Syngonie

Syngonie (z řeckého σύν „podle, spolu, vedle“ + γωνία „úhel“; lit. „podobnost“) je klasifikace krystalografických skupin symetrie , krystalů a krystalových mřížek v závislosti na souřadnicovém systému ( souřadnicový rámec ); skupiny symetrie s jediným souřadnicovým systémem jsou spojeny do jedné syngonie. Krystaly patřící do stejné syngonie mají podobné rohy a okraje jednotkových buněk .

Krystalový systém je klasifikace krystalů a krystalografických skupin založená na sadě prvků symetrie , které popisují krystal a patří do krystalografické skupiny.

Mřížková soustava - klasifikace krystalových mřížek v závislosti na jejich symetrii .

V literatuře dochází k záměně všech tří pojmů: syngonie [1] , krystalová soustava [2] a mřížková soustava [3] , které se často používají jako synonyma .

V ruskojazyčné literatuře se termín „příhradový systém“ dosud nepoužívá. Obvykle autoři zaměňují tento pojem s krystalickým systémem. V knize "Základy krystalografie" [4] , autoři používají termín "Mřížková syngonie" (" Podle symetrie uzlů lze prostorové mříže rozdělit do sedmi kategorií nazývaných mřížkové syngonie "). Stejní autoři nazývají syngonie systémy („ Nejznámější klasifikací skupin je jejich rozdělení do šesti systémů na základě symetrie obličejových komplexů “).

Syngonie

Historicky první klasifikací krystalů bylo rozdělení na syngonie v závislosti na krystalografickém souřadnicovém systému. Jako souřadnicové osy byly zvoleny osy symetrie krystalu a v případě jejich nepřítomnosti okraje krystalu. Ve světle moderních znalostí o struktuře krystalů tyto směry odpovídají posunům krystalové mřížky a jako souřadnicový systém jsou zvoleny posuny Bravaisovy buňky ve standardním nastavení . V závislosti na poměru mezi délkami těchto překladů a úhly mezi nimi se rozlišuje šest různých syngonií , které spadají do tří kategorií v závislosti na počtu stejných délek překladů [5] : $\alpha ,\beta ,\gama$

Nejnižší kategorie (všechna vysílání se navzájem nerovnají)
- Triklinika : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoklinika : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- kosočtverec : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Střední kategorie (dvě vysílání ze tří jsou stejné)
- čtyřúhelníkový : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Šestihranný : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$

Nejvyšší kategorie (všechna vysílání jsou stejná)
- kubický : , $a=b=c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Crystal System

Rozdělení do krystalových soustav se provádí v závislosti na množině prvků symetrie, které krystal popisují . Takové dělení vede k sedmi krystalovým soustavám, z nichž dvě – trigonální (s jednou osou 3. řádu) a šestiúhelníková (s jednou osou 6. řádu) – mají stejnou jednotkovou buňku ve tvaru, a proto patří do jedné, šestihranné, syngonie. Někdy se říká, že hexagonální syngonie se dělí na dvě subsygonie [6] nebo hyposygonie. [7]

Krystalové systémy jsou také rozděleny do tří kategorií, v závislosti na počtu os vyššího řádu (osy nad druhým řádem).

Možné krystalové systémy v trojrozměrném prostoru s prvky symetrie, které je definují, tj. prvky symetrie, jejichž přítomnost je nezbytná pro přiřazení krystalu nebo bodové skupiny konkrétnímu krystalovému systému:

Nižší kategorie (žádné osy vyššího řádu)
- Triklinika : žádná symetrie nebo pouze střed inverze $\overline {1}$
- Monoklinický : jedna osa třetího řádu a/nebo rovina symetrie $2$ $m$
- Kosočtverec : tři vzájemně kolmé osy t. řádu a/nebo rovina symetrie (směr roviny symetrie je považován za kolmý k ní) $2$ $m$
Střední kategorie (jedna osa vyššího řádu)
- Tetragonální : jedna osa -tého řádu popř $čtyři$ $\overline {4}$
- Trigonální : osa jednoho řádu $3$
- Hexagonální : jedna osa -tého řádu nebo $6$ $\overline {6}$
Nejvyšší kategorie (více os vyššího řádu)
- Krychlový : čtyři osy -tého řádu $3$

Krystalový systém prostorové grupy je určen systémem jeho odpovídající bodové grupy. Například skupiny Pbca, Cmcm, Immm, Fddd ( třída mmm) patří do rombického systému.

Moderní definice krystalového systému (použitelná nejen pro běžné trojrozměrné skupiny, ale také pro prostory libovolné dimenze) odkazuje bodové skupiny (a z nich odvozené prostorové skupiny) k jednomu krystalovému systému, pokud lze tyto skupiny kombinovat se stejnou typy Bravaisových mříží. Například skupiny mm2 a 222 obě patří do kosočtverečné soustavy, protože pro každou z nich existují prostorové skupiny se všemi typy kosočtverečné mřížky (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 a P222, C222, I222, F222), zatímco skupiny 32 a 6 nepatří do stejného krystalového systému, protože pro skupinu 32 jsou povoleny primitivní a dvojitě centrované hexagonální buňky (skupiny P321 a R32) a skupina 6 je kombinována pouze s primitivní hexagonální buňkou (existuje skupina P 6 , ale neexistuje R6 ) .

Příhradový systém

Popisuje typy krystalových mřížek. Stručně řečeno: svazy jsou stejného typu, pokud jsou jejich skupiny bodové symetrie (když mřížky považujeme za geometrické objekty) stejné. Takové bodové skupiny, které popisují symetrii mřížky, se nazývají holohedry . [osm]

Celkem existuje sedm soustav mřížek, které se podobně jako v předchozích klasifikacích (syngonie a krystalová soustava) dělí do tří kategorií.

Nejnižší kategorie (všechna vysílání se navzájem nerovnají)
- Triklinika : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoklinika : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- kosočtverec : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Střední kategorie
- čtyřúhelníkový : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Šestihranný : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$
- kosočtverec : , $a=b=c$ $\alpha =\beta =\gamma <120^{\circ }\neq 90^{\circ }$

Nejvyšší kategorie (všechna vysílání jsou stejná)
- kubický : , $a=b=c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Romboedrický mřížkový systém by neměl být zaměňován s trigonálním krystalovým systémem. Krystaly romboedrické mřížkové soustavy vždy patří do trigonální krystalové soustavy, ale trigonální krystaly mohou patřit jak do romboedrické, tak hexagonální mřížkové soustavy. Například skupiny R3 a P321 (obě z trigonálního krystalového systému) patří do různých mřížkových systémů (romboedrické a šestiúhelníkové).

Obecná definice použitelná pro prostory libovolných rozměrů - Mříže jsou stejného typu, pokud jsou kombinovány se stejnými skupinami bodů. Například všechny kosočtverečné mřížky (kosočtverec P, kosočtverec C, kosočtverec I a kosočtverec F) jsou stejného typu, protože se kombinují se skupinami bodů 222, mm2 a mmm za vzniku prostorových grup P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, Imm2, Immm; F222, Fmm2, Fmmm. Buňky hexagonálního systému (primitivní P a dvojitě centrované R) zároveň odpovídají různým mřížkovým systémům: oba jsou kombinovány s bodovými skupinami trigonálního krystalového systému, ale pouze primitivní buňka je kombinována se skupinami hexagonální systém (existují skupiny P6, P 6 , P6/m, P622, P6mm, P 6 m2, P6/mmmm, ale nejsou zde skupiny R6, R6 , R6/m, R622, R6mm, R 6 m2, R6 /mmm).

Souvislost mezi syngonií, krystalovým systémem a mřížkovým systémem v trojrozměrném prostoru je uvedena v následující tabulce:

Syngonie	Krystalový systém	Bodové skupiny	Počet vesmírných skupin	Statečná mříž [9]	Příhradový systém	holohedria
Triklinika		1, 1	2	aP	Triklinika	jeden
Monoklinika		2, m, 2/m	13	mP, mS	Monoklinika	2/m
kosočtverečné		222, mm2, mmm	59	oP, oS, oI, oF	kosočtverečné	hmmm
čtyřúhelníkový		4, 4 , 422, 4 mm, 42 m, 4/m, 4/mm	68	tP, tI	čtyřúhelníkový	4/mm
Šestihranný	Trigonální	3, 3 , 32, 3 m , 3 m	7	hR	romboedrický	3 m
	Trigonální	3, 3 , 32, 3 m , 3 m	osmnáct	hP	Šestihranný	6/mm
	Šestihranný	6, 6 , 622, 6 mm, 6 m2 , 6/m, 6/mm	27	hP	Šestihranný	6/mm
krychlový		23, m 3 , 4 3 m, 432, m 3 m	36	cP, cl, cF	krychlový	m 3 m
Celkem: 6	7	32	230	čtrnáct	7

