Ellipsoid setrvačnosti

Ellipsoid setrvačnosti (pro bod O) je geometrický obrazec ve formě povrchu druhého řádu , který charakterizuje tenzor setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k bodu O.

Tenzor setrvačnosti a elipsoid setrvačnosti

Hlavní článek: Tenzor setrvačnosti

Moment setrvačnosti tělesa je dán obecným vzorcem:

I=\int {\mathbf r}_{{\bot }}^{2}\,dm

Tenzor setrvačnosti pro tuhé těleso je reprezentován jako symetrická matice

{\begin{pmatrix}I_{{xx}}&I_{{xy}}&I_{{xz}}\\I_{{yx}}&I_{{yy}}&I_{{yz}}\\I_{{zx }}&I_{{zy}}&I_{{zz}}\end{pmatrix}}

ve kterém prvky jsou momenty setrvačnosti kolem různých os:

$I_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm$

$I_{{xy}}=I_{{yx}}=-\int xy\,dm$
$I_{{xz}}=I_{{zx}}=-\int xz\,dm$
$I_{{yz}}=I_{{zy}}=-\int yz\,dm$

Matici tenzoru setrvačnosti lze znázornit v diagonálním tvaru a potom budou diagonální prvky , , hlavními momenty setrvačnosti tělesa. Rovnice pro elipsoid setrvačnosti je pak zapsána takto: ${\displaystyle I_{x))$ ${\displaystyle I_{y))$ ${\displaystyle I_{z))$

$I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1$

V tomto případě se souřadnicové osy elipsoidu musí shodovat s hlavními osami tělesa.

Znalost elipsoidu setrvačnosti umožňuje najít moment setrvačnosti tělesa kolem libovolné osy, pokud prochází středem elipsoidu. Za tímto účelem se podél vybrané osy nakreslí vektor poloměru , dokud se neprotne s elipsoidem setrvačnosti. Moment setrvačnosti tělesa kolem této osy je dán vzorcem:

$I={\frac {1}{r^{2}}}$ , kde je délka vektoru poloměru. $r$

Pokud je moment vnějších sil vzhledem k pevnému bodu roven nule, pak říkají, že je realizován Eulerův případ pohybu tuhého tělesa. Pro takový případ se Poinsotovi podařilo získat jasnou geometrickou interpretaci: elipsoid setrvačnosti pro pevný bod se valí bez klouzání po rovině fixované v prostoru; tato rovina je ortogonální k vektoru momentu hybnosti tělesa; úhlová rychlost tělesa je úměrná délce vektoru poloměru bodu dotyku a shoduje se s ním ve směru.

Příklady elipsoidů setrvačnosti

Obdélníkový hranol

Nechť má rovnoběžnostěn rozměry . Hlavní momenty setrvačnosti: $a,b,c$

I_{x}={\frac {m}{12}}(b^{2}+c^{2}),\quad I_{y}={\frac {m}{12}}(a^{ 2}+c^{2}),\quad I_{z}={\frac {m}{12}}(a^{2}+b^{2})

Přibližný pohled na elipsoid setrvačnosti je znázorněn na obrázku.

Pro výpočet elipsoidu setrvačnosti nekonečně dlouhé tenké tyče je jeden z rozměrů považován za mnohem větší než ostatní a elipsoid degeneruje do válcové plochy .

Literatura

Sivukhin D.V. Obecný kurz fyziky. - 4. vyd. — M. : FIZMATLIT; Nakladatelství MIPT, 2005. - ročník 1. Mechanika. - S. 311. - 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Laboratorní workshop o obecné fyzice / A.D. Gladun. - M. : MIPT, 2004. - T. 1. Mechanika. - S. 133. - 316 s. — ISBN 5-7417-0202-3 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoretická fyzika. - 5. vyd. - M. : FIZMATLIT, 2007. - T. 1. Mechanika. - S. 131. - 224 s. - ISBN 978-5-9221-0819-5 .