hodnota rovna součtu součinů hmotnosti každého bodu tělesa a druhé mocniny vzdálenosti od tohoto bodu k uvažované rovině [9 ] .

Pokud nakreslíme souřadnicové osy libovolným bodem , pak momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým rovinám a budou vyjádřeny pomocí vzorců: $Ó$ $x, y, z$ $xOy$ $yOz$ $zOx$

J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,

J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,

J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .

V případě pevného tělesa je sumace nahrazena integrací.

Centrální moment setrvačnosti

Centrální moment setrvačnosti ( moment setrvačnosti k bodu O, moment setrvačnosti k pólu, polární moment setrvačnosti ) je veličina definovaná výrazem [9] : $J_{O}$

J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,

kde:

$dm=\rho dV$ je hmotnost prvku malého objemu tělesa , $dV$
$\rho$ - hustota,
$r$ je vzdálenost od prvku k bodu O. $dV$

Centrální moment setrvačnosti lze vyjádřit jak hlavními osovými momenty setrvačnosti, tak i momenty setrvačnosti vzhledem k rovinám [9] :

J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),

J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.

Tenzor setrvačnosti a elipsoid setrvačnosti

Moment setrvačnosti tělesa kolem libovolné osy procházející těžištěm a majícího směr daný jednotkovým vektorem lze znázornit jako kvadratickou (bilineární) formu : ${\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\ vpravo\vert=1$

I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad

(jeden)

kde je tenzor setrvačnosti . Matice tenzoru setrvačnosti je symetrická, má rozměry a skládá se ze složek odstředivého momentu: ${\klobouček {J}}$ $3\krát 3$

{\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy }&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{array}}\right\Vert ,

J_{xy}=J_{yx},\quad J_{xz}=J_{zx},\quad J_{zy}=J_{yz},\quad

J_{xx}=\int \limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,\quad J_{yy}=\int \limits _{(m)} (x^{2}+z^{2})dm,\quad J_{zz}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm.

Výběrem vhodného souřadnicového systému lze matici tenzoru setrvačnosti redukovat na diagonální tvar. Chcete-li to provést, musíte vyřešit problém vlastních hodnot pro tenzorovou matici : ${\klobouček {J}}$

{\hat {J}}_{d}={\hat {Q}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\hat {Q}},

{\hat {J}}_{d}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\\0&J_{Y}&0\\0&0&J_{Z}\end{array }}\vpravo\Vert ,

kde je ortogonální přechodová matice k vlastní bázi tenzoru setrvačnosti. Ve své vlastní bázi jsou souřadnicové osy nasměrovány podél hlavních os tenzoru setrvačnosti a také se shodují s hlavními poloosami elipsoidu tenzoru setrvačnosti. Veličiny jsou hlavní momenty setrvačnosti. Výraz (1) ve svém vlastním souřadném systému má tvar: ${\hat {Q}}}$ ${\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z))$

I_{s}=J_{X}\cdot s_{x}^{2}+J_{Y}\cdot s_{y}^{2}+J_{Z}\cdot s_{z}^{ 2},

odkud je získána rovnice elipsoidu ve vlastních souřadnicích. Dělení obou stran rovnice $I_{s}$

\left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s))))\right)^{2}\cdot J_{X}+\left({s_{y} \over {\ sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Y}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2 }\cdot J_{Z}=1

a provedení substitucí:

\xi ={s_{x} \over {\sqrt {I_{s)))),\eta ={s_{y} \over {\sqrt {I_{s)))),\zeta = {s_{z} \over {\sqrt {I_{s)))),

získáme kanonický tvar rovnice elipsoidu v souřadnicích : $\xi \eta \zeta$

\xi ^{2}\cdot J_{X}+\eta ^{2}\cdot J_{Y}+\zeta ^{2}\cdot J_{Z}=1.

Vzdálenost od středu elipsoidu k některým jeho bodům souvisí s hodnotou momentu setrvačnosti tělesa podél přímky procházející středem elipsoidu a tímto bodem:

r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s))} }\right)^{2}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s))))\right)^{2}+\left({s_{z} \over {\ sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}={1 \over I_{s}}.

Viz také

Komentáře

↑ Správné použití znaménka „+“ v tomto vzorci lze ověřit porovnáním momentů setrvačnosti dutého silnostěnného a plného válce se stejnou hmotností. Hmotnost prvního z těchto válců je totiž v průměru koncentrována dále od osy než druhého, a proto musí být moment setrvačnosti tohoto válce větší než u pevného válce. Právě tento poměr momentů setrvačnosti poskytuje znaménko „+“. Na druhé straně v limitu, protože r 1 má tendenci k r 2 , by vzorec pro silnostěnný dutý válec měl mít stejnou formu jako vzorec pro tenkostěnný dutý válec. Je zřejmé, že k takovému přechodu dochází pouze při použití vzorce se znaménkem „+“.

Poznámky

↑ 1 2 3 Targ S. M. Moment setrvačnosti // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Velká ruská encyklopedie , 1992. - T. 3. - S. 206-207. — 672 s. - 48 000 výtisků. — ISBN 5-85270-019-3 .
↑ Planetární přehled . Získáno 31. srpna 2010. Archivováno z originálu 14. března 2016. (neurčitý)
↑ Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. Galileovské satelity // Věda . - 1999. - Sv. 286 , č.p. 5437 . - str. 77-84 . - doi : 10.1126/science.286.5437.77 . — PMID 10506564 .
↑ Margot, Jean-Luc; a kol. Moment setrvačnosti Merkuru z dat rotace a gravitace // Journal of Geophysical Research : deník. - 2012. - Sv. 117 . - doi : 10.1029/2012JE004161 .
↑ Galkin I.N. Mimozemská seismologie. — M .: Nauka , 1988. — S. 42-73. — 195 str. — ( Planeta Země a vesmír ). — 15 000 výtisků. — ISBN 502005951X .
↑ Panteleev V. L. Fyzika Země a planet. Ch. 3.4 - Gravitační pole planety . Získáno 31. srpna 2010. Archivováno z originálu dne 3. října 2013. (neurčitý)
↑ 1 2 3 Targ S. M. Krátký kurz teoretické mechaniky. - M .: " Vysoká škola ", 1995. - S. 269-271. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 Buchholz N. N. Hlavní kurz teoretické mechaniky. - 4. vyd. - M .: " Nauka ", 1966. - T. 2. - S. 131.
↑ 1 2 3 Yablonsky A. A. Dynamika // Kurz teoretické mechaniky. - 3. vyd. - M . : " Vyšší škola ", 1966. - T. II. - S. 102-103. — 411 s.

Literatura

Matvejev. A. N. Mechanika a teorie relativity. Moskva: Vyšší škola, 1986
Trofimova T. I. Kurz fyziky. - 7. vyd. - M .: Vyšší škola, 2001. - 542 s.
Aleshkevich V. A., Dedenko L. G., Karavaev V. A. Mechanika pevných těles. Přednášky. Archivní kopie ze 7. ledna 2014 v nakladatelství Wayback Machine na Fyzikální fakultě Moskevské státní univerzity, 1997.
Pavlenko Yu.G. Přednášky o teoretické mechanice. M.: FIZMATLIT, 2002. - 392s.
Yavorsky B. M. , Detlaf A. A. Fyzika pro středoškoláky a studenty na vysoké školy: učebnice - M.: Drop, 2002, 800. léta. ISBN 5-7107-5956-3
Sivukhin DV Obecný kurz fyziky. V 5 svazcích Svazek I. Mechanika. 4. vyd. Moskva: FIZMATLIT; Nakladatelství MIPT, 2005. - 560 s.
Belyaev N. M. Pevnost materiálů. Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury nakladatelství "Nauka", 1976. - 608 s.

Odkazy

Stanovení momentu setrvačnosti těles jednoduchého tvaru .

Tematické stránky	Vědecká laboratoř
Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Velký Rus Brockhaus a Efron Nový V. Dahl Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4127020-4 J9U : 987007541141405171 LCCN : sh85086657 NKC : ph554023