Jednotkový čtverec

Jednotkový čtverec  je čtverec, jehož strana je jednotkový segment . Jednotkový čtverec je jednotka plochy . Někdy je požadováno, aby v pravoúhlých souřadnicích byl levý dolní roh jednotkového čtverce v počátku souřadnic a jeho strany by byly rovnoběžné s osami souřadnic. V tomto případě mají jeho vrcholy souřadnice , , a .

Definice

Jednotkový čtverec často znamená jakýkoli čtverec se stranou 1.

Pokud je uveden pravoúhlý souřadnicový systém , pak se tento termín často používá v užším smyslu: jednotkový čtverec je množina bodů, jejichž obě souřadnice ( x a y ) leží mezi 0 a 1 :

Jinými slovy, jednotkový čtverec je přímý součin I × I , kde I  je jednotkový segment .

V komplexní rovině jednotkový čtverec znamená čtverec s vrcholy 0 , 1 , 1 + i a i [1] .

Plošná jednotka

Jednotkový čtverec je měrnou jednotkou pro plochu obrázku. Změřit plochu figury znamená najít poměr plochy figury k ploše jednotkového čtverce, to znamená, kolikrát lze jednotkový čtverec položit na daný obrázek. [2] . Existují všechny důvody domnívat se, že oblast byla určena matematikou starověkého Babylonu [3] . V „ Principech “ Euclid neměl jednotku délky, což znamená, že neexistoval žádný koncept jednotkového čtverce. Euclid neměřil plochy čísly, místo toho zvažoval poměry ploch k sobě [4] .

Vlastnosti

• Plocha jednotkového čtverce je 1, obvod  je 4 a úhlopříčka  je .
• Jednotkový čtverec je "kruh" o průměru 1 ve smyslu jednotné normy ( ), tedy množina bodů, které se nacházejí ve vzdálenosti 1/2 ve smyslu jednotné normy od středu se souřadnicemi. (1/2, 1/2) je jednotkový čtverec [5 ] .
• Cantor dokázal, že mezi jednotkovým segmentem a jednotkovým čtvercem existuje korespondence jedna ku jedné . Tento fakt je tak kontraintuitivní, že Cantor napsal Dedekindovi v roce 1877 : „Vidím to, ale nevěřím tomu“ [6] [7] .
• Ještě překvapivější fakt objevil Peano v roce 1890: ukazuje se, že existuje souvislé mapování segmentu na čtverec. Příkladem takového mapování je Peanova křivka , první příklad křivky vyplňující prostor. Peanova křivka specifikuje souvislé zobrazení jednotkového segmentu na čtverec, takže pro každý bod čtverce existuje odpovídající bod segmentu [8] .
• Neexistuje však žádné souvislé mapování jedna ku jedné ze segmentu na čtverec. Peanova křivka obsahuje více bodů, to znamená, že prochází některými body čtverce více než jednou. Peanova křivka tedy nedefinuje korespondenci jedna ku jedné. Ve skutečnosti je snadné dokázat, že segment není homeomorfní ke čtverci, což znamená, že se nelze vyhnout více bodům [9] .

Otevřít číslo

Není známo (od roku 2011), zda v rovině existuje bod, jehož vzdálenost k libovolnému vrcholu jednotkového čtverce je racionální číslo . Je však známo, že takový bod na hranici čtverce neexistuje [10] [11] .

Viz také

• jednotková koule
• jednotkový kruh
• jednotková kostka

Poznámky

1. ↑ Weisstein, Eric W. Unit Square  na webu Wolfram MathWorld .
2. ↑ Valerij Gusev, Alexander Mordkovich. Matematika: vzdělávací a referenční příručka . Litry, 2016-06-10. - S. 436. - 674 s. — ISBN 9785457404793 .
3. ↑ Peter Strom Rudman. Jak se stala matematika: Prvních 50 000 let . — Knihy Prometheus, 2007-01-01. - S. 108. - 316 s. — ISBN 9781615921768 .
4. ↑ Saul Stahl. Geometrie od Euklida po uzly . — Courier Corporation, 2012-05-23. — S. 99-100. — 481 s. — ISBN 9780486134987 .
5. ↑ Athanasios C. Antoulas. Aproximace rozsáhlých dynamických systémů . — SIAM, 25. 6. 2009. - S. 29. - 489 s. — ISBN 9780898716580 .
6. ↑ Sergej Demenok. Fraktál: Mezi mýtem a řemeslem . — Litry, 2016-06-08. - S. 156. - 298 s. — ISBN 9785040137091 .
7. ↑ Michael J. Bradley. Základy matematiky: 1800 až 1900 . - Infobase Publishing, 2006. - S. 104-105. — 177 str. — ISBN 9780791097212 .
8. ↑ Sergej Sizy. Matematické problémy. Studentské olympiády Matematicko-mechanické fakulty Uralské státní univerzity . — Litry, 2016-04-14. - S. 34. - 128 s. — ISBN 9785040047086 . Archivováno 7. dubna 2022 na Wayback Machine
9. ↑ Alexander Shen, Nikolaj Vereščagin. Přednášky z matematické logiky a teorie algoritmů. Část 1. Počátky teorie množin . Litr, 2015-11-13. - S. 19. - 113 s. — ISBN 9785457918795 . Archivováno 7. dubna 2022 na Wayback Machine
10. ↑ Guy, Richard K. (1991), Unsolved Problems in Number Theory, Vol. 1 (2. vyd.), Springer-Verlag, s. 181-185  .
11. ↑ Barbara, Roy (březen 2011), Problém racionální vzdálenosti , Mathematical Gazette vol . 95(532): 59-61 , < http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 > z prosince 24, 2015 na Wayback Machine . 

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Unit Square  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .