Metoda pomalu se měnících amplitud

Metoda pomalu se měnících amplitud ( MMMA , někdy Van der Polova metoda ) [1] se používá pro přibližné řešení nelineárních rovnic, které jsou blízké lineární a oscilace jsou blízké harmonickým [2] . Metoda je založena na předpokladu, že amplituda (obálka) vlny se mění pomalu v čase a prostoru ve srovnání s periodou vlny.

Metoda se používá např. v radiofyzice [3] , nelineární optice [4] [5] [6] .

Příklad

Zvažte rovnici elektromagnetických vln :

\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2))}= 0,

kde k 0 a ω 0 jsou vlnový vektor a vlnová úhlová frekvence E ( r , t ) a použijte následující znázornění:

E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0} \,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\right],

kde označuje skutečnou část. $\scriptstyle \Re [\cdot ]$

V aproximaci pomalu se měnící amplitudy se předpokládá , že komplexní amplituda E 0 ( r , t ) se mění pomalu s r a t . Rovněž předpokládá, že E 0 ( r , t ) představuje vlnu šířící se dopředu ve směru k 0 . V důsledku pomalé změny E 0 ( r , t ) lze derivace vyšších řádů zanedbat: [7]

\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

a ,

\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{ \frac {\částečná E_{0}}{\částečná t}}\pravá|,

k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.

Po aplikaci aproximace a vynulování vyšších derivací bude vlnová rovnice zapsána jako:

2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\ ,\varepsilon _{0}\,{\frac {\částečné E_{0}}{\částečné t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\ ,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.

Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že k 0 a ω 0 splňují rozptylový vztah :

k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,

dostaneme:

\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\ částečné E_{0}}{\částečné t}}=0.

Toto je hyperbolická rovnice , jako původní vlnová rovnice, ale nyní spíše prvního než druhého řádu. Platí to pro koherentní vlny šířící se ve směrech blízkých k 0 . Často se taková rovnice řeší mnohem snadněji než ta původní.

Parabolická aproximace

Uvažujme šíření ve směru z , tj. k 0 || z .Pak metoda platí pouze pro derivace s ohledem na z -souřadnici a s ohledem na čas. Jestliže je Laplaceův operátor v rovině x - y , dostaneme jako výsledek: ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{\perp }=\částečné ^{2}/\částečné x^{2}+\částečné ^{2}/\částečné y^{2))$

k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.

Jedná se o parabolickou rovnici , proto se aproximace také nazývá parabolická aproximace [8] .

Viz také

Odkazy

↑ Balth. van der Pol Jun. D. Sc. (1927) VII. Nucené kmity v obvodu s nelineárním odporem. (Recepce s reaktivní triodou), The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3:13, 65-80
↑ Papaleksi N D, Andronov A A, Gorelik G S, Rytov S M "Některé výzkumy v oblasti nelineárních oscilací prováděné v SSSR od roku 1935" 33 335-352 (1947)
↑ Andreev V.S. Teorie nelineárních elektrických obvodů: Učebnice pro vysoké školy. - M .: Rozhlas a komunikace, 1982. - 280 s.
↑ Arecchi, F. T. & Bonifacio, R. IEEE J. Quantum Electron. 1, 169-178 (1965).
↑ Sizmin D.V. "Nelineární optika", Sarov: SarFTI, 2015. - 147 s.
↑ RW Boyd (2008). Nelineární optika (třetí vydání). Orlando: Academic Press.
↑ Butcher, Paul N. Prvky nelineární optiky / Paul N. Butcher, David Cotter. — Dotisk. - Cambridge University Press , 1991. - S. 216. - ISBN 0-521-42424-0 .
↑ Svelto, Orazio. Samozaostřování, samozachycování a samofázová modulace laserových paprsků // Pokrok v optice . - Severní Holandsko , 1974. - Sv. 12. - S. 23-25. - ISBN 0-444-10571-9 .