Přehled skupin bodů

Krystalový systém	skupina bodů / třída symetrie	Symbol Schoenflies	mezinárodní symbol	Shubnikovův symbol	Typ
triklinika	jednostěnný	C1 _	$jeden\$	$jeden\$	enantiomorfní polární
triklinika	pinakoidní	C i	${\bar {1}}$	${\tilda {2}}$	středově symetrický
monoklinika	dihedrální axiální	C2 _	$2\$	$2\$	enantiomorfní polární
	dihedrální bezosý (domatic)	Cs _	$m\$	$m\$	polární
	hranolový	C 2h	$2/m\$	$2:m\$	středově symetrický
kosočtverečné	kosodélník-tetraedrický	D2 _	$222\$	$2:2\$	enantiomorfní
	kosočtverec- pyramidální	C 2v	$mm2\$	$2\cdot m\$	polární
	kosočtverečné dipyramidové	D2h _	$mmm\$	$m\cdot 2:m\$	středově symetrický
čtyřúhelníkový	tetragonálně-pyramidové	C4 _	$čtyři\$	$čtyři\$	enantiomorfní polární
	čtyřúhelníkový-tetraedrický	S4 _	${\bar {4}}$	${\tilda {4}}$
	tetragonální dipyramidový	C4h _	$4/m\$	$4:m\$	středově symetrický
	tetragonálně-lichoběžníkový	D4 _	$422\$	$4:2\$	enantiomorfní
	ditragonálně-pyramidální	C4v _	$4 mm\$	$4\ctečka m\$	polární
	tetragonální skalenoedrický	D2d _	${\bar {4}}2 m\$ nebo ${\bar {4}}m2$	${\tilde {4}}\cdot m$
	ditragonální-dipyramidový	D4h _	$4/mm\$	$m\cdot 4:m\$	středově symetrický
Trigonální	trigonálně-pyramidový	C3 _	$3$	$3\$	enantiomorfní polární
	romboedrický	S 6 (C 3i )	${\bar {3}}$	${\tilda {6}}$	středově symetrický
	trigonálně-lichoběžníkový	D3 _	$32\$ nebo nebo $321\$ $312\$	$3:2\$	enantiomorfní
	ditrigonální-pyramidový	C 3v	$3 m\$ nebo nebo $3m1\$ $31 m\$	$3\ctečka m\$	polární
	ditrigonální-skalenoedrický	D3d _	${\bar {3}}m\$ nebo nebo ${\bar {3}}m1$ ${\bar {3}}1 m$	${\tilde {6}}\cdot m$	středově symetrický
Šestihranný	šestiúhelníkový-pyramidový	C6 _	$6\$	$6\$	enantiomorfní polární
	trigonální-dipyramidový	C 3h	${\bar {6}}$	$3:m\$
	šestiúhelníkový-dipyramidový	C6h _	$6/m\$	$6:m\$	středově symetrický
	šestiúhelníkový-lichoběžníkový	D6 _	$622\$	$6:2\$	enantiomorfní
	dihexagonální-pyramidový	C6v _	$6 mm\$	$6\cdot m\$	polární
	ditrigonální-dipyramidový	D3h _	${\bar {6}}m2$ nebo ${\bar {6}}2 m$	$m\cdot 3:m\$
	dihexagonální-dipyramidový	D6h _	$6/mm\$	$m\cdot 6:m\$	středově symetrický
krychlový	tritetraedrální	T	$23\$	$3/2\$	enantiomorfní
	didodekaedrický	T h	$m{\bar {3}}\$	${\tilde {6}}/2$	středově symetrický
	hexatetraedrický	T d	${\bar {4}}3 m$	$3/{\tilda {4}}$
	trioktaedrický	Ó	$432\$	$3/4\$	enantiomorfní
	hexoktaedrický	O h	$m{\bar {3}}m$	${\tilde {6}}/4$	středově symetrický

