Číselná posloupnost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. září 2020; kontroly vyžadují 7 úprav .

Číselná posloupnost (dříve v ruskojazyčné matematické literatuře existovala termínová varianta [1] [2] , patřící Sh. Mere [1] ) je posloupnost čísel .

Číselné posloupnosti jsou jedním z hlavních předmětů úvahy v matematické analýze .

Definice

Dovolit být buď soubor reálných čísel , nebo soubor komplexních čísel . Potom se posloupnost prvků množiny nazývá číselná posloupnost . $X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}$ $X$

Příklady

Funkce je nekonečná posloupnost celých čísel . Prvky této sekvence, počínaje prvním, mají tvar . $\left((-1)^{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle$
Funkce je nekonečná posloupnost racionálních čísel . Prvky této sekvence, počínaje prvním, mají tvar . $(1/n)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle$

Operace se sekvencemi

Na množině všech posloupností prvků množiny lze definovat aritmetické a jiné operace , pokud jsou na množině nějaké definovány . Takové operace jsou obvykle definovány přirozeným způsobem, tedy prvek po prvku. $X$ $X$

Nechť je operace -ary definována na množině : $X$ $N$ $F$

f\dvojtečka X^{N}\arrowarrow X

Potom pro prvky , , …, množinu všech posloupností prvků množiny, bude operace definována následovně: $x_{1}=(x_{{1n)))_{{n=1}}^{\infty }$ $x_{2}=(x_{{2n)))_{{n=1}}^{\infty }$ $x_{N}=(x_{{Nn)))_{{n=1}}^{\infty }$ $X$ $F$

f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{{1n}},x_{{2n}},\cdots ,x_{{ Nn}}\right))_{{n=1}}^{\infty }

Takto jsou například definovány aritmetické operace pro číselné posloupnosti.

Součet číselných řadječíselná řadataková, že $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}+y_{n}$

Rozdíl číselných posloupnostíječíselná posloupnosttaková, že. $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}-y_{n}$

Součin číselných posloupnostíječíselná posloupnosttaková, že. $x_{n}$ $y_{n}$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$

Soukromá číselná řadaa číselná řada, jejichž všechny prvky jsounenulové, se nazývá číselná řada. Pokud je v posloupnostina pozici, pak výsledek dělení takovou posloupností může být stále definován jako posloupnost. $x_{n}$ $y_{n}$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{\infty }$ $y_{n}$ $k\neq 1$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{{k-1}}$

Aritmetické operace lze samozřejmě definovat nejen na množině číselných posloupností, ale také na libovolných množinách posloupností prvků množiny, na kterých jsou aritmetické operace definovány, ať už jde o pole nebo dokonce kruhy .

Následné sekvence

Podposloupnost posloupnosti je posloupnost, kde je rostoucí posloupnost prvků množiny přirozených čísel. $(x_{n})$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Jinými slovy, dílčí posloupnost se získá ze sekvence odstraněním konečného nebo spočetného počtu prvků.

Příklady

Posloupnost prvočísel je podposloupností posloupnosti přirozených čísel.
Posloupnost přirozených čísel, která jsou násobky 12 , je podposloupností posloupnosti sudých přirozených čísel.

Vlastnosti

Každá sekvence je svou vlastní podsekvencí.
Pro jakoukoli následnou sekvenci platí, že . $(x_{{k_{n}}})$ $\forall n\in \mathbb{N} \colon k_{n}\geqslant n$
Dílčí posloupnost konvergentní posloupnosti konverguje ke stejné limitě jako původní posloupnost.
Jestliže všechny podposloupnosti nějaké původní posloupnosti konvergují, pak jsou jejich limity stejné.
Jakákoli podposloupnost nekonečně velké posloupnosti je také nekonečně velká.
Z libovolné neomezené číselné řady lze vybrat nekonečně velkou dílčí posloupnost, jejíž všechny prvky mají určité znaménko.
Z libovolné číselné posloupnosti lze vybrat buď konvergentní podposloupnost nebo nekonečně velkou podposloupnost, jejíž všechny prvky mají určité znaménko.

Mezní bod posloupnosti

Limitní bod posloupnosti je bod, v jehož okolí je nekonečně mnoho prvků této posloupnosti. U konvergentních číselných posloupností se limitní bod shoduje s limitou .

