Nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. února 2022; kontroly vyžadují 6 úprav .

Aritmetický průměr, geometrický průměr a harmonická střední nerovnost říká, že pro všechna nezáporná čísla platí nerovnost: $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {aritm} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {geom } }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {harmon} },

a rovnosti je dosaženo právě tehdy, když . ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n))$

Tato nerovnost je speciálním případem střední nerovnosti (Cauchyho nerovnost).

Definice

Výraz

{\bar {x}}_{\mathrm {aritm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\ frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}

se nazývá aritmetický průměr čísel . $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$

Výraz

{\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}}={ \sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}

se nazývá geometrický průměr čísel . $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$

Výraz

{\bar {x}}_{\mathrm {harmon} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}} ))}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x_ {n}}}}}

se nazývá harmonický průměr čísel . $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$

Výraz

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt ({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i} ^{2))))={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}

se nazývá střední střední kvadrát čísel . $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$

Související výsledky

Speciálním případem střední nerovnosti je nerovnost mezi aritmetickým průměrem a geometrickým průměrem .
Cauchyho nerovnost ve zobecněné formě tvořila základ geometrického programování .
Carlemanova nerovnost .

Historie

Jeden důkaz této nerovnosti publikoval Cauchy ve své učebnici počtu v roce 1821 [1] .

Důkaz

Pro n = 2

Počet důkazů této nerovnosti je v současnosti srovnatelný snad jen s počtem důkazů Pythagorovy věty. K pouzdru dáváme krásný geometrický důkaz . Dostaneme dva segmenty délky a . Poté sestrojíme kružnici o průměru (viz obr. 1). Od jednoho z konců průměru označte bod ve vzdálenosti . Tímto bodem nakreslíme kolmici k průměru; výsledná čára protíná kružnici ve dvou bodech a . Zvažte výsledný akord. Trojúhelník je pravoúhlý, protože úhel je vepsán do kruhu a vychází z jeho průměru, což znamená, že je to přímka. Takže, je výška trojúhelníku , a výška v pravoúhlém trojúhelníku je geometrický průměr dvou segmentů přepony . Takže . Podobně z trojúhelníku získáme, že , Proto . Protože je tětiva kruhu s průměrem , a tětiva nepřesahuje průměr, dostaneme, že , nebo . Všimněte si, že rovnost bude, když se tětiva shoduje s průměrem, tedy když . $n=2$ $A$ $b$ $a+b$ $M$ $A$ $C$ $C_{1}$ $ABC$ $C$ $CM$ $ABC$ $CM={\sqrt {ab}}$ $ABC_{1}$ $C_{1}M={\sqrt {ab))$ $CC_{1}=2CM=2C_{1}M=2{\sqrt {ab))$ $CC_{1}$ $a+b$ $2{\sqrt {ab}}\leqslant a+b$ ${\sqrt {ab}}\leqslant {\frac {a+b}{2}}$ $a=b$

Algebraický důkaz lze sestavit následovně:

{\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}\;\Leftrightarrow \;(a+b)^{2}\geqslant 4ab\;\Leftrightarrow \;(ab )^{2}\geqslant 0

Všimněte si, že první přechod je ekvivalentní kvůli nezápornosti a . $A$ $b$

Pro n = 4

Stačí dát , stejně jako . Na základě toho, co bylo dokázáno, je to snadné $\alpha ={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},\;\beta ={\frac {a_{3}+a_{4}}{2}}$ $\alpha '={\sqrt {a_{1}a_{2}}},\;\beta '={\sqrt {a_{3}a_{4}}}$

{\frac {\alpha +\beta }{2))\geqslant {\sqrt {\alpha \beta ))\geqslant {\sqrt {\alpha '\beta '))\;\Leftrightarrow \;{ \frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3} a_{4}}}

Indukcí s krokem zpět

Je zřejmé, že přechod z 2 na 4 indukcí s sebou nese platnost nerovnosti pro , a pro tu, která nás zajímá, je . Za předpokladu, že nerovnost platí pro , prokážeme její platnost pro . K tomu stačí dát $N=2^{k}$ $n$ $k:N\geqslant n$ $N$ $N-1$ ${\displaystyle a_{N}={\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1))))$

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N}}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N}} }\;\Šipka doleva \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}+{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1)) }}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}}\;\Šipka doleva \;

a_{1}+\ldots +a_{N-1}\geqslant (N-1){\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1 }}}\;\Šipka doleva \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}}{N-1}}\geqslant {\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \ cdot a_{N-1}}}

Z principu indukce platí výše uvedený důkaz také pro . $n$

Přímý důkaz

{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_ {n}}{n}}}

Vydělme obě strany nerovnosti a proveďte změnu . Pak za podmínek je nutné prokázat, že (1). ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $1\leqslant {\frac {y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}}$

Použijme metodu matematické indukce .

Musíme dokázat, že pokud , pak . Použijeme nerovnost (1), kterou induktivním předpokladem považujeme za prokázanou pro . Nechť , a vyberte z posloupnosti ( ) dva členy takové, že , (tyto přesně existují, protože ). Pak jsou splněny obě podmínky a předpokládá se, že nerovnost nebo je prokázána . Nyní nahraďme . To lze provést díky tomu, že nebo , což samozřejmě platí, protože . Tím je nerovnost dokázána. $m_{1}>0,m_{2}>0,...,m_{n+1}>0;\quad m_{1}m_{2}...m_{n+1}= jeden$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n+1}\geq n+1$ $n$ ${\displaystyle y_{1}=m_{1},y_{2}=m_{2},...,y_{n}=m_{n}m_{n+1))$ $m_i$ $m_{n}\geq 1$ $m_{n+1}\leq 1$ $m_{i}>0,m_{1}*m_{2}*...*m_{n+1}=1$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $y_{1}+y_{2}+...+y_{n}\geq n$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n}m_{n+1}\geq n$ $m_{n}m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}\geq m_{n}m_{n+1}+1$ $m_{n}+m_{n+1}-m_{n}m_{n+1}-1\geq 0$ $m_{n}(1-m_{n+1})-(1-m_{n+1})=(m_{n}-1)(1-m_{n+1})\geq 0$

Reflexe v kultuře

Epizoda s důkazem, že aritmetický průměr je větší než geometrický průměr, je přítomna v jedné ze scén filmu „ Srdce čtyř “ v roce 1941.

Poznámky

↑ Cauchy, Augustin-Louis. Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Premiérový večírek. Analyzujte algebriku . - Paříž, 1821. - S. 457-459 . Archivováno z originálu 15. března 2017.

Literatura

Solovjov Yu Augustin Louis Cauchy a matematická indukce // Kvant . - 1991. - č. 3 . - S. 13-14 .

Znamenat
Matematika	Střední mocnina ( vážená ) harmonický průměr vážený geometrický průměr vážený Průměrný vážený střední kvadratická Průměrný krychlový klouzavý průměr Aritmecko-geometrický průměr Funkce Průměr Kolmogorov znamená
Geometrie	geometrický střed Barycentrum
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika	Winsorized průměr průměr vzorku Očekávaná hodnota Medián Móda standardní odchylka Zkrácený průměr Podmíněné očekávání
Informační technologie	Medoid k-mediánovou metodou
Věty	První střední věta Druhá střední věta Nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru
jiný	Metriky distribučního centra