Klasifikace mříže

Syngonie	Odvážný typ centrování buněk
Syngonie	primitivní	základna- střed	tělo centrováno	obličej vycentrovaný	dvakrát centrovaný na tělo
Triklinika ( rovnoběžnostěn )
Monoklinický ( hranol s rovnoběžníkem na základně)
kosočtverec ( pravoúhlý rovnoběžnostěn )
Tetragonální ( pravoúhlý rovnoběžnostěn se čtvercem na základně)
Šestihranný ( hranol se základnou pravidelného centrovaného šestiúhelníku)
Trigonální (rovnostranný rovnoběžnostěn - kosočtverec )
krychlový ( krychle )

Historie

První geometrickou klasifikaci krystalů dali nezávisle na sobě Christian Weiss a Friedrich Moos na počátku 19. století. Oba vědci klasifikovali krystaly podle symetrie jejich vnějšího tvaru (brusu). Weiss v tomto případě vlastně zavádí pojem krystalografické osy (osa symetrie). Podle Weisse „osa je čára, která dominuje celému obrazci krystalu, protože všechny části kolem ní jsou umístěny podobným způsobem a vzhledem k ní si vzájemně odpovídají“ [13] . Weiss ve své práci „A Visual Representation of the Natural Divisions of Crystallization Systems“ klasifikoval krystaly podle přítomnosti os do čtyř velkých sekcí krystalických forem, „krystalizačních systémů“, odpovídajících modernímu pojetí syngonie [14] . Moderní jména jsou uvedena v závorkách.

Sekce 1 - "správný", "sféroedrický", "rovnoosý", "ekvinomický" (kubický) systém: tři rozměry jsou stejné a tvoří mezi sebou pravé úhly.
- podsekce homosferoedrický systém (m 3 m krystaly symetrie )
- podsekce hemisféroedrický systém (krystaly symetrie 432, 43m a m 3 )
Sekce 2 - "čtyřčlenná" (tetragonální) soustava: osy mezi sebou svírají pravé úhly, dvě osy jsou si rovny a třetí se nerovnají.
Sekce 3 - "dvoučlenný" systém: všechny tři osy jsou nestejné a svírají mezi sebou pravé úhly.
- pododdíl "dvoua-dvoučlenný" (rombický) systém
- podsekce "dvou-a-jeden termín" (monoklinický) systém
- podsekce "jednočlenný" (triklinický) systém
4 sekce - jedna nestejná osa je kolmá na tři stejné osy, které mezi sebou svírají úhly 120°.
- pododdíl "šestičlenný" (šestihranný) systém:
- pododdíl „tri-a-tri-členný“ nebo „romboedrický“ (trigonální) systém:

Pro jednoklonné a triklinické syngonie použil Weiss pravoúhlý souřadnicový systém (moderní krystalografické souřadnicové systémy pro tyto syngonie jsou šikmé).

Přibližně ve stejné době vyvinul Friedrich Moos koncept krystalických systémů [15] . Každý systém je charakterizován nejjednodušší, „základní formou“ tváří, ze které lze odvodit všechny ostatní formy tohoto systému. Tak Mohs získal následující čtyři systémy:

1. Romboedrický systém (hexagonální syngonie). Hlavním tvarem je kosočtverec.
2. Pyramidální systém (tetragonální syngonie). Hlavním tvarem je tetragonální bipyramida.
3. Tkáňový systém (kubická syngonie). Hlavními tvary jsou krychle a osmistěn.
4. Prizmatický systém (rombická syngonie). Hlavním tvarem je kosočtverečná bipyramida.
- Hemiprizmatický subsystém (monoklinická syngonie)
- Tetartoprismatický subsystém (triklinická syngonie)

V obou klasifikacích identifikují Weiss a Moos pouze čtyři systémy, ačkoliv je uvedeno všech šest syngonií, za subsystémy rombického systému považují pouze monoklinické a triklinické syngonie. Podle vlastního vyjádření Moos tento koncept vyvinul v letech 1812-14, což bylo předmětem sporu s Weissem o prioritu objevu krystalických systémů. Na rozdíl od Weisse Moos poukázal na potřebu systému šikmé osy pro monoklinické a triklinické krystaly.

