Darcyho zákon

Darcyho zákon ( Henri Darcy , 1856) je zákon o filtraci kapalin a plynů v porézním prostředí . Historicky zákon získal experimentálně A. Darcy [1] , ale lze jej získat zprůměrováním Navier-Stokesových rovnic popisujících tok na stupnici pórů [2] (v současnosti existují důkazy pro porézní média s periodickým [ 3] [4] a náhodná [5] mikrostruktura). Vyjadřuje závislost rychlosti filtrace kapaliny na tlakovém gradientu :

{\vec {u}}=-k{\vec {I)),

kde: - rychlost filtrace, - koeficient filtrace, - tlakový gradient [6] . $\vec u$ $k$ ${\vec I}$

V teoretické hydrodynamice

Ve fundamentální mechanice kontinua se při studiu proudění kapalin a plynů v porézním prostředí široce používá diferenciální forma Darcyho zákona (zde uvedena pro pohyb v gravitačním poli ):

{\vec {u}}=-{\frac {K}{\eta }}\nabla \left(\rho gz+P\right),

kde je vnější tlak, je hustota tekutiny, je její dynamická viskozita , je gravitační zrychlení , je vertikální souřadnice, je koeficient propustnosti. $P$ $\rho$ $\eta$ $G$ $z$ $K$

Rovnice silové rovnováhy

Darcyho zákon lze znázornit jako rovnici silové rovnováhy [7] :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

kde je pole vnějších sil, je dynamická viskozita kapaliny nebo plynu, je koeficient propustnosti . Koeficient propustnosti charakterizuje schopnost porézního média propouštět tekutinu. $\vec f$ $\eta$ $K = \eta k / \rho g$

Kompletní systém filtračních rovnic pro nestlačitelnou tekutinu také zahrnuje podmínku nestlačitelnosti :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

\operatorname {div} {\vec {u}}=0.

Nezbytnou okrajovou podmínkou pro tento model na pevných plochách je pouze podmínka neprostupnosti.

Potenciální forma práva

Při konstantním koeficientu permeability má filtrační rychlostní pole skalární potenciál , což umožňuje přepsat systém filtračních rovnic do tvaru Laplaceovy rovnice [6] :

{\vec {u}}=-k\nabla h,\quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi =kh,

kde je tlak. $h$

Laplaceova rovnice s okrajovou podmínkou vyplývá z podmínky nestlačitelnosti:

\Delta \Phi =0,

\left.{\frac {\partial \Phi }{\partial n))\right|_{S}=\left.\left({\vec {n))\cdot \nabla \Phi \right )\right|_{S}=0,

kde je normálový vektor k povrchu. Okrajová podmínka na pevných površích je podmínka, že normálová složka gradientu je rovna nule . ${\vec {n}}$ $\Phi$

V zásadě lze ve všech výše uvedených rovnicích kombinovat pole tělesných sil a tlakový gradient, což redukuje na jednoduchou renormalizaci tlaku.

Rozsah použitelnosti Darcyho zákona

Darcyho zákon platí pro filtraci kapalin podléhajících Newtonovu zákonu viskózního tření (Navier-Stokesův zákon). Pro filtraci nenewtonských tekutin (jako jsou některé oleje ) může být vztah mezi tlakovým gradientem a rychlostí filtrace nelineární nebo vůbec nealgebraický (jako je diferenciál).

Pro newtonské tekutiny je rozsah Darcyho zákona omezen na nízké rychlosti filtrace ( Reynoldsova čísla , vypočtená z charakteristické velikosti pórů, jsou menší než nebo v řádu jednotek). Při vyšších rychlostech je vztah mezi tlakovým gradientem a rychlostí filtrace nelineární (dobrá shoda s experimentálními daty je dána kvadratickou závislostí - Forchheimerův filtrační zákon).

Jednotky měření

Jednotkou SI propustnosti je metr čtvereční . V praktických aplikacích se darcy často používá jako jednotka (1 D ≈ 10 -12 m²).

Poznámky

↑ Darcy Henry. Les fontaines publiques de la ville de Dijon: exposition et application des principes à suivre et des formulales à zaměstnavatel dans les issues de distribution d'eau... . - Paříž: V. Dalmont, 1856. - VII + 647 s.
↑ Leontiev N.E. Základy teorie filtrace . - M . : Nakladatelství CPI na Fakultě mechaniky a matematiky Moskevské státní univerzity, 2009. - S. 24–29. — 88 str.
↑ Bakhvalov N.S. , Panasenko G.P. Průměrování procesů v periodických médiích. — M .: Nauka, 1984. — S. 164–169. — 352 s.
↑ Sanchez-Palencia E. Nehomogenní média a teorie kmitů / Pre. z angličtiny. vyd. O.A. Oleinik. - M .: Mir, 1984. - S. 176. - 472 s.
↑ Beljajev A.Yu. Průměrování v problémech teorie filtrace . — M .: Nauka, 2004. — S. 76–127. — 200 s.
↑ 1 2 Polubarinova-Kochina P. Ya. Teorie pohybu podzemní vody. Archivní kopie ze dne 10. března 2016 na Wayback Machine - M .: Nauka, 1977. - 664 s.
↑ Basniev K. S., Kochina N. I., Maksimov M. V. Podzemní hydromechanika: učebnice pro vysoké školy. - M.: Nedra, 1993. - 416 s.

Odkazy

Metrický standard Society of Petroleum Engineers (SPE) .

Viz také

Darcy je měrnou jednotkou propustnosti .
Pórovitost
Bernoulliho zákon