Nezbytné a postačující podmínky

Nutná podmínka a postačující podmínka  jsou typy podmínek , které logicky souvisí s nějakou propozicí . Rozdíl mezi těmito podmínkami se používá v logice a matematice k označení typů spojení úsudků.

Nutná podmínka

Je-li implikace absolutně pravdivým výrokem, pak pravdivost výroku je nezbytnou podmínkou pravdivosti výroku [1] [2] .

Nezbytnými podmínkami pro pravdivost tvrzení A jsou podmínky, bez kterých A nemůže být pravdivé.

Tvrzení P je nezbytnou podmínkou pro tvrzení X, když (pravda) X implikuje (pravda) P. To znamená, že pokud P je nepravdivé, pak je také X.

Pro soudy X typu "objekt patří do třídy M" se takový soud P nazývá vlastnost (prvků) M.

Dostatečný stav

Je-li implikace absolutně pravdivým tvrzením, pak pravdivost tvrzení je postačující podmínkou pravdivosti tvrzení [1] [2] .

Dostatečné podmínky jsou takové podmínky, za jejichž existence (splnění, dodržování) platí tvrzení B.

Tvrzení P je postačující podmínkou pro tvrzení X, když (pravda) P implikuje (pravda) X, to znamená, že pokud je P pravdivé, není již nutné X kontrolovat.

Pro soudy X typu „předmět patří do třídy M“ se takový soud P nazývá znakem příslušnosti ke třídě M.

Nutná a postačující podmínka

Tvrzení K je nezbytnou a postačující podmínkou pro výrok X, když K je nezbytnou podmínkou X i postačující. V tomto případě také říkají, že K a X jsou ekvivalentní , nebo ekvivalent , a označují nebo .

To vyplývá ze stejně pravdivého vzorce týkajícího se implikace a operace ekvivalence [3] :

U úsudků X typu „objekt patří do třídy M“ se takový úsudek K nazývá kritériem pro příslušnost do třídy M.

Výše uvedená tvrzení o nutných a postačujících podmínkách lze názorně demonstrovat pomocí pravdivostní tabulky logických výrazů.

Zvažte případy, kdy je implikace pravdivá. Pokud je totiž rozsudek nezbytnou podmínkou pro rozsudek , pak musí být pravdivý, aby implikace byla pravdivá, zároveň je rozsudek postačující podmínkou pro rozsudek , což znamená, že pokud je pravdivý , pak musí být skutečný.

Obdobné uvažování funguje i v opačném případě, kdy úsudek je nezbytnou podmínkou úsudku a úsudek postačující podmínkou úsudku .

Je-li nutná a postačující podmínka , jak je vidět z pravdivostní tabulky, oba soudy musí být pravdivé nebo oba soudy musí být nepravdivé.

A	B
0	0	jeden	jeden	jeden
0	jeden	jeden	0	0
jeden	0	0	jeden	0
jeden	jeden	jeden	jeden	jeden

Příklad

Prohlášení X: "Vasya dostává stipendium na této univerzitě."
Nutná podmínka P: "Vasya je studentem této univerzity."
Dostatečná podmínka Q: "Vasya studuje na této univerzitě bez trojek."
Důsledek R: "Získejte stipendium na této univerzitě."

Tento vzorec může být reprezentován jako podmíněný sylogismus několika způsoby:

1) vzorec: (Q → R) ˄ (R → P) → (Q → P);

2) oficiálně přijatý formát:

Pokud Vasya studuje na této univerzitě bez trojic, dostane stipendium.
Pokud Vasya dostane stipendium, pak je studentem této univerzity.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
Pokud Vasya studuje na této univerzitě bez trojky, pak je studentem této univerzity.

3) pomocí běžného uvažování:

Z toho, že je Vasja student, ještě nevyplývá, že dostává stipendium. Ale tato podmínka je nezbytná, to znamená, že pokud Vasya není student, pak zjevně nedostává stipendia.

Pokud Vasya studuje na univerzitě bez trojic, pak určitě dostane stipendium. Student Vasya však může získat stipendium (ve formě příspěvku), pokud studuje s trojčaty, ale má například chronické onemocnění.

Obecné pravidlo je následující:
V implikaci A → B :
A  je dostatečná podmínka pro B a
B  je nezbytná podmínka pro A .

Viz také

• implikace
• Tehdy a jen tehdy

Poznámky

1. ↑ 1 2 Edelman, 1975 , str. třicet.
2. ↑ 1 2 Gindikin, 1972 , str. 21.
3. ↑ Edelman, 1975 , str. 26.

Literatura

• Edelman S. L. Matematická logika. - M . : Vyšší škola, 1975. - 176 s.
• Gindikin S. G. Algebra logiky v úlohách. - M. : Nauka, 1972. - 288 s.

Odkazy

• Video archivováno 15. dubna 2016 na Wayback Machine za nezbytných a dostatečných podmínek
• " Nezbytnost a dostatek archivované 10. října 2019 na Wayback Machine " v učebnici MathIt

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus