Úplný faktoriální experiment

Úplný faktoriální experiment (FFE) – soubor několika měření , která splňují následující podmínky:

Počet měření je 2 n , kde n je počet faktorů;
Každý faktor má pouze dvě hodnoty - horní a dolní;
Při měření se kombinují horní a dolní hodnoty faktorů ve všech možných kombinacích.

Výhody plného faktoriálního experimentu jsou

snadnost řešení soustavy rovnic pro odhad parametrů ;
statistická redundance v počtu měření, která snižuje dopad jednotlivých chyb měření na odhad parametrů.

Předběžné zápasy

Odhad parametrů systému

V praxi je často nutné vyhodnotit parametry určitého systému, to znamená sestavit jeho matematický model a najít číselné hodnoty parametrů tohoto modelu. Výchozími daty pro stavbu modelu jsou výsledky experimentu , což je soubor několika měření provedených podle konkrétního plánu. V nejjednodušším případě je plán popisem podmínek měření, tedy hodnot vstupních parametrů (faktorů) během měření.

Jako příklad systémů, jejichž odhad parametrů je relevantní z praktického hlediska, mohou posloužit různé technologické postupy. Pro ilustraci zvažte proces fotolitografie.

Fotolitografie je aplikace vzoru na povrch pomocí fotografické metody. Skládá se z následujících fází: příprava povrchu, nanesení fotocitlivé emulze ( fotorezist ), sušení, instalace šablony nebo desky s negativním vzorem, expozice (osvětlení) ultrafialovými paprsky, leptání (vyvolávání). Protože technologické jemnosti fotolitografie nejsou v tomto kontextu důležité, budeme považovat tloušťku fotosenzitivní emulze d (v mikronech) a dobu expozice t (v sekundách) za hlavní faktory ovlivňující proces litografie. Výstupním parametrem (odezvou) procesu bude jeho rozlišení R , tedy maximální počet rozlišitelných čar, které lze nakreslit na jeden milimetr plochy. Tato hodnota je určena aplikací speciálního zkušebního obrazu na povrch.

Technologický proces fotolitografie je tedy popsán nějakou funkcí formy

\ R=f(d,t).

Sestavení modelu technologického procesu umožňuje identifikovat chování odezvy systému v závislosti na změně faktorů a tím najít cesty k optimalizaci technologie. Pro tento konkrétní případ zvolte tloušťku emulze a dobu expozice, která zajistí nejlepší kvalitu obrazu.

V obecném případě je odezva systému popsána nějakou funkcí proměnných $n$

\ y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Matematický model systému se získá jako výsledek aproximace této funkce nějakou jinou funkcí, například lineární.

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n))

kde jsou požadované parametry modelu. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n))$

Obrázek graficky znázorňuje postup sestavení lineárního modelu fotolitografického procesu, kde je tloušťka emulzního filmu, doba expozice, rozlišení získané za daných podmínek. Funkce je nelineární, nicméně v dostatečné blízkosti bodu ji lze nahradit tečnou rovinou . V oblasti znázorněné na obrázku je maximální chyba modelu . $x_{1}$ $x_{2}$ $y$ $y=f(x_{1},x_{2})$ $A_0$ ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))$ $\Delta y$

Při znalosti koeficientů modelu je možné s určitou přesností předpovídat hodnotu funkce (a tím i chování systému) v okolí bodu . Účelem experimentu je určit hodnoty koeficientů . ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$ $A_0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$

Experiment Matrix

Předpokládejme, že výchozí parametry technologického procesu jsou: tloušťka filmu 55 mikronů, doba expozice - 30 s, tzn.

\ x_{1C}=55;\quad x_{2C}=30.

Vezměme horní a dolní hodnoty obou faktorů tak, aby byly umístěny symetricky vzhledem k aktuální hodnotě, např.