Limit sekvence

Limita posloupnosti je objekt, ke kterému se členové posloupnosti přibližují, jak se číslo zvyšuje. V libovolném topologickém prostoru je tedy limitou posloupnosti prvek, v jehož okolí leží všechny členy posloupnosti, počínaje některým. Zejména pro numerické posloupnosti je limita číslo, v jehož okolí leží všechny členy posloupnosti, počínaje nějakým jedním.

Částečná limita posloupnosti je limita jedné z jejích dílčích posloupností. U konvergentních číselných posloupností se vždy shoduje s obvyklou limitou.

Horní mez posloupnosti je nejvyšším bodem této posloupnosti.

Spodní limit sekvence je nejmenší limitní bod této sekvence.

Některé druhy sekvencí

Stacionární posloupnost je posloupnost, ve které jsou si všechny členy počínaje některými rovny. $(x_{n})$ stacionární . $\Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\ geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)$

Omezené a neomezené sekvence

Za předpokladu lineárního uspořádání množiny prvků posloupnosti lze zavést pojmy ohraničené a neomezené posloupnosti. $X$

Ohraničená posloupnost je posloupnost prvků množiny, jejíž všechny členy nepřesahují některý prvek z této množiny. Tento prvek se nazývá horní mez dané posloupnosti. $X$ $(x_{n})$ ohraničený nahoře . $\Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\leqslant M$
Níže ohraničená posloupnost je posloupnost prvků množiny,pro kterou existuje prvek v této množině, který nepřesahuje všechny její členy. Tento prvek se nazývá infimum dané sekvence. $X$ $(x_{n})$ ohraničený zespodu . $\Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\geqslant m$
Ohraničená posloupnost ( ohraničená na obou stranách ) je posloupnost ohraničená jak nahoře, tak dole. $(x_{n})$ omezený . $\Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M$
Neohraničená posloupnost je posloupnost, která není omezená. $(x_{n})$ neomezené . $\Leftrightarrow \forall m,M\in X~\existuje n\in\mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\ že jo)$

Kritérium ohraničenosti číselné posloupnosti

Číselná posloupnost je omezená tehdy a jen tehdy, pokud existuje takové číslo, že absolutní hodnoty všech členů posloupnosti jej nepřekročí.

(x_{n})

omezený .

\Leftrightarrow \exists A\in \mathbb{R} ~\forall n\in \mathbb{N} \colon |x_{n}|\leqslant A

Vlastnosti ohraničených posloupností

Číselná posloupnost s horní hranicí má nekonečně mnoho horních hranic.
Číselná posloupnost ohraničená zdola má nekonečně mnoho spodních hranic.
Ohraničená posloupnost má alespoň jeden limitní bod .
Ohraničená posloupnost má horní a dolní mez .
Pro jakékoli kladné číslo vzaté předem leží všechny prvky omezené číselné posloupnosti , počínaje nějakým číslem v závislosti na , uvnitř intervalu . $\varepsilon$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$
Leží- li mimo interval pouze konečný počet prvků omezené číselné posloupnosti , pak je interval v intervalu obsažen . $\left(a,b\right)$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$ $\left(a,b\right)$
Platí Bolzanova- Weierstrassova věta . Z libovolné ohraničené posloupnosti lze odlišit konvergentní podsekvenci.

Infinitezimální a infinitezimální posloupnosti

Infinitezimální posloupnost je posloupnost, jejíž limita je nula .
Nekonečně velká posloupnost je posloupnost, jejíž limita je nekonečno .

Vlastnosti infinitezimálních posloupností

Nekonečně malé posloupnosti mají řadu pozoruhodných vlastností, které se aktivně využívají v kalkulu , jakož i v příbuzných a obecnějších disciplínách.

Součet dvou infinitezimálních posloupností je sám o sobě také infinitezimální posloupností.
Rozdíl dvou infinitezimálních posloupností je sám o sobě také nekonečně malou posloupností.
Algebraický součet libovolného konečného počtu infinitezimálních posloupností je sám také nekonečně malou posloupností.
Součinem omezené posloupnosti a infinitezimální posloupnosti je nekonečně malá posloupnost.
Součin libovolného konečného počtu infinitezimálních posloupností je nekonečně malá posloupnost.
Jakákoli infinitezimální posloupnost je omezená.
Je-li stacionární posloupnost nekonečně malá, pak jsou všechny její prvky, počínaje některými, rovny nule.
Pokud se celá infinitezimální posloupnost skládá z identických prvků, pak jsou tyto prvky nuly.
Jestliže je nekonečně velká posloupnost, která neobsahuje nulové členy, pak existuje posloupnost , která je nekonečně malá. Pokud stále obsahuje nulové prvky, může být sekvence stále definována počínaje nějakým číslem a stále může být nekonečně malá. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $n$
Jestliže je nekonečně malá posloupnost, která neobsahuje nulové členy, pak existuje posloupnost , která je nekonečně velká. Pokud stále obsahuje nula prvků, může být sekvence stále definována počínaje nějakým číslem a bude stále nekonečně velká. $(\alpha _{n})$ $(1/\alpha _{n})$ $(\alpha _{n})$ $(1/\alpha _{n})$ $n$

