Logaritmická amplitudově-fázová frekvenční odezva

Logaritmická amplitudově-fázová frekvenční charakteristika (běžná zkratka - LAFCH, v zahraniční literatuře se často nazývá Bode diagram nebo Bode plot) - zobrazení frekvenční charakteristiky lineárního stacionárního systému na logaritmické stupnici.

Úvod

LAFC je sestaven ve formě dvou grafů: logaritmické amplitudově-frekvenční odezvy a logaritmické fázově-frekvenční odezvy , které jsou obvykle umístěny pod sebou.

LACHH

LAFC je závislost modulu zesílení (napětí, proudu nebo výkonu) zařízení, ( , pro výkon , na frekvenci na logaritmické stupnici. $20\cdot \lg(|A_{{out}}|/|A_{{in}}|)$ $10\cdot \lg(|P_{out}|/|P_{in}|)$

Měřítko podél abscisy LACHH

Frekvence je vynesena podél osy x na logaritmické stupnici, jednotkou měření je bezrozměrná veličina:

dekáda (dec): 1 dekáda se rovná 10násobku změny frekvence.
oktáva (oct): 1 oktáva se rovná změně frekvence 2 krát.

Měřítko podél osy y LACHH

Amplituda výstupního signálu je vynesena podél svislé osy v logaritmických bezrozměrných veličinách:

decibel (dB) (jedna desetina Bel) je poměr výkonů (20 decibelů se rovná 10násobku výkonu) [1] .

neper (Np): 1 neper se rovná změně amplitudy signálů za e krát

LPCHX

LPFC je závislost fázového rozdílu výstupního a vstupního signálu na frekvenci na semilogaritmické stupnici

frekvence je vynesena na úsečce na logaritmické stupnici (v dekádách nebo oktávách)
osa y představuje výstupní fázi ve stupních nebo radiánech .

Napier a oktávy jsou nyní zastaralé a téměř nepoužívané.

Důvodem pro vynesení amplitudových a fázových charakteristik na logaritmické stupnici je možnost studia charakteristik ve velkém rozsahu.

Asymptotický LACH a LPCH

Ve skutečnosti jsou LACHH a LPCHH v praxi málo používané.

Pro názornější analýzu charakteristik jsou použity jejich modifikované verze - asymptotická logaritmická amplitudově-frekvenční charakteristika (ALFC) a asymptotická logaritmická fázově-frekvenční charakteristika (ALFC) , přičemž křivka je nahrazena segmenty přerušované čáry. Obvykle se slovo "asymptotický" vynechává, ale vždy je třeba mít na paměti, že ALACHH (ALPHCH) a LACHH (LPCH) jsou různé vlastnosti.

Analýza systémů pomocí ALPFC je velmi jednoduchá a pohodlná, proto je široce používána v různých odvětvích techniky, jako je digitální zpracování signálů , elektrotechnika a teorie řízení .

Jména

V západní literatuře se používá název Bodeův diagram nebo Bodeův graf , pojmenovaný podle vynikajícího inženýra Hendrika Wade Bodeho .

V inženýrských kruzích se název obvykle zkracuje na LAH .

GNU Octave a inženýrský softwarový balík MATLAB používá k vytvoření LAFC funkci bode .

Použití

Vlastnosti a vlastnosti

Pokud je přenosová funkce systému racionální , pak lze LAFC aproximovat přímkami. To je výhodné při ručním kreslení LAFCH, stejně jako při sestavování jednoduchých systémů LAFCH.

S pomocí LAFC je vhodné provádět syntézu řídicích systémů , stejně jako digitálních a analogových filtrů : v souladu s určitými kritérii kvality je sestaven požadovaný LAFC, aproximován pomocí přímek, který je pak rozdělen na LAFC jednotlivých elementárních článků, ze kterých se obnoví nebo odfiltruje přenosová funkce systému ( regulátoru ).

LACHH

Na grafu LAFC je úsečka frekvence na logaritmické stupnici, pořadnice ukazuje amplitudu přenosové funkce v decibelech .

