Klasická metoda pro výpočet přechodových jevů

Název metody „klasická“ odráží použití v ní řešení diferenciálních rovnic s konstantními parametry metodami klasické matematiky. Tato metoda má fyzikální přehlednost a je vhodná pro výpočty jednoduchých obvodů (výpočet složitých obvodů zjednodušuje operátorská metoda ).

Metodika

Etapy výpočtu přechodového děje v obvodu klasickou metodou:

Najděte nezávislé počáteční podmínky , tj. napětí na kapacitách a proudy na indukčnostech v okamžiku začátku přechodového děje.
Dále je nutné sestavit soustavu rovnic na základě Kirchhoffových , Ohmových zákonů , elektromagnetické indukce atd., popisujících stav obvodu po sepnutí, a vyloučením proměnných získat jednu diferenciální rovnici, v obecném případě, nehomogenní s ohledem na požadovaný proud nebo napětí . Pro jednoduché obvody se získá diferenciální rovnice prvního nebo druhého řádu, ve které se jako požadovaná hodnota zvolí buď proud v indukčním prvku, nebo napětí na kapacitním prvku. $i$ $u$
Dále je třeba sestavit obecné řešení získané nehomogenní diferenciální rovnice obvodu jako součet konkrétního řešení nehomogenní diferenciální rovnice a obecného řešení odpovídající homogenní diferenciální rovnice.
Konečně v obecném řešení by se měly najít konstanty integrace z počátečních podmínek, tj. podmínek v obvodu v počátečním čase po přepnutí.

Pokud jde o elektrické obvody, jako konkrétní řešení nehomogenní diferenciální rovnice, ustálený stav v uvažovaném obvodu (pokud existuje), tj. stejnosměrné proudy a napětí, pokud v obvodu působí zdroje konstantního EMF a proudů , nebo sinusová napětí a proudy při působení zdrojů sinusového EMF a proudů. Ustálené proudy a napětí se nazývají ustálený stav .

Obecné řešení homogenní diferenciální rovnice popisuje děj v obvodu bez zdrojů EMF a proudu, který se proto nazývá volný děj . Proudy a napětí volného procesu se nazývají volné a jejich vyjádření musí obsahovat integrační konstanty, jejichž počet je roven řádu homogenní rovnice.

Příklad výpočtu nejjednoduššího přechodového procesu klasickou metodou

Výzva

Obrázek ukazuje spínaný RL obvod . V určitém okamžiku t=0 se klíč K zavře. Určete závislost proudu v RL obvodu na čase.

Řešení

Podle druhého Kirchhoffova zákona je obvod popsán následující diferenciální rovnicí:

U=iR+L{\frac {di}{dt}},

kde první termín popisuje úbytek napětí na rezistoru R a druhý termín popisuje úbytek napětí na induktoru L.

Provedeme změnu proměnné a převedeme rovnici do tvaru: $i=ab$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Protože jeden z faktorů a, b lze zvolit libovolně, zvolíme b tak, aby výraz v závorce byl roven nule:

Rb+Lb'=0.

Oddělování proměnných:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac {R}{L}}t}.

Při zohlednění zvolené hodnoty b se diferenciální rovnice zredukuje do tvaru

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integrace, rozumíme

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Dostaneme výraz pro proud

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R }{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

Hodnota integrační konstanty se zjistí z podmínky, že v okamžiku t=0 nebyl v obvodu žádný proud:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

Konečně se dostáváme

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Viz také

Přechodové děje v elektrických obvodech

Literatura

Elektrotechnika: Proc. pro univerzity / A. S. Kasatkin, M. V. Němcov. - 7. vyd., starší - M.: Vyšší. škola, 2003. - 542 s.: nemoc. ISBN 5-06-003595-6

Odkazy

Klasická metoda pro výpočet přechodových jevů _ _ _ _
Metodika a příklady výpočtu přechodných procesů klasickou metodou. Archivováno 4. října 2006 na Wayback Machine na http://www.ups-info.ru Archivováno 14. června 2008 na Wayback Machine

Metody výpočtu elektrických obvodů
přímou aplikaci Kirchhoffových pravidel smyčkové proudy uzlové potenciály dva uzly koagulace Cauera ekvivalentní generátor superpoziční překryvy komplexní amplitudy sekce obvodové determinanty klasický operátor