\ x_{1B}=60;\quad x_{2B}=35;

\ x_{1H}=50;\quad x_{2H}=25;

Udělejme tabulku, ve které jsou hodnoty obou faktorů ve všech možných kombinacích a proveďte měření v těchto bodech (hodnoty odezvy jsou uvedeny podmíněně):

{\begin{array}{|c|c||c|}\hline x_{1}&x_{2}&y\\\hline 50&25&140\\50&35&210\\60&25&170\\60&35&220\\\hline \end {pole}}

Za předpokladu, že lineární model procesu má tvar

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

Na základě získaných výsledků lze sestavit soustavu čtyř rovnic se dvěma proměnnými. Tento systém je znázorněn níže, stejně jako jeho zkrácený zápis ve formě matice. Matici tohoto typu nazveme maticí experimentu .

{\begin{cases}a_{0}+50a_{1}+25a_{2}=140\\a_{0}+50a_{1}+35a_{2}=210\\a_{0}+ 60a_{1}+25a_{2}=170\\a_{0}+60a_{1}+35a_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c} x_{0}&x_{1}&x_{2}&y\\\hline 1&50&25&140\\1&50&35&210\\1&60&25&170\\1&60&35&220\end{array}}\right).

V matici experimentu jsou ve druhém a třetím sloupci hodnoty faktorů, ve čtvrtém sloupci jsou hodnoty odezvy systému a první sloupec obsahuje jednotky odpovídající jednotkovým koeficientům volného členu model . Tento sloupec budeme považovat za nějaký virtuální faktor , který vždy nabývá jednotlivých hodnot. $a_{0}$ $x_{0}$

Řešení systému

Abychom usnadnili řešení systému, normalizujeme faktory. Horním hodnotám faktorů přiřazujeme normalizovanou hodnotu +1, dolním hodnotám normalizovanou hodnotu −1, průměrné hodnotě normalizovanou hodnotu 0. Obecně je normalizace faktoru vyjádřena vzorcem

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2(x_{i}-x_{iC})}{x_{iB}-x_{iH}}}={\frac {2x_ {i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}}.

S přihlédnutím k normalizaci faktorů bude mít systém rovnic a matice experimentu následující podobu:

{\begin{cases}{\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=140\\{\ vlnovka {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}+{\tilda {a}}_{2}=210\\{\tilda {a}}_{0}+{ \tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=170\\{\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}+ {\tilde {a))_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c}{\tilde {x))_{0}&{\tilde { x}}_{1}&{\tilde {x}}_{2}&y\\\hline +1&-1&-1&140\\+1&-1&+1&210\\+1&+1&-1&170\\+1& +1&+1&220\end{array}}\vpravo).

Vzhledem k tomu, že součet členů ve druhém a třetím sloupci matice je nulový, průsečík modelu lze nalézt přidáním všech čtyř rovnic:

4\ {\tilde {a}}_{0}=140+210+170+220=740;

{\tilde {a}}_{0}=185.

Chcete-li najít jakýkoli jiný koeficient modelu, musíte změnit znaménka v rovnicích tak, aby v odpovídajícím sloupci byly pouze jedničky, a poté přidat všechny čtyři rovnice:

4\ {\tilde {a}}_{1}=-140-210+170+220=40;

{\tilde {a}}_{1}=10.

4\ {\tilde {a}}_{2}=-140+210-170+220=120;

{\tilde {a}}_{2}=30.

Lineární model technologického procesu v okolí bodu (55, 30) má tedy tvar

\ y=185+10{\tilda {x}}_{1}+30{\tilde {x}}_{2}.

Obecně bude řešení systému vypadat

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}

Návrat k nenormalizovaným faktorům

Přechod od normalizovaných k nenormalizovaným faktorům se provádí inverzní transformací

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{x}_{iC}={ \tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+x_{iH}}{2}}.

Abychom našli parametry modelu pro nenormalizované souřadnice, dosadíme do rovnice modelu výrazy pro normalizované souřadnice:

\ y={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\tilde {x}}_{1}+{\tilde {a}}_{ 2}{\tilda {x}}_{2}=

\ ={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\frac {2(x_{1}-x_{1C})}{x_{1B} -x_{1H))}+{\tilde {a}}_{2}{\frac {2(x_{2}-x_{2C})}{x_{2B}-x_{2H}}}=

\={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {2x_{1C}}{x_{1B}-x_{1H}}}- {\tilde {a}}_{2}{\frac {2x_{2C}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\tilde {a}}_{1}} {x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}}x_{2} =

\ ={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B}-x_{ 1H}}}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\ vlnovka {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilda {a}}_{2}}{x_{2B}- x_{2H}}}x_{2}.

Porovnání posledního výrazu s výrazem pro lineární model v nenormalizovaných souřadnicích

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

získáme výrazy pro parametry modelu:

\ a_{0}={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B }-x_{1H))}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}};

\ a_{1}={\frac {2{\tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}};

\ a_{2}={\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}};

Obecně

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

$a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}.$

Pro výše uvedený příklad

\ a_{0}=185-10\cdot {\frac {60+50}{60-50}}-30\cdot {\frac {35+25}{35-25}}=-105;

\ a_{1}={\frac {2\cdot 10}{60-50}}=2;

\ a_{2}={\frac {2\cdot 30}{35-25}}=6.

Nakonec dostaneme model v přirozených souřadnicích:

{\displaystyle \ y=-105+2x_{1}+6x_{2))

Úplný faktoriální experiment

Matice PFE v obecném tvaru

Obecně platí, že matice úplného faktoriálního experimentu s n faktory má tvar

\left({\begin{array}{cccc | c}{\tilde {x}}_{0}&{\tilde {x}}_{1}&...&{\tilde {x }}_{n}&y\\\hline +1&-1&...&-1&y_{1}\\+1&-1&...&+1&y_{2}\\...&...&. ..&...&...\\+1&+1&...&+1&y_{2^{n}}\end{array}}\right).

Vlastnosti matice PFE

Matrice PFE má následující vlastnosti:

Počet řádků v matici je 2 n ;
Nultý sloupec matice se skládá z jedniček:

{\tilde {x}}_{0i}=1;

Sloupce 1… n obsahují všech možných 2 n kombinací hodnot −1 a +1;
Poslední sloupec obsahuje výsledky měření získané s hodnotami faktorů zaznamenanými v odpovídajících řádcích ve sloupcích 1… n .
Součet prvků nulového sloupce je vždy roven 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{0i}=2^{n};

Součet prvků libovolného sloupce, kromě nuly a posledního sloupce, je roven nule:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=0\qquad (k=1...n);

Poslední dva výrazy lze spojit do jediného vztahu:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=2^{n}\delta _{k0}\qquad (k=0.. .n),

kde je matice identity, ; $\delta _{{ij}}$ $(i,j=0...n)$

Součet druhých mocnin prvků libovolného (kromě posledního) sloupce je vždy roven 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}^{2}=2^{n}\qquad (k=0...n );

Součet součinů odpovídajících prvků libovolných dvou sloupců (kromě posledního) je roven nule:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=0\qquad (k,m= 0...n;k\neq m);

Poslední dva výrazy lze zapsat jako ortogonalitu sloupců matice:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=2^{n}\delta _ {km}\qquad(k,m=0...n);

Výpočet koeficientů lineárního modelu

Koeficienty lineárního modelu v normalizovaných souřadnicích se počítají podle vzorců:

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}\qquad (k=0...n);

Koeficienty lineárního modelu v přirozených (nenormalizovaných) souřadnicích se počítají podle vzorců:

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}\qquad (k=1...n).

Převod přírodních faktorů na normalizované a naopak

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2x_{i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+ x_{iH}}{2}}.

Viz také

Plánování experimentů

Zdroje

Stavební modely a hraniční testování elektronických prostředků: Metoda. návod / komp. A. N. Žirabok, V. N. Ljachov. - Vladivostok: Nakladatelství Státní technické univerzity Dálného východu, 2006. - 32 s.

Adler Yu.P., Markova EV, Granovsky Yu.V. Plánování experimentu při hledání optimálních podmínek. - M .: Nauka, 1976. - 279 s., ill.

Montgomery D.K. Experimentální design a analýza dat: Per. z angličtiny. - L .: Stavba lodí, 1980. - 384 s., ill.