Prezentace frekvenční charakteristiky na logaritmické stupnici zjednodušuje konstrukci charakteristik komplexních systémů, protože umožňuje nahradit operaci násobení frekvenční charakteristiky spojů sčítáním, což vyplývá z vlastnosti logaritmu : . $\lg(a\cdot b)=\lg(a)+\lg(b)$

FCH

Na grafu fázově-frekvenční charakteristiky je úsečka frekvence na logaritmické stupnici, pořadnice představuje fázový posun výstupního signálu systému vůči vstupu (obvykle ve stupních ).

Je také možné, že fázový posun na logaritmické stupnici je vykreslen podél osy y, v tomto případě bude charakteristika nazývána LPFC.

Případ systémů s minimální fází

Amplituda a fáze systému se zřídka mění nezávisle na sobě – při změně amplitudy se mění i fáze a naopak. Pro systémy s minimální fází mohou být LPFC a LAFC navzájem jednoznačně určeny pomocí Hilbert-Warringtonovy transformace .

Budova LAFCHH

Hlavní myšlenka je založena na následujícím matematickém pravidle pro sčítání logaritmů. Pokud lze přenosovou funkci reprezentovat jako zlomkovou racionální funkci

f(x)=A\prod (x+c_{n})^{a_{n}}

pak:

\log(f(x))=\log(A)+\součet a_{n}log(x+c_{n})

Po rozdělení přenosové funkce na elementární vazby je možné sestrojit LAFC každé jednotlivé vazby a výsledný LAFC lze získat jednoduchým sečtením.

Konstrukce asymptotického LAFC ( aproximace LAFC přímkami )

Při konstrukci LFR pro osu y se obvykle používá stupnice , to znamená, že hodnota frekvenční charakteristiky rovna 100 se změní na 40 decibelů stupnice LFR. Pokud je přenosová funkce: $20\cdot \operatorname {lg} (X)$

H(s)=A\cdot \prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}

kde je komplexní proměnná, kterou lze vztáhnout k frekvenci pomocí následující formální substituce: , a jsou konstanty a je přenosová funkce. Poté můžete LACHH postavit pomocí následujících pravidel:

\s

s=j\omega \

\x_{n}

\y_{n}

\ H

při každém kde (nula) se sklon čáry zvyšuje o dB za dekádu. $\s$ $\omega \=x_{n}$ $(20\cdot a_{n})$

v každém kde (pólu) se sklon čáry snižuje o dB za dekádu. $\s$ $\omega \=y_{n}$ $(20\cdot b_{n})$

Počáteční hodnotu grafu lze zjistit jednoduchým dosazením hodnoty kruhové frekvence do přenosové funkce. $\omega \$

Počáteční sklon grafu závisí na počtu a pořadí nul a pólů, které jsou menší než počáteční hodnota frekvence. Lze jej nalézt pomocí prvních dvou pravidel.

V případě komplexně konjugovaných nul nebo pólů je nutné použít spoje druhého řádu, , strmost se v bodě mění okamžitě o dB za dekádu. $x^{2}+ax+b$ ${\sqrt {b}}$ $(40\cdot a_{n})$

Oprava aproximovaného LACH

Pro korekci LACH, aproximovaného přímkami, je nutné:

vložte tečku na každou nulu dB nad čarou ( dB pro dvě komplexní sdružené nuly) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

na každý pól umístěte tečku dB pod čáru ( dB pro dva komplexně sdružené póly) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

plynule spojovat body pomocí přímek jako asymptot

Konstrukce asymptotického LPHF (aproximace)

K sestavení přibližného PFC se přenosová funkce používá ve stejné podobě jako u LAFC:

H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}.

Základním principem budování PFC je nakreslit samostatné grafy pro každý pól nebo nulu a poté je sečíst. Přesná křivka fázové odezvy je dána rovnicí:

\varphi =\název operátora {arctg} \left({\frac {\Im (H(j\omega ))}{\Re (H(j\omega ))))\vpravo).

