Archimedův zákon

Archimédův zákon - zákon hydrostatiky a aerostatiky : těleso ponořené do kapaliny nebo plynu působí vztlakovou silou rovnající se váze vytlačené látky. Zákon objevil Archimedes ve 3. století před naším letopočtem. E. Vztlaková síla se také nazývá Archimédova síla nebo hydrostatický vztlak [1] [2] (nemělo by se zaměňovat s aero- a hydrodynamickým vztlakem , ke kterému dochází, když plyn nebo kapalina obtéká těleso).

Protože Archimédova síla je způsobena gravitační silou, nepůsobí ve stavu beztíže.

V souladu s Archimedovým zákonem je vztlaková síla splněna [3] :

F_{A}=\rho gV,

kde:

$\rho$ - hustota kapaliny nebo plynu, kg / m 3 ;
$G$ - zrychlení volného pádu , m / s 2 ;
$PROTI$ - objem části těla ponořené do kapaliny nebo plynu, m 3 ;
$F_{A}$ je síla Archiméda, N .

Popis

Vztlaková nebo zvedací síla ve směru je opačný než gravitační síla , působí na těžiště objemu vytlačeného tělesem z kapaliny nebo plynu.

Pokud těleso plave (viz plovoucí tělesa ) nebo se pohybuje rovnoměrně nahoru nebo dolů, pak se vztlaková nebo zvedací síla rovná v absolutní hodnotě gravitační síle působící na objem kapaliny nebo plynu vytlačený tělesem.

Například balon naplněný heliem letí nahoru kvůli skutečnosti, že hustota helia ( ) je menší než hustota vzduchu ( ): $PROTI$ $\rho _{H}$ $\rho _{O}$

$F_{A}>F_{p};$
$\rho _{O}gV>\rho _{H}gV.$

Archimédův zákon lze vysvětlit pomocí rozdílu hydrostatického tlaku na příkladu obdélníkového tělesa ponořeného do kapaliny nebo plynu. Díky symetrii obdélníkového tělesa jsou tlakové síly působící na boční plochy tělesa vyrovnány. Tlak ( ) a tlaková síla ( ) působící na horní stranu těla jsou stejné: $P_{A}$ $F_{A}$

P_{A}=\rho gh_{A};

F_{A}=\rho gh_{A}S,

kde:

$P_{A}$ - tlak vyvíjený kapalinou nebo plynem na horní stranu tělesa, Pa ;
$F_{A}$ - tlaková síla působící na horní část těla a směřující dolů, N ;
$\rho$ - hustota kapaliny nebo plynu, kg / m 3 ;
$h_{A}$ - vzdálenost mezi povrchem kapaliny nebo plynu a horní plochou tělesa, m ;
$S$ - plocha vodorovného průřezu tělesa, m 2 .

Tlak ( ) a tlaková síla ( ) působící na spodní stranu těla se rovnají: $P_{B}$ $F_{B}$

P_{B}=\rho gh_{B};

F_{B}=\rho gh_{B}S,

kde:

$P_{B}$ - tlak vyvíjený kapalinou nebo plynem na spodní stranu tělesa, Pa ;
$F_{B}$ - tlaková síla působící na spodní čelo těla a směřující nahoru, N ;
$h_{B}$ - vzdálenost mezi povrchem kapaliny nebo plynu a spodní stranou tělesa, m .

Tlaková síla kapaliny nebo plynu na těleso je určena rozdílem sil a : $F_{B}$ $F_{A}$

F_{B}-F_{A}=\rho gh_{B}S-\rho gh_{A}S=\rho g\left(h_{B}-h_{A}\right)S=\ rho ghS=\rho gV,

kde:

$h=h_{B}-h_{A}$ - vzdálenost mezi horním a spodním čelem tělesa (v případě částečného ponoření výška části tělesa ponořené v kapalině nebo plynu), m ;
$PROTI$ - objem tělesa ponořeného do kapaliny nebo plynu (při částečném ponoření objem části tělesa ponořeného do kapaliny nebo plynu), m 3 .

Rozdíl tlaku:

P_{B}-P_{A}=\rho gh_{B}-\rho gh_{A}=\rho gh.

Při absenci gravitačního pole, tedy ve stavu beztíže , Archimédův zákon nefunguje. Astronauti tento jev znají docela dobře. Zejména ve stavu beztíže nedochází k jevu (přirozené) konvekce , takže například chlazení vzduchu a ventilace obytných prostor kosmických lodí musí být nucena ventilátory .

Zobecnění

Určitá obdoba Archimédova zákona platí i v jakémkoli silovém poli, které působí odlišně na těleso a na kapalinu (plyn), nebo v nehomogenním poli. Týká se to například pole setrvačných sil (např. pole odstředivé síly ) - na tom je založeno odstřeďování . Příklad pro pole nemechanické povahy: diamagnet ve vakuu je přemístěn z oblasti magnetického pole větší intenzity do oblasti menší intenzity.

