Octamino

Octamino  - osmičlánkové polyominoes , tedy ploché figury skládající se z osmi stejných čtverců spojených stranami. S osmičíslími, stejně jako se všemi polyomino, existuje mnoho problémů zábavné matematiky.

Pokud nepočítáme různé figury, které se shodují při rotacích a zrcadlových odrazech, pak existuje 369 různých („volných“) forem oktaminu (viz obrázek) [1] . Existuje 704 typů „jednostranných“ oktaminů (pokud jsou zrcadlové odrazy považovány za různé údaje) a 2725 typů „nehybných“ oktaminů (za různé jsou považovány i zatáčky) [2] .

Klasifikace oktaminových figur podle jejich symetrických vlastností

369 volných octamino figurek podle jejich symetrických vlastností lze rozdělit do 8 kategorií:

• 316 číslic octamino (na obrázku zobrazeno šedě) je asymetrických;
• 23 octamino (zobrazeno červeně) má osu symetrie rovnoběžnou s čarami čtvercové sítě;
• 5 octamino (znázorněno zeleně) má diagonální osu symetrie;
• 18 oktaminů (zobrazených modře) má centrální (rotační) symetrii druhého řádu;
• 1 oktamin (znázorněno žlutě) má centrální (rotační) symetrii čtvrtého řádu;
• 4 octamino (zobrazené fialově) mají dvě osy symetrie rovnoběžné s čarami mřížky;
• 1 octamino (znázorněno oranžově) má dvě diagonální osy symetrie.
• 1 octamino (zobrazeno modrozeleně) má čtyři osy symetrie – dvě rovnoběžné s čarami mřížky a dvě diagonální.

Octamino je nejmenší polyomino pořadí, ve kterém je realizováno všech osm možných typů symetrie. Dalším řádem polyominů s touto vlastností je dodekamino (dvanáctibuněčné polyomino).

Pokud jsou zrcadlové obrazy obrazců považovány za odlišné, pak se počet první, čtvrté a páté kategorie zdvojnásobí, což dává dalších 335 oktaminů, tedy celkem 704 jednostranných oktaminů.

Pokud jsou rotace také považovány za různé postavy, pak

• figurky první kategorie lze orientovat osmi různými způsoby;
• postavy z kategorií od druhé do čtvrté - čtyři;
• postavy z kategorií pět až sedm - dva;
• jediná figura z poslední kategorie se může orientovat jedinečným způsobem.

To dává pevné octamino.

Kreslení figurek z octamina

Mezi 369 volnými oktaminy je 6 figurek s otvory („non-simply connected“). Z toho vyplývá, že úplné pokrytí jakéhokoli obdélníku o ploše čtverců kompletní sadou oktaminů je nemožné. Lze je však skládat do některých obdélníků o ploše 2958 čtverců se šesti jednobuněčnými otvory. Protože číslo 2958 je součinem prvočísel 2×3×17×29, můžeme si položit otázku nakreslení obdélníků 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 a 51×58.

Pro obdélník 51×58 existuje řešení se symetrickým uspořádáním otvorů, jak je znázorněno na obrázku. K dispozici je také stohování octamino ve třech obdélnících 29x34, každý se dvěma otvory blízko středu. Jejich různými způsoby můžete získat obdélník 34x87 nebo 29x102 se symetrickým uspořádáním tří párů otvorů. Řešení pro obdélníky 6×493 a 17×174 zatím nejsou známy.

Prostorové octamino

Z 369 prostorových oktaminů, tvarovaných jako pravidelné „ploché“ oktaminy, lze sestavit kvádr 8  ×  9  ×  41. Jedno řešení používá všechny kromě rovného oktamina k sestavení osmi samostatných vrstev 1  ×  9  ×  41; přímé oktamino prochází středy všech osmi vrstev [3] .

Pseudooctamino

Pseudopolyomino je zobecněním polyomina, množiny polí nekonečné šachovnice, kterou může král obejít [1] . Existuje 18 770 volných (dvoustranných) [4] , 37 196 jednostranných [5] a 147 941 pevných [6] pseudooktaminů.

Poznámky

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Octomino  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
3. ↑ Ed Pegg, Jr. materiál přidán 11. března 2001 . Patrick Hamlyn zabalil solidní octominy působivým způsobem, a to trojbarevným! . MathPuzzle.com . Získáno 20. listopadu 2015. Archivováno z originálu 26. ledna 2016. (neurčitý)
4. ↑ OEIS sekvence A030222 _
5. ↑ OEIS sekvence A030233 _
6. ↑ OEIS sekvence A006770 _

Literatura

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. z angličtiny. V. Firsová. Úvodní slovo a ed. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 s.