Chcete-li nakreslit fázovou odezvu pro každý pól nebo nulu, použijte následující pravidla:

pokud je kladná, začněte čáru (s nulovým sklonem) na 0 stupních, $\A$
pokud je záporná, začněte čáru (s nulovým sklonem) na 180 stupních, $\A$
pro nulu nastavte sklon čáry nahoru o ( pro komplexně konjugované) stupně za dekádu počínaje $45\cdot a_{n}$ $90\cdot a_{n}$ $\omega ={\frac {x_{n}}{10)),$
pro pól nakloňte čáru dolů o ( pro komplexně konjugované) stupně za dekádu, počínaje od $45\cdot b_{n}$ $90\cdot b_{n}$ $\omega ={\frac {y_{n}}{10)),$
znovu vynulujte sklon, když se fáze změní o stupně pro jednoduchou nulu nebo pól a o stupně pro komplexně sdruženou nulu nebo pól, $90\cdot a_{n}$ $180\cdot a_{n}$
přidejte všechny čáry a nakreslete výslednou.

Analýza stability podle LAFCH

Níže je tabulka, která obsahuje přenosové funkce a LAFC některých typických elementárních vazeb. Většinu lineárních stacionárních systémů lze reprezentovat jako spojení takových vazeb. V tabulce - komplexní proměnná. $\s$

Ne.	Odkaz	Přenosová funkce	Poznámky
jeden	úměrný	$\K$	$\K=100$
2	ideální integrace	$\ 1/s$
3	ideální rozlišení	$\s$
čtyři	aperiodický (skutečný integrační)	${\frac {1}{Ts+1}}$	$\T=0,01$
5	oscilační	${\frac {1}{T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1))$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
6	nestabilní aperiodický	${\frac {1}{Ts-1}}$	$\T=0,01$ neminimální fáze
7	diferenciátor prvního řádu (vynucení první objednávky)	$\Ts+1$	$\T=0,01$
osm	vynucení druhého řádu	$\ T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
9	čisté zpoždění	$\e^{-sT}$	$\T=0,0001$

Odůvodnění

V jádru určování stability systému je uvažován model ve formě vazby pokryté negativní zpětnou vazbou a možnosti jejího vstupu do samooscilací (mez oscilační stability). Podmínkou vlastních kmitů je přítomnost kladné zpětné vazby, přičemž zesílení v přímém obvodu musí být alespoň jedno. Fáze výstupního signálu (popsaná fázově-frekvenční charakteristikou) je přiváděna zpět přes obvod záporné zpětné vazby na vstup, zatímco "fázová rezerva" je přídavný fázový posun, který musí být na výstupu, aby bylo možné získat kladnou zpětnou vazbu. Koeficient přenosu v přímé větvi je popsán amplitudově-frekvenční charakteristikou, zatímco frekvence, které odpovídá jednotkové zesílení, se nazývá „mezní frekvence“, v LAF je mezní frekvence průsečíkem charakteristiky s úsečkou. osa. Graficky je fázové rozpětí definováno jako rozdíl mezi fází při π radiánech (180°) a fází při mezní frekvenci (podmínka kladné zpětné vazby); „amplitudová rezerva“ je vzdálenost podél osy amplitudy od bodu mezní frekvence k amplitudě pod úhlem π radiánů (podmínka jednotkového koeficientu v přímé větvi).

Algoritmus výpočtu

Pro stanovení stability uzavřeného systému se konstruuje LAFC otevřeného systému (viz obr.). Poté musíte řešením rovnice najít mezní frekvenci ω cf (dále , pokud existuje několik kořenů, musíte vybrat největší kořen) a frekvence ω in je maximum z frekvencí, pro které . Potom - okraj stability v amplitudě, - okraj stability ve fázi. Pokud jsou tyto okraje záporné, pak je uzavřený systém nestabilní; pokud se rovná nule, je na hranici stability. $A(\omega _{cp})=0$ $A(\omega )=20\lg |W(j\omega )|$ $\varphi (\omega )=-180^{\circ }$ $\Delta A=A(\omega _{B})$ $\Delta \varphi =\varphi (\omega _{cp})+180^{\circ }$

Tento algoritmus je použitelný pouze pro systémy s minimální fází . V jiných případech lze k určení stability použít kritéria stability Nyquist-Michajlov a Routh-Hurwitz .

Viz také

Poznámky

↑ DB \u003d 20lg (A 2 / A 1 ) 20 \u003d 20 lg (A 2 / A 1 ) A 2 / A 1 \u003d 10

Odkazy

[jeden]