Odvození Archimedova zákona pro těleso libovolného tvaru

Odvození pomocí myšlenkového experimentu

Pokud mentálně nahradíte těleso ponořené do kapaliny stejnou kapalinou, část vody mentálně umístěná ve stejném objemu bude v rovnováze a bude působit na okolní vodu silou rovnou gravitační síle působící na část vody. . Vzhledem k tomu, že nedochází k promíchávání vodních částic, lze tvrdit, že okolní voda působí na zvolený objem stejnou silou, ale směrovanou opačným směrem, tedy silou rovnou [4] [5] [6 ] . $mg=\rho gV$

Přísný výpočet pevnosti

Hydrostatický tlak v hloubce vyvíjený kapalinou o hustotě na těleso je . Nechť hustota kapaliny ( ) a síla gravitačního pole ( ) jsou konstantní hodnoty a nechť je parametr. Vezměme si tělo libovolného tvaru s nenulovým objemem. Zavedeme pravý ortonormální souřadnicový systém a zvolíme směr osy z tak, aby se shodoval se směrem vektoru . Na povrchu kapaliny je nastavena nula podél osy z . Vyčleňme elementární oblast na povrchu těla . Působí na ni tlaková síla tekutiny směřující dovnitř těla, . Abychom získali sílu, která bude působit na těleso, vezmeme integrál přes povrch: $p$ $h$ $\rho$ $p=\rho gh$ $\rho$ $G$ $h$ $Oxyz$ ${\vec {g}}$ $dS$ $d{\vec {F}}_{A}=-pd{\vec {S}}$

{\vec {F}}_{A}=-\int \limits _{S}{p\,d{\vec {S}}}=-\int \limits _{S}{\rho gh\,d{\vec {S}}}=-\rho g\int \limits _{S}{h\,d{\vec {S}}}=^{*}-\rho g\int \ limity _{V}{\operatorname {grad} (h)\,dV}=^{**}-\rho g\int \limits _{V}{{\vec {e}}_{z}dV} =-\rho g{\vec {e}}_{z}\int \limits _{V}{dV}=(\rho gV)(-{\vec {e}}_{z}).

Při přechodu od integrálu přes plochu k integrálu nad objemem používáme zobecněnou Ostrogradského-Gaussovu větu .

{}^{*}h(x,y,z)=z;

^{**}\operatorname {grad} h=\nabla h={\vec {e}}_{z}.

Dostaneme, že modul Archimedovy síly je , a Archimedova síla je směrována ve směru opačném ke směru vektoru síly gravitačního pole. $\rho gV$

Odvození pomocí zákona zachování energie

Archimédův zákon lze odvodit i ze zákona zachování energie. Práce síly působící z ponořeného tělesa na kapalinu vede ke změně její potenciální energie:

\ A=-F*(h_{1}-h_{2})=-\Delta E_{p}=-m_{\text{w))g\Delta h,

kde je hmotnost vytlačené části kapaliny, je posunutí jejího těžiště. Proto modul posuvné síly: $m_{\text{w))$ $\Delta h$

\ F=m_{\text{w}}g.

Podle třetího Newtonova zákona má tato síla stejnou velikost a opačný směr než Archimédova síla působící ze strany kapaliny na těleso. Objem vytlačené kapaliny se rovná objemu ponořené části tělesa, takže hmotnost vytlačené kapaliny lze zapsat jako:

\ m_{\text{w))=\rho _{\text{w))V_{\text{m)),

kde je objem ponořené části těla.

V_{\text{t))

Pro Archimedovu sílu tedy máme:

\ F_{A}=\ F=m_{\text{x))g=\rho _{\text{x))gV_{\text{m)).

Stav plovoucích těles

Chování tělesa v kapalině nebo plynu závisí na poměru mezi moduly gravitace a Archimédovou silou , které na toto těleso působí. Jsou možné následující tři případy: $F_{T}$ $F_{A}$

$F_{T}>F_{A}$ - tělo se potopí;
$F_{T}=F_{A}$ - těleso plave v kapalině nebo plynu;
$F_{T}<F_{A}$ - tělo plave, dokud nezačne plavat.

Další formulace (kde je hustota tělesa, je hustota média, ve kterém je těleso ponořeno): ${\displaystyle \rho _{t))$ ${\displaystyle \rho _{s))$

${\displaystyle \rho _{t}>\rho _{s))$ - tělo se potopí;
${\displaystyle \rho _{t}=\rho _{s))$ - těleso plave v kapalině nebo plynu;
${\displaystyle \rho _{t}<\rho _{s))$ - tělo plave, dokud nezačne plavat.

Poznámky

↑ Archimédův zákon // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
↑ Archimédův zákon // Fyzikální encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohmův efekt - Dlouhé čáry. - S. 123. - 707 s. — 100 000 výtisků.
↑ Vše napsané níže, pokud není uvedeno jinak, se vztahuje k rovnoměrnému gravitačnímu poli (například k poli působícímu blízko povrchu planety ).
↑ A. Peryshkin, Původní důkaz Archimédova zákona. . Získáno 28. září 2020. Archivováno z originálu dne 20. července 2020. (neurčitý)
↑ Důkaz Archimédova zákona pro svévolný orgán . Získáno 28. září 2020. Archivováno z originálu dne 21. září 2020. (neurčitý)
↑ Buoyancy Archived 14. července 2007 na Wayback Machine

Odkazy

Archimédův zákon // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Archimedův zákon // Encyklopedie " Kolem světa ".