Systémy šikmého úhlu byly nakonec vyvinuty a zavedeny do krystalografie jeho studentem Carlem Friedrichem Naumannem . Naumann založil svou klasifikaci na krystalografických osách a úhlech mezi nimi, čímž poprvé rozlišil všech šest syngonií [16] [17] . Zajímavé je, že již v roce 1830 Naumann používá jména syngonií, která jsou shodná nebo blízká těm moderním (názvy tetragonal , hexagonal a rhombic původně navrhl Breithaupt).

1. Tesseral (z tessera - krychle) - všechny tři úhly mezi souřadnicovými osami jsou rovné, všechny tři osy jsou stejné.
2. Tetragonální - všechny tři úhly jsou pravé, dvě osy jsou stejné.
3. Šestiúhelníkový - jediný čtyřosý systém: jedna nestejná osa je kolmá na tři stejné osy a svírají mezi sebou úhly 60°.
4. Kosočtverec - všechny tři úhly jsou pravé, všechny osy jsou nestejné.
5. Monoklinoedrický - dva pravé úhly a jeden šikmý.
6. Diklinoedrický - dva šikmé úhly a jedna přímka.
7. Triklinoedrický - všechny tři úhly jsou šikmé.

Protože se v té době teorie symetrie teprve rozvíjela, objevil se v seznamu systémů neobvyklý diklinoedrický (diklinický) systém. Takovýto krystalický systém je v trojrozměrném prostoru principiálně nemožný, protože přítomnost osy symetrie vždy zaručuje přítomnost posuvů kolmých k ose, které jsou zvoleny jako souřadnicové osy. Diklinický systém existoval v krystalografii asi půl století (ačkoli již v roce 1856 Dufrenois ukázal, že jde pouze o zvláštní případ triklinického systému). V roce 1880 Dana ve své slavné knize „The System of Mineralogy“ [18] , zmiňuje „takzvaný diklinický systém“, ale zároveň poznamenává, že není znám jediný přírodní nebo umělý krystal patřící do tohoto systému, a že navíc bylo matematicky dokázáno, že existuje pouze šest krystalových soustav. Naumann sám věřil v diklinickou syngonii až do konce svého života a v devátém vydání Základů mineralogie [19] , vydaném posmrtně v roce 1874, je tato syngonie stále na seznamu, i když Naumann poznamenává, že tento systém se nachází pouze v pár umělých solí a dále o tom neuvažuje.

Názvy krystalografických syngonií u autorů 19. století

Autor	krychlový	čtyřúhelníkový	Šestihranný	kosočtverečné	Monoklinika	Triklinika
Weiss	Správné, sférické, sférické, sféronomické, rovnoosé, rovnodenné	Čtyřčlenný, dvounápravový	Šestičlenná, tří a jedna náprava	Dvou a dvoučlenné, jednonápravové	Dvoučlenný a jednočlenný	Jeden a jeden termín
Moos	Tessular, Tessellar	Pyramidový	romboedrický	Hranolové, ortotypické	Hemiprizmatický, hemiortotypický	Tetartoprismatický, anortotyp
Breithaupt		čtyřúhelníkový	Šestihranný	kosočtverečné	Hemirhombický	tetrarombický
Nauman	teserál	čtyřúhelníkový	Šestihranný	Kosočtverečné, anizometrické	monoklinoedrický, klinorombický	Triklinoedrické, triklinometrické
Gausman	Izometrické	monodimetrický	Monotrimetrické	Trimetrický, ortorombický	klinorhombický, ortorombický	klinorhomboid
Miller 1839	Oktaedrální	Pyramidový	romboedrický	Prizmatický	Šikmé hranolové	Dvojité-šikmé-prizmatické
Gadolin	Opravit	Náměstí	Šestihranný	kosočtverečné	monoklinoedrický	triklinoedrický
Další autoři	čtyřstěnný (Bedan), kubický (Duprenois)	dimetrický		binární (Quenstedt)	Monoklinometrické (Frankenheim), Augite (Haidinger)	Triclinic (Frankenheim), Anorthic (Haidinger)

Poprvé bylo rozdělení do sedmi krystalografických systémů uvedeno v roce 1850 v práci Auguste Bravaise „Memoir on systems of points pravidelně distribuovaných v rovině nebo v prostoru“ [20] . Ve skutečnosti se jedná o první dělení založené na symetrických prvcích a ne na souřadnicových systémech. Proto všechny předchozí klasifikace odpovídají současné definici syngonie, zatímco Bravaisova klasifikace je klasifikace podle krystalových systémů (přesně řečeno mřížkových systémů).

