Galerkinova metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. března 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Galerkinova metoda ( Bubnov -Galyorkinova metoda ) je metoda pro přibližné řešení okrajové úlohy pro diferenciální rovnici . Zde může operátor obsahovat částečné nebo úplné derivace požadované funkce. $L[u]=f(x)$ $L[\cdot]$

Základ metody

Prvním krokem při implementaci Galerkinovy metody je výběr sady základních funkcí , které:

splnit okrajové podmínky .
v limitu nekonečného počtu základních prvků tvoří kompletní systém .

Konkrétní typ základních funkcí je určen ze specifik problému a pohodlnosti práce. Často se používají goniometrické funkce , ortogonální polynomy (polynomy Legendre , Chebyshev , Hermite , atd.).

Řešení je reprezentováno jako rozšíření, pokud jde o základ:

$\psi(x) = \sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

, kde jsou zvolené základní funkce, jsou neznámé váhové koeficienty. $\phi _{k}(x)$ ${\displaystyle \alpha _{k))$

Poté se do původní diferenciální rovnice dosadí přibližné řešení a vypočte se jeho nesrovnalost . U homogenní rovnice bude nesrovnalost vypadat takto: $L[u]=0$

$L\left[\psi (x)\right]=N(x).$

U nehomogenní rovnice bude nesoulad vypadat jako . $L[u]=f(x)$ $N(x)=L[\psi(x)]-f(x)$

Dále je předložen požadavek ortogonality reziduálních funkcí vůči bázím, to znamená:

$\int\limits_a^b{N(x) \phi_k(x) dx} = 0.$

Odtud se získá homogenní systém rovnic pro koeficienty v expanzi a je možné přibližně najít vlastní čísla problému. ${\displaystyle \alpha _{k))$

Příklad

Vezměme si jako ilustraci obyčejnou diferenciální rovnici :

$\psi'' + \lambda \psi = 0,$

s okrajovými podmínkami:

$\psi(0) = \psi(1) = 0.$

Řešení této rovnice je známé:

$\psi(x) = \sin \pi nx, \quad \lambda = \pi^2 n^2, \qquad n = 1,2..$

Pro první netriviální řešení je vlastní hodnota . $(n=1)$ $\lambda = \pi^2 \cca 9 869...$

Nyní použijeme Galerkinovu metodu. Nejprve si vybereme jednu základní funkci:

$\phi_0(x) = x(1-x), \qquad \psi(x) = a_0 \phi_0(x).$

Dosazením do rovnice dostaneme nesrovnalost:

$N(x) = a(\phi'' + \lambda \phi),$

a požadavek zbytkové ortogonality bude přepsán do tvaru:

$\int\limits_0^1{\phi'' \phi dx} + \lambda \int\limits_0^1{\phi^2 dx}=0.$

Odtud je zřejmé:

$\lambda = - {\int\limits_0^1{\phi''\phi dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx)) = {\int\limits_0^1{(\phi') ^2 dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx}}.$

Ve zde uvedeném příkladu se ukazuje , že se liší o méně než 1,5 % od přesného řešení. Zadání většího počtu bázových funkcí umožňuje zpřesnit již známou hodnotu λ a také získat první aproximaci pro další (odpovídající n=2). $\lambda = 10$

Řešení představujeme jako lineární kombinaci n funkcí:

$\psi(x)=\sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

Pak ten rozpor:

$N = \sum_{k=1}^n N_k(x)$ .

Systém rovnic pro expanzní koeficienty:

$\sum_{k=1}^n \alpha_k \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx} = 0, \quad j=1..n.$

V tomto případě jsou vlastní čísla nalezena z podmínky řešitelnosti systému (rovnost jeho determinantu k nule ):

$\operatorname{det} \left( A_{jk} \right) = 0, \quad A_{jk} = \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx}$

Je důležité si uvědomit, že konvergence Galerkinovy metody není vždy dosaženo rychle. Úspěšná aplikace je možná pouze u tzv. samoadjungované problémy, to znamená invariantní k hermitovské konjugaci .

Odrůdy

Galerkinova metoda má několik vylepšených možností:

Galerkin-Petrovova metoda - řešení je expandováno v jednom základu a ortogonalita zbytku je vyžadována v jiném.
Galerkin-Kantorovichova metoda umožňuje redukovat parciální diferenciální rovnice na obyčejné diferenciální rovnice. Například ve dvourozměrném problému je řešení reprezentováno jako: a Galerkinova procedura je aplikována pouze na jednu funkci (zde nebo ). Výsledkem je systém ODR, pro jehož řešení existují efektivní numerické metody. Tato technika je podobná známé Hartree-Fockově metodě v kvantové mechanice . $\psi(x,y)=\součet_n b_n X_n(x) Y_n(y),$ $X_n(x)$ $Y_n(y)$

Aplikace

Galerkinovy metody se již dlouho používají jak pro řešení parciálních diferenciálních rovnic , tak pro vytvoření základu metody konečných prvků .

Aplikaci metody na studium problémů stability hydrodynamických proudění realizoval G. I. Petrov , který prokázal konvergenci Galerkinovy metody pro hledání vlastních hodnot široké třídy rovnic, včetně rovnic pro nekonzervativní systémy, např. jako například rovnice kmitání ve viskózní tekutině.

V hydrodynamice Galerkinova metoda funguje nejúčinněji v problémech konvekce , díky jejich samovazbě. Problémy s toky takovými problémy nejsou a konvergence metody s neúspěšným výběrem báze může být velmi obtížná.

Původ jména

Metoda získala popularitu po výzkumu Borise Galerkina ( 1915 ). To bylo také použito Ivan Bubnov ( 1913 ) k řešení problémů v teorii pružnosti . Proto se tato metoda někdy nazývá Bubnov-Galyorkinova metoda . Teoreticky byla metoda podložena sovětským matematikem Mstislavem Keldyshem v roce 1942 .

Viz také

Weisstein, Eric W. Galerkin Method (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Literatura

Vorovich II O Bubnovově-Galyorkinově metodě v nelineární teorii kmitů mělkých skořápek. - Zprávy Akademie věd SSSR, 1956. - T. 110. - č. 5. - S. 723-726.
A. D. Ljaško . O konvergenci metod Galerkinova typu // Doklady AN SSSR. 1958. svazek 120, č. 2;
Galerkin B. G. Tyče a desky. Řada v některých otázkách pružné rovnováhy tyčí a desek. // Bulletin inženýrů. - 1915. - T. 1. - S. 897-908.
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. Přibližné metody vyšší analýzy. - 5. vyd. - L.-M., 1962.
Mikhlin S. G. Variační metody v matematické fyzice. - 2. vyd. — M.-L. — 1970.
Fletcher K. Numerické metody založené na Galerkinově metodě. - M.-Mir - 1988.
Itô, K. (ed.). "Metody jiné než rozdílové metody." § 303I v Encyklopedickém slovníku matematiky, 2. vyd., sv. 2. Cambridge, MA: MIT Press, s. 1139, 1980.
Ritz W. , Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Matematika-fyzika. třída. Nachrichten, Göttingen, 1908.
Ritz W., Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, "Journal für die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.
Gulyaev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L .,. Aplikované problémy teorie nelineárních oscilací mechanických systémů. - M . : Vyšší škola, 1989. - 383 s. - ISBN 5-06-000091-5 .

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody