Racionální goniometrické součty

Racionální goniometrické součty jsou komplexní součty speciálního tvaru, které lze použít k prokázání teorémů v analytické teorii čísel .

Definice

Racionální goniometrické součty se nazývají součty tvaru , kde je polynom s celočíselnými koeficienty a (pro netriviálního největšího společného dělitele lze zlomek redukovat a redukovat na obecný tvar). ${S_{\varphi }}(q)=\sum \limits _{x=1}^{q}{e^{2\pi i{\frac {\varphi (x)}{q}} }}$ $\varphi (x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}$ $(a_{0},\tečky ,a_{n},q)=1$

Některé skóre

Při vyhodnocování racionálních goniometrických součtů v matematice se zpravidla uvažuje horní odhad součtového modulu , protože je mnohem jednodušší jej vyhodnotit. V tomto ohledu se předpokládá, že , takže vynásobení takového součtu číslem nezmění jeho absolutní hodnotu. $a_{0}=0$ $e^{2\pi ia_{0))$

Speciální případy

Lineární součty

Pokud , pak pomocí Iversonovy notace můžeme určit, že . Důkaz této skutečnosti triviálně vyplývá ze skutečnosti, že součet kořenů jednoty nad libovolným celočíselným základem je nulový. Takové součty se nazývají lineární. $\varphi (x)=ax$ ${S_{\varphi }}(q)=q[{q\mid a}]$

Gaussovy součty (kvadratické)

Racionální goniometrické součty přes polynomy tvaru se nazývají Gaussovy součty . ${\displaystyle \varphi (x)=ax^{2))$

U takových součtů jsou známy přesné hodnoty absolutní hodnoty, jmenovitě

|{S_{\varphi ))(q)|={\begin{cases}{\sqrt {q)),&q\equiv 1\mod 2\\{\sqrt {2q)),&q\equiv 0\mod 4\\0,&q\equiv 2\mod 4\end{cases}}

Obecná hodnocení

Dále, pro usnadnění prezentace, vezmeme . $n=\deg \varphi$

Hua odvodil odhad , kde je konstanta závislá pouze na . Tedy za pevnou [jeden] ${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|<c(n)q^{1-{\frac {1}{n))))$ $c(n)$ $n$ $|{S_{\varphi }}(q)|=O(q^{1-{\frac {1}{n}}})$ $n$

Jestliže , pak přesnější odhad platí pro prvočíslo . [2] ${\displaystyle \varphi (x)=ax^{n))$ $q>2$ $|{S_{\varphi }}(q)|\leq (n-1){\sqrt {q}}$

Částečné lineární součty

Pomocí standardního vzorce pro součet geometrické progrese můžeme odvodit, že pro $\varphi (x)={\frac {ax}{q))$

$\left\vert {\sum \limits _{x=1}^{m}{e^{2\pi i\varphi (x)))}\right\vert =\left\vert {\frac {e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}-e^{2\pi i{\frac {a(m+1)}{q}}}}{1-e^{ 2\pi i{\frac {a}{q)))}\vpravo\vert \leq {\frac {2}{\min \left({\left\lbrace {\frac {a}{q)) \right\rbrace ,1-\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace }\right)))$ ,

kde znamená zlomkovou část čísla . $\left\lbrace {x}\right\rbrace$ $X$

Nemožnost některých netriviálních odhadů

A. A. Karatsuba dokázal [3] , že pro existuje nekonečně mnoho prvočísel , pro které , kde pro , tedy pro takové pro odpovídající goniometrické součty, jsou horní odhady nutné pro většinu aplikací nemožné. $n>\left({{\frac {1}{2\log {2}}}-\varepsilon }\right){\frac {p}{\log {p}}},\ \varphi ( x)=ax^{n}$ $p$ $|S_{\phi }(p)|>\left({1-\delta (\varepsilon )}\right)p$ $\delta (\varepsilon )\to 0$ $\varepsilon \to 0$ $n$

Aplikace

První důkaz kvadratického zákona reciprocity (Gauss, 1795) používal Gaussovy součty přes polynom tvaru . $\varphi (x)={\frac {ax^{2}}{q}}$

Vinogradov pomocí racionálních trigonometrických součtů odvodil přibližný popis distribuce kvadratických zbytků a nezbytků [2] .

Uvažované součty mohou také najít uplatnění při dokazování Waringova problému metodami analytické teorie čísel.

Historie

Trigonometrické součty byly poprvé aplikovány Gaussem v roce 1795, aby dokázal kvadratický zákon reciprocity .

Viz také

Poznámky

↑ I. Vinogradov. Metoda goniometrických součtů v teorii čísel. - Věda, 1971.
↑ 1 2 B. I. Segal. Trigonometrické součty a některé jejich aplikace v teorii čísel, svazek 1. - Uspekhi Mat. Nauk, 1946.
↑ A. A. Karatsuba, O odhadech pro úplné goniometrické součty, Mat. poznámky, 1967, ročník 1, číslo 2, 199–208 . Staženo 8. ledna 2018. Archivováno z originálu 8. ledna 2018. (neurčitý)