Volná částice

Volná částice je termín používaný ve fyzice k označení částic , které neinteragují s jinými tělesy a mají pouze kinetickou energii .

Shromažďování volných částic tvoří ideální plyn .

Navzdory jednoduchosti definice hraje ve fyzice pojem volné částice velmi důležitou roli, protože pro volné částice musí být především splněna pohybová rovnice .

Klasická mechanika

V klasické fyzice si volná částice zachovává svou rychlost a podle toho se zachovává i hybnost . Kinetická energie volné částice je dána vzorci

$E=T={\frac {mv^{2}}{2}}$ , kde m je hmotnost částice v nerelativistickém případě.
$E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$ , kde c je rychlost světla v relativistickém případě.

Nerelativistická kvantová mechanika

Kvantové částice jsou popsány Schrödingerovou rovnicí

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\Delta \psi

Řešení této rovnice jsou dána superpozicí vlnových funkcí, které mají tvar

\psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }

kde

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

$A_{\mathbf {k} }$ libovolné komplexní číslo .

Vlnový vektor je jediné kvantové číslo pro volnou kvantově mechanickou částici . $\mathbf {k}$

Volná kvantová částice může být ve stavu s přesně definovaným vlnovým vektorem. Pak je jeho hybnost také přesně definována a rovná se . V tomto případě je energie částice také definována a rovná se E. Kvantová částice však může být také ve smíšeném stavu , ve kterém není definována ani hybnost ani energie. $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$

Volná částice v křivočarých souřadnicích

Hamiltonián volné částice

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

je úměrná Laplaceovu operátoru , který má v křivočarých souřadnicích, stejně jako na libovolné Riemannově varietě , tvar [1]

\Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k))}\right)

Hamiltonián volné částice v křivočarých souřadnicích má tedy tvar: [2]

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i} }}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)

Klasická Hamiltonova funkce má tvar

H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k }

V tomto případě vzniká netriviální problém s řazením, který lze vyřešit pouze lokálně [3]

H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k }+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)

Relativistická kvantová částice

Relativistické kvantové částice jsou popsány různými pohybovými rovnicemi v závislosti na typu částic. Pro elektrony a zároveň jejich antičástice pozitrony platí Diracova rovnice . Ve stavu s určitou hodnotou hybnosti p je energie částic rovna

{\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2))))

kde znaménko "+" odpovídá elektronu a znaménko "-" odpovídá pozitronu. Pro relativistický elektron se také objevuje další kvantové číslo - spin .

Ostatní částice jsou popsány svými vlastními specifickými rovnicemi, například bezrotorová částice je popsána Klein-Gordonovou rovnicí .

Poznámka

↑ Laplaceův operátor na Riemannově varietě se nazývá Laplaceův-Beltramiho operátor .
↑ Flugge, 2008 , s. 36.
↑ Takhtajyan, 2011 , str. 146.

Literatura

Flygge Z. Problémy v kvantové mechanice / Překlad z angličtiny, upravil A.A. Sokolová . - M . : Nakladatelství LKI, 2008. - T. 1. - 344 s.
Takhtadzhyan L.A. Kvantová mechanika pro matematiky / Z angličtiny přeložil Ph.D. S.A. Slavnov . - Ed. 2. — M. -Iževsk: Výzkumné centrum „Regulární a chaotická dynamika“, Iževský institut počítačového výzkumu, 2011. — 496 s. - ISBN 978-5-93972-900-0 .

Modely kvantové mechaniky
Jednorozměrný bez rotace	volná částice Jáma s nekonečnými stěnami Obdélníková kvantová studna delta potenciál Trojúhelníková kvantová studna Harmonický oscilátor Potenciální odrazový můstek Pöschl-Teller potenciál dobře Upravený potenciál Pöschl-Teller Částice v periodickém potenciálu Dirac potenciální hřeben Částice v prstenu
Multidimenzionální bez rotace	kruhový oscilátor Ion molekuly vodíku Symetrický top Sféricky symetrické potenciály Woods-saský potenciál Keplerov problém Potenciál Yukawa Morseův potenciál Hulthenův potenciál Molekulární potenciál Kratzera Exponenciální potenciál
Včetně spinu	atom vodíku Hydridový iont atom helia