Bravais rozděluje mříže v závislosti na jejich symetrii do 7 systémů (tříd množin).

1. Tri-quadruple (kubická soustava)
2. Ozubené kolo (šestihranný systém)
3. Čtyřnásobný (tetragonální systém)
4. Trojitý (romboedrický systém)
5. Tri-double (rombický systém)
6. Dvojitý (monoklinický systém)
7. Asymetrický (triklinický systém)

Sám Bravais přitom poznamenává, že i Hayuy rozdělil mřížky hexagonálního systému (podle Naumannovy klasifikace) „na krystaly generované pravidelným šestihranným hranolem a krystaly generované romboedrickým jádrem“.

Klasifikace grup ve vícerozměrných prostorech

Ve druhé polovině 20. století byly studovány a klasifikovány krystalografické grupy ve čtyřrozměrných, pětirozměrných a šestirozměrných prostorech. S rostoucí dimenzí se výrazně zvyšuje počet skupin a tříd [21] . Počet enantiomorfních párů je uveden v závorce.

Rozměr prostoru:	jeden	2	3	čtyři	5	6
Počet syngonií	jeden	čtyři	6	23 (+6)	32	91
Počet mřížkových systémů	jeden	čtyři	7	33 (+7)	57	220
Počet krystalových soustav	jeden	čtyři	7	33 (+7)	59	251
Počet mřížek Bravais	jeden	5	čtrnáct	64 (+10)	189	841
Počet skupin bodů	2	deset	32	227 (+44)	955	7103
Počet vesmírných skupin	2	17	219 (+11)	4783 (+111)	222018 (+79)	28927915 (+?) [22]

Ve čtyřrozměrném prostoru je jednotková buňka definována čtyřmi stranami ( ) a šesti úhly mezi nimi ( ). Následující vztahy mezi nimi definují 23 syngonií: $abeceda$ $\alpha ,\beta ,\gama ,\delta ,\epsilon ,\zeta$

Hexacline: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \delta \neq \epsilon \neq \zeta \neq 90^{\circ }$
Triklinika: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ },\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Diklinnaja: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta \neq 90^{\circ }$
Monoklinika: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Ortogonální: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Tetragonální monoklinika: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Šestihranná monoklinika: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Ditetragonální klinika: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ },\gamma \neq 90^{\circ },\delta = 180^{\circ }-\gama$
Ditrigonální klinika: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne \delta \ne 90 ^\circ, \cos \delta = \cos \beta - \cos \gamma$
Tetragonální ortogonální: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Šestihranný ortogonální: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Ditetragonální monoklinika: $a=d\neq b=c,\alpha =\gamma =\delta =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ }$
Ditrigonální monoklinika: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ, \cos \gamma = - \color{Black}\tfrac{1}{2} \cos \beta$
Ditetragonální ortogonální: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gama =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Šestiúhelníkový čtyřúhelníkový: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gama =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Dihexagonální ortogonální: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Kubický ortogonální: $a=b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Osmiúhelníkový: $a=b=c=d,\alpha =\gamma =\zeta \neq 90^{\circ },\beta =\epsilon =90^{\circ },\delta =180^{\circ }-\alpha$
Dekagonální: $a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne \beta = \delta = \epsilon, \cos \beta = -0,5 - \cos \alpha$
Dvanáctiúhelníkový: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon =120^{\circ },\gamma =\delta \neq 90^{\circ }$
Diisohexagonální ortogonální: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Ikosagonální: $a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta, \cos \alpha = -\color{Black}\tfrac{1}{4}$
Hyperkubický: $a=b=c=d,\alpha =\beta =\gama =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$

Souvislost mezi syngonií, krystalovou soustavou a mřížkovou soustavou ve čtyřrozměrném prostoru je uvedena v následující tabulce [23] [24] . Hvězdičky označují enantiomorfní systémy. Počet enantiomorfních skupin (nebo mřížek) je uveden v závorkách.

