Metoda přímé aplikace Kirchhoffových zákonů

Způsob přímé aplikace Kirchhoffových pravidel pro výpočet elektrického obvodu spočívá v sestavení soustavy B rovnic s B neznámými (B je počet větví v uvažovaném obvodu) podle dvou Kirchhoffových pravidel a jejich následném řešení.

Popis metody výpočtu

Zvažte výpočet elektrického obvodu , který neobsahuje zdroje proudu . Řetězec se skládá z větví B a uzlů Y. Jeho výpočet je redukován na hledání proudů ve větvích B. K tomu je nutné sestavit ( Y - 1) nezávislé rovnice podle prvního Kirchhoffova pravidla a K \u003d ( B - Y + 1) nezávislé rovnice podle druhého Kirchhoffova pravidla . Uzly a vrstevnice odpovídající těmto rovnicím se nazývají nezávislé (to znamená, že obsahují alespoň jednu větev, která nepatří do jiných uzlů/vrstev).

K vyřešení sestaveného systému lineárních algebraických rovnic můžete použít maticový tvar

AI=BE

kde

A

a jsou čtvercové matice koeficientů při proudech a EMF řádu B ;

B

já

a jsou sloupcové matice neznámých proudů a daného EMF.

E

Systémové řešení:

I=A^{-1}BE=GE

$A^{{-1}}$	$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1B}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2B}\\\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\a_{B1}&a_{B2}&\cdots &a_{BB}\end{bmatrix}}^{-1}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{12}&\cdots &\Delta _{1B}\\\Delta _{ 21}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{B1}&\Delta _{B2}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}^{T}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{B1}\\\Delta _{ 12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{B2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1B}&\Delta _{2B}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}$

- inverzní matice; je determinant matice A ; - algebraické doplňky prvků (viz způsoby hledání inverzní matice ). $\Delta$ $\Delta _{ik}$ $a_{{ik}}$

G=A^{-1}B={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&\cdots &g_{1B}\\g_{21}&g_{22}&\cdots &g_{2B }\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\g_{B1}&g_{B2}&\ctečky &g_{BB}\end{bmatrix}}

je matice vnitřní a vzájemné vodivosti (viz metoda superpozice ). ${\displaystyle g_{ii))$ $g_{{ik}}$

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+\cdots +g_{1B}E_{B};\\ I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+\cdots +g_{2B}E_{B};\\\vdots \\I_{B}=g_{B1} E_{1}+g_{B2}E_{2}+\cdots +g_{BB}E_{B};\end{matrix}}\right.

je soustava rovnic, které určují větvené proudy.

Při výpočtu obvodů touto metodou je často nutné sestavit velké množství rovnic a následně vypočítat matice vyšších řádů. Proto se v praxi používají jiné způsoby výpočtu.

Příklad použití

Jako příklad zvažte výpočet obvodu, jehož schéma je znázorněno na obrázku - obsahuje U \u003d 2 uzly a B \u003d 3 větve, to znamená K \u003d B - Y + 1 \u003d 3 - 2 + 1 \u003d 2 nezávislé obrysy (na obrázku jsou obrysy označeny přerušovanou čarou - můžete si vybrat libovolný pár - 1 a 2 nebo 2 a 3 nebo 1 a 3 ).

Libovolně volíme kladné směry větvících proudů , , (směry jsou již na obrázku vyznačeny). Podle prvního Kirchhoffova zákona lze sestavit jednu ( Y − 1 = 2 − 1 = 1 ) nezávislou rovnici např. pro uzel a $I_1$ $já_{2}$ $I_3$

-I_{1}-I_{2}+I_{3}=0

a podle druhého Kirchhoffova zákona - dvě (K = 2) nezávislé rovnice, např. pro obvody 1 a 2

{\displaystyle r_{1}I_{1}+r_{3}I_{3}=E_{1}+E_{2))

;

{\displaystyle r_{2}I_{2}+r_{3}I_{3}=E_{2}+E_{3))

Představme si systém těchto tří rovnic v maticovém tvaru:

{\begin{matrix}Y-1&\left\{~\right.\\K&\left\{{\begin{matrix}~\\~\end{matrix}}\right.\end{matrix }}{\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_ {2}\\I_{3}\end{bmatrix}}=AI={\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_ {2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=BE

nebo

${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}$	$={\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{-(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))){\begin{bmatrix}- r_ {2}r_{3}&-r_{1}r_{3}&r_{1}r_{2}\\-(r_{2}+r_{3})&r_{3}&-r_{2} \ \r_{3}&-(r_{1}+r_{3})&-r_{1}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end { bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}r_{3}&r_{2}+r_{3}&-r_{3}\\r_ {1}r_{3}&-r_{3}&r_{1}+r_{3}\\-r_{1}r_{2}&r_{2}&r_{1}\end{bmatrix}}{\začátek {bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}+r_{3}&-r_{3}&r_{2}\\-r_{3} &r_{1}+r_{3}&r_{1}\\r_{2}&r_{1}&r_{1}+r_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\ E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=[G][E].$

Nyní sestavíme soustavu aktuálních rovnic:

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+g_{13}E_{3};\\I_{2 }=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+g_{23}E_{3};\\I_{3}=g_{31}E_{1}+g_{32}E_ {2}+g_{33}E_{3},\end{matrix}}\vpravo.

kde

g_{11}=(r_{2}+r_{3})/r^{2}

;

{\displaystyle g_{22}=(r_{1}+r_{3})/r^{2))

;

g_{33}=(r_{1}+r_{2})/r^{2}

;

g_{12}=g_{21}=-r_{3}/r^{2}

;

g_{13}=g_{31}=r_{2}/r^{2}

;

{\displaystyle g_{23}=g_{32}=r_{1}/r^{2))

;

{\displaystyle r={\sqrt {r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))

Výpočet obvodů se zdroji proudu

Při výpočtu ekvivalentních obvodů s proudovými zdroji jsou možná zjednodušení, protože proudy větví s proudovými zdroji jsou známé a není třeba je počítat. Proto je počet nezávislých obvodů (bez zdrojů proudu), pro které je nutné sestavit rovnice podle druhého Kirchhoffova zákona, roven K \u003d (B - B - Y + 1), kde B je počet větví s aktuálními zdroji. $_{J}$ $_{J}$

Literatura

Elektrotechnika: Proc. pro univerzity / A. S. Kasatkin, M. V. Němcov. - 7. vyd., starší - M.: Vyšší. škola, 2003. - 542 s.: nemoc. ISBN 5-06-003595-6

Metody výpočtu elektrických obvodů
přímou aplikaci Kirchhoffových pravidel smyčkové proudy uzlové potenciály dva uzly koagulace Cauera ekvivalentní generátor superpoziční překryvy komplexní amplitudy sekce obvodové determinanty klasický operátor