Uzavřený operátor

Ve funkcionální analýze jsou uzavřené operátory důležitou třídou neomezených operátorů , mnohem širší než třída omezených , tj. spojitých operátorů. Uzavřený operátor nemusí být definován na celém prostoru. Uzavřené operátory mají dost dobrých vlastností, aby mohly zavést své spektrum , sestrojit funkcionální počet a (ve speciálních případech) kompletní spektrální teorii. Důležitým příkladem uzavřených operátorů jsou derivační a mnoho diferenciálních operátorů .

Dovolit být lineární operátor mezi Banachovými prostory definovanými na nějakém lineárním podprostoru v . Nazývá se uzavřený [1] , je -li jeho graf uzavřen v , tedy pro libovolnou posloupnost, pokud platí, že a , pak a . $A\dvojtečka D(A)\podmnožina X\to Y$ $D(A)$ $X$ $X \krát Y$ $x_{n}\in D(A)$ $x_{n}\to x\in X$ $A(x_{n})\to y\in Y$ $x\in D(A)$ $A(x)=y$

Koncept uzavřeného lineárního operátoru je zobecněním konceptu lineárního spojitého operátoru: každý lineární spojitý operátor je uzavřený.

Vlastnosti uzavřeného lineárního operátoru

Pokud je uzavřený operátor invertibilní, pak je uzavřený. V důsledku toho má každý reverzibilní lineární spojitý operátor uzavřený inverzní operátor. $A$ $A^{{-1}}$
Pokud je všude v Banachově prostoru definován uzavřený lineární operátor s hodnotami v prostoru a existuje kladná konstanta taková, že pro kteroukoli z všude hustou množinu je operátor ohraničený. $A$ $X$ $Y$ $C$ $\|Axe\|\leq c\|x\|$ $X$ $A$
Banachova věta o uzavřeném grafu . Pokud je na vše definovánuzavřený operátor, pak je omezený. $A:X\to Y$ $X$
If je uzavřený operátor, je prostor s mírou a funkce , jsou silně měřitelné , pak (rovnost Bochnerových integrálů ). $A\dvojtečka X\to Y$ $(E,{\mathcal {B)),\mu )$ $x\colon E\to X$ $Ax\colon E\to Y$ $A\int x(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int Ax(t)\mathrm {d} \mu$

Příklady uzavřených, ale neomezených operátorů

V příkladech a jsou prostory funkcí, které jsou spojité a ohraničené na segmentu a paprsku $C[0,1]$ $C_{0}[0,\infty )$ $[0,1]$ $[0,\infty)$

Operátor diferenciace , s doménou - , s hodnotami v . ${\frac {d}{dt}}:C[0,1]\to C[0,1]$ $C^{1}[0,1]$ $C[0,1]$

Operátor násobení souřadnic $A:C_{0}[0,\infty )\to C_{0}[0,\infty )$

A(x)=tx(t)

. Oblast operátoru se skládá z funkcí splňujících nerovnost , kde závisí na .

A

|x(t)|\leq {\frac {c}{1+t))

C

x(t)

Poznámky

↑ Yoshida K. Funkční analýza. - M.: Mir, 1967. - S. 114.

Literatura

Vorovič I.I. , Lebeděv L.P. Funkcionální analýza a její aplikace v mechanice kontinua. - M .: Kniha Vuzovskaja, 2000 . — 320 s.
Trenogin V.A. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.