Syngonické číslo	Syngonie	Krystalový systém	Systémové číslo	Počet skupin bodů	Počet vesmírných skupin	Počet mřížek Bravais	Příhradový systém
já	Hexacline		jeden	2	2	jeden	Hexacline P
II	Triklinika		2	3	13	2	Triklinika P, S
III	Diklinnaja		3	2	12	3	Klinika P, S, D
IV	Monoklinika		čtyři	čtyři	207	6	Monoklinika P, S, S, I, D, F
PROTI	ortogonální	Beznápravové ortogonální	5	2	2	jeden	Ortogonální KU
		Beznápravové ortogonální	5	2	112	osm	Ortogonální P, S, I, Z, D, F, G, U
		Axiální ortogonální	6	3	887	osm	Ortogonální P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	Tetragonální monoklinika		7	7	88	2	Tetragonální monoklinická P, I
VII	Šestihranná monoklinika	Trigonální monoklinika	osm	5	9	jeden	Šestihranná jednoklonná R
		Trigonální monoklinika	osm	5	patnáct	jeden	Šestihranná jednoklonná P
		Šestihranná monoklinika	9	7	25	jeden	Šestihranná jednoklonná P
VIII	Ditetragonální klinika*		deset	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Ditetragonální klinika P*
IX	Ditrigonální klinika*		jedenáct	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Ditrigonal diclinic P*
X	Tetragonální ortogonální	Obrácený tetragonální ortogonální	12	5	7	jeden	Tetragonální ortogonální KG
		Obrácený tetragonální ortogonální	12	5	351	5	Tetragonální ortogonální P, S, I, Z, G
		Rotační čtyřúhelníkový ortogonální	13	deset	1312	5	Tetragonální ortogonální P, S, I, Z, G
XI	Šestihranný ortogonální	Trigonální ortogonální	čtrnáct	deset	81	2	Šestihranný ortogonální R, RS
		Trigonální ortogonální	čtrnáct	deset	150	2	Hexagonální ortogonální P, S
		Šestihranný ortogonální	patnáct	12	240	2	Hexagonální ortogonální P, S
XII	Ditetragonální monoklinika*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Ditetragonální monoklinická P, S, D*
XIII	Ditrigonální monoklinika*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Ditrigonální monoklinická P, RR
XIV	Ditetragonální ortogonální	Krypto-ditragonální ortogonální	osmnáct	5	deset	jeden	Ditetragonální ortogonální D
		Krypto-ditragonální ortogonální	osmnáct	5	165 (+2)	2	Ditetragonální ortogonální P, Z
		Ditetragonální ortogonální	19	6	127	2	Ditetragonální ortogonální P, Z
XV	Šestihranný čtyřúhelníkový		dvacet	22	108	jeden	Šestihranný čtyřúhelníkový P
XVI	Dihexagonální ortogonální	Krypto-ditrigonální ortogonální*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Dihexagonální ortogonální G*
		Krypto-ditrigonální ortogonální*	21	4 (+4)	5 (+5)	jeden	Dihexagonální ortogonální P
		Dihexagonální ortogonální	23	jedenáct	dvacet
		Ditrigonální ortogonální	22	jedenáct	41
		Ditrigonální ortogonální	22	jedenáct	16	jeden	Dihexagonální ortogonální RR
XVII	Kubický ortogonální	Jednoduché kubické ortogonální	24	5	9	jeden	Kubický ortogonální KU
		Jednoduché kubické ortogonální	24	5	96	5	Kubické ortogonální P, I, Z, F, U
		Komplexní kubický ortogonální	25	jedenáct	366	5	Kubické ortogonální P, I, Z, F, U
XVIII	Osmiúhelníkový*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Osmihranné P*
XIX	Dekagonální		27	čtyři	5	jeden	Dekagonální P
XX	Dvanáctiúhelníkový*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Dvanáctiúhelníkové P*
XXI	Di-isohexagonální ortogonální	Jednoduchý di-isohexagonální ortogonální	29	9 (+2)	19 (+5)	jeden	Di-isohexagonální ortogonální RR
		Jednoduchý di-isohexagonální ortogonální	29	9 (+2)	19 (+3)	jeden	Diisohexagonální ortogonální P
		Komplexní di-isohexagonální ortogonální	třicet	13 (+8)	15 (+9)	jeden	Diisohexagonální ortogonální P
XXII	Ikosagonální		31	7	dvacet	2	Ikosagonální P, SN
XXIII	hyperkubický	Osmiboká hyperkubická	32	21 (+8)	73 (+15)	jeden	Hyperkubický P
		Osmiboká hyperkubická	32	21 (+8)	107 (+28)	jeden	Hyperkubický Z
		Dvanáctiúhelníkový hyperkubický	33	16 (+12)	25 (+20)	jeden	Hyperkubický Z
Celkový:	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

Viz také

Poznámky

↑ Crystal family - Online slovník krystalografie . Získáno 22. února 2009. Archivováno z originálu 21. března 2013. (neurčitý)
↑ Krystalová soustava - Online slovník krystalografie . Získáno 22. února 2009. Archivováno z originálu 21. března 2013. (neurčitý)
↑ Mřížkový systém - Online slovník krystalografie . Získáno 29. dubna 2013. Archivováno z originálu 29. dubna 2013. (neurčitý)
↑ Shubnikov A. V., Bokiy G. B., Flint E. E., Základy krystalografie, Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1940
↑ Zagalskaja Yu.G., Litvinskaya G.P., Egorov-Tismenko Yu.K. Geometrická krystalografie. - M . : Nakladatelství Moskevské univerzity, 1986. - 168 s.
↑ "Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Theory of Crystal Symmetry, GEOS, 2000. Kapitola III. Souřadnicové systémy, kategorie, syngonie." . Získáno 12. ledna 2021. Archivováno z originálu dne 13. ledna 2021. (neurčitý)
↑ Fedorov E. S., Kurz krystalografie. Ed. 3., 1901 online
↑ Holohedry – online slovník krystalografie . Datum přístupu: 30. ledna 2013. Archivováno z originálu 21. března 2013. (neurčitý)
↑ de Wolff et al., Nomenklatura pro rodiny krystalů, Bravaisovy mřížkové typy a aritmetické třídy, Acta Cryst. (1985). A41, 278-280. online Archivováno 27. ledna 2013 na Wayback Machine
↑ Weinstein B.K. Moderní krystalografie. Svazek 1. Symetrie krystalů, metody strukturní krystalografie. Nauka, Moskva, 1979.
↑ Sirotin Yu.I., Shaskolskaya M.P. Základy fyziky krystalů. Nauka, Moskva, 1979.
↑ Flint E.E. Praktický průvodce geometrickou krystalografií. 3. vydání, přel. a další, Gosgeoltekhizdat, Moskva, 1956.
↑ CS Weiss De indagando formarum crystallinarum charactere geometrico principali dissertatio. Lipsiae [Lipsko] 1809
↑ C.S. Weiss : Ueber die natürlichen Abtheilungen der Crystallisations Systeme. Abhandl. k. Akad. Wiss., Berlín 1814-1815, S. 290-336.
↑ Friedrich Mohs : Grund-Riß der Mineralogie. Erster Tail. Terminologie, systematika, nomenklatura, charakteristika. Drážďany 1822
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der Mineralogie Mineralogie, 1828 online
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie, 1830 online
↑ Edward Salisbury Dana, James Dwight Dana, Učebnice mineralogie, 1880 online
↑ Carl Friedrich Naumann, Elemente der mineralogie, 1874 online
↑ Bravais, A. (1850) Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace. Journal de L'Ecole Polytechnique.
↑ B. Souvignier: "Enantiomorfismus krystalografických grup ve vyšších dimenzích s výsledky v dimenzích do 6". Acta Crystallographica Section A, sv. 59, str. 210-220, 2003.
↑ Domovská stránka CARAT . Datum přístupu: 5. května 2015. Archivováno z originálu 5. března 2016. (neurčitý) Část výpočtů v Souvignier (2003) pro šestirozměrný prostor byla založena na chybné verzi programu CARAT.
↑ EJW Whittaker, Atlas hyperstereogramů čtyřrozměrných krystalových tříd. Clarendon Press (Oxford Oxfordshire a New York) 1985.
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek a H. Zassenhaus, Krystalografické skupiny čtyřrozměrného prostoru. Wiley, NY, 1978.

Odkazy

Slovníček pojmů na stránkách Mezinárodní unie krystalografů

Syngonie
Symetrie
nejnižší kategorie	Triklinický systém Monoklinická syngonie Kosočtverečný systém
Střední kategorie	Tetragonální systém Trigonální systém (romboedrický) Hexagonální syngonie
Top kategorie	Kubický systém
viz také	Krystalická struktura Pearsonův symbol skupina teček Krystalografická skupina bodové symetrie Krystalografická skupina
Krystalografie