Mocenský průměr

Střední hodnota d (nebo jednoduše střední hodnota síly ) je druh střední hodnoty . Pro množinu kladných reálných čísel je definován jako $x_{1},\ldots ,x_{n}$

A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{ i}^{d}}{n}}}.

Současně se podle principu kontinuity s ohledem na indikátor d určují následující hodnoty:

A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})= {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};

A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{ n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};

A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{ n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.

Mocninný průměr je zvláštním případem Kolmogorovova průměru .

Spolu s pojmem "střední výkon" se používá také vážený střední výkon některých veličin.

Další tituly

Protože průměr stupně d zobecňuje starověké (tzv. Archimedovy) průměry, často se nazývá zobecněný průměr .

V souvislosti s nerovnostmi Minkowského a Höldera má mocenský průměr i jména: Hölderův průměr a Minkowského průměr .

Speciální případy

Průměrné stupně 0, ±1, 2 a mají svá vlastní jména: $\pm\infty$

$A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ nazývaný aritmetický průměr ;

(jinými slovy: aritmetický průměr n čísel je jejich součet dělený n )

$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}$ se nazývá geometrický průměr ;

(jinými slovy: geometrický průměr n čísel je n - tá odmocnina součinu těchto čísel)

$A_{{-1))(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1 }{x_{2))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n))))}$ nazývaný harmonický průměr .

(jinými slovy: harmonický průměr čísel je převrácená hodnota aritmetického průměru jejich převrácených hodnot)

$A_{{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ nazývaný střední čtverec (square) , známý také pod zkratkou RMS (root-mean-square).
Ve statistické praxi se používají i mocninné průměry třetího a vyššího řádu. Nejběžnější z nich jsou průměrné kubické a průměrné bikvadratické hodnoty.
Maximální a minimální počet ze sady kladných čísel je vyjádřen jako průměr mocnin těchto čísel: $+\infty$ $-\infty$

\operatorname {max}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{+\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n});

\operatorname {min}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{-\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n}).

Nerovnost o prostředcích

Střední nerovnost uvádí, že pro jakékoli $d_{1}>d_{2}$

A_{{d_{1}}}(x_{1},\ldots,x_{n})\geq A_{{d_{2}}}(x_{1},\ldots,x_{n})

navíc, rovnosti je dosaženo pouze tehdy, jsou-li všechny argumenty stejné . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

K prokázání střední nerovnosti stačí ukázat, že parciální derivace vzhledem je nezáporná a mizí pouze v (například pomocí Jensenovy nerovnosti ), a poté použít vzorec konečného přírůstku . $A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})$ $d$ $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Nerovnost aritmetického, geometrického a harmonického průměru

Speciálním případem nerovnosti o průměru je nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru

\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}\geq {\frac {n}({\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},

kde se každá z nerovností stává rovností pouze pro . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Viz také

Schweitzerova nerovnost

Odkazy

I. I. Zhogin. O průměrech // Matematické vzdělání . Druhá série. - 1961. - Vydání. 6 . - S. 217-226 .

Znamenat
Matematika	Střední mocnina ( vážená ) harmonický průměr vážený geometrický průměr vážený Průměrný vážený střední kvadratická Průměrný krychlový klouzavý průměr Aritmecko-geometrický průměr Funkce Průměr Kolmogorov znamená
Geometrie	geometrický střed Barycentrum
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika	Winsorized průměr průměr vzorku Očekávaná hodnota Medián Móda standardní odchylka Zkrácený průměr Podmíněné očekávání
Informační technologie	Medoid k-mediánová metoda
Věty	První střední věta Druhá střední věta Nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru
jiný	Metriky distribučního centra