Konvergentní a divergentní posloupnosti

Konvergentní posloupnost je posloupnost prvků množiny, která máv této množině limitu . $X$
Divergentní posloupnost je posloupnost, která není konvergentní.

Vlastnosti konvergentních posloupností

Každá infinitezimální posloupnost je konvergentní. Jeho limit je nula .
Odstranění libovolného konečného počtu prvků z nekonečné posloupnosti neovlivní ani konvergenci, ani limitu této posloupnosti.
Jakákoli konvergentní posloupnost prvků Hausdorffova prostoru má pouze jednu limitu.
Jakákoli konvergentní posloupnost je omezená. Ne každá ohraničená posloupnost však konverguje.
Posloupnost konverguje právě tehdy, když je omezená a její horní a dolní meze se shodují.
Pokud posloupnost konverguje, ale není nekonečně malá, pak od nějakého čísla je definována posloupnost , která je omezená. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$
Součet konvergentních posloupností je také konvergentní posloupností.
Rozdíl konvergentních posloupností je také konvergentní posloupností.
Součin konvergentních posloupností je také konvergentní posloupnost.
Podíl dvou konvergentních posloupností je definován počínaje nějakým prvkem, pokud druhá posloupnost není nekonečně malá. Pokud je definován podíl dvou konvergentních posloupností, pak se jedná o konvergentní posloupnost.
Pokud je konvergentní posloupnost omezena níže, pak žádná z jejích dolních hranic nepřekračuje její limit.
Pokud je konvergentní posloupnost ohraničená shora, pak její limita nepřesahuje žádnou z jejích horních hranic.
Pokud pro libovolné číslo členy jedné konvergentní posloupnosti nepřekročí členy jiné konvergentní posloupnosti, pak limita první posloupnosti také nepřekročí limitu druhé.
Pokud všechny prvky určité posloupnosti, počínaje určitým číslem, leží na segmentu mezi odpovídajícími prvky dvou dalších posloupností konvergujících ke stejné limitě, pak tato posloupnost také konverguje ke stejné limitě.
Jakákoli konvergentní posloupnost může být reprezentována jako , kde je limita posloupnosti a je nějaká nekonečně malá posloupnost. $(x_{n})$ $(x_{n})=(a+\alpha _{n})$ $A$ $(x_{n})$ $\alpha_{n}$
Každá konvergentní posloupnost je základní . Navíc základní číselná posloupnost vždy konverguje (stejně jako jakákoli základní posloupnost prvků celého prostoru).

Monotónní sekvence

Monotónní posloupnost je nerostoucí nebo neklesající posloupnost. Předpokládá se, že na množině, ze které jsou prvky posloupnosti převzaty, je zaveden vztah pořadí .

Základní sekvence

Základní posloupnost ( samokonvergující posloupnost , Cauchyho posloupnost ) je posloupnost prvků metrického prostoru , ve kterém pro jakoukoli předem stanovenou vzdálenost existuje takový prvek, jehož vzdálenost k žádnému z prvků, které za ním následují, nepřesahuje daný jeden. Pro číselné posloupnosti jsou pojmy základní a konvergentní posloupnosti ekvivalentní, ale v obecném případě tomu tak není.

Poznámky

↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Průběh diferenciálního a integrálního počtu / Ed. 7., stereotypní. - M . : Nauka , 1969. - T. 1. - S. 44. - 608 s.
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Explanatory Mathematical Dictionary. Základní pojmy: cca 2500 pojmů / Ed. Ph.D. A. P. Savina. - M . : Ruský jazyk , 1989. - S. 16 . — 244 s. — ISBN 5-200-01253-8 .

Viz také

Encyklopedie celočíselných sekvencí

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux