Lineární nerovnost

Lineární nerovnost je nerovnost zahrnující lineární funkce . Lineární nerovnost obsahuje jeden ze symbolů nerovnosti [1]

< - méně
> - více
$\leqslant$ - menší nebo rovno
$\geqslant$ - větší nebo rovno
$\neq$ - ne rovné

a také (formálně)

= - rovná se

Lineární nerovnost vypadá přesně jako lineární rovnice , ale místo znaménka rovná se vloží znaménko nerovnosti.

Lineární nerovnosti reálných čísel

Dvourozměrné lineární nerovnosti

Dvourozměrné lineární nerovnosti jsou vyjádřením tvaru:

ax+by<c

ax+by\geqslant c,

kde nerovnosti mohou nebo nemusí být striktní. Množinu řešení takové nerovnosti lze graficky znázornit jako polorovinu (všechny body na „jedné straně“ pevné čáry) euklidovské roviny [2] . Přímka definující polorovinu ( ax + by = c ) není zahrnuta do řešení, pokud je nerovnost striktní. Jednoduchým postupem, jak určit, která z polorovin je řešením, je vypočítat hodnotu funkce ax + by v bodě ( x 0 , y 0 ), který není na přímce, a zkontrolovat, zda tento bod splňuje nerovnost .

Například [3] , chcete-li nakreslit řešení x + 3 y < 9, nejprve nakreslete čáru s rovnicí x + 3 y = 9 (přerušovaná čára), abyste ukázali, že čára nepatří do oblasti řešení, protože nerovnost je přísný. Potom zvolíme vhodný bod mimo přímku, například (0,0). Protože 0 + 3(0) = 0 < 9, patří tento bod do množiny řešení nerovnice a polorovina obsahující tento bod (polovina „pod“ přímkou) je množinou řešení nerovnice. lineární nerovnost.

Lineární nerovnosti v prostorech vyšších dimenzí

V prostoru R n jsou lineární nerovnosti výrazy, které lze zapsat jako

f({\bar {x)))<b

nebo

f({\bar {x)))\leqslant b,

kde f je lineární tvar , a b je konstantní reálná hodnota. ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

Konkrétněji to lze napsat jako

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b

nebo

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant b.

Zde se nazývají neznámé, ale nazývají se koeficienty. ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n))$

Případně totéž lze napsat jako

g(x)<0\,

nebo

g(x)\leqslant 0,

kde g je afinní funkce [4]

To znamená

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0

nebo

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant 0.

Všimněte si, že jakákoli nerovnost obsahující znaménka „větší než“ nebo „větší než nebo rovno“ může být přepsána na nerovnost se znaménky „menší než“ nebo „menší než nebo rovno“, takže není potřeba definovat lineární nerovnosti s těmito znaky.

Systémy lineárních nerovnic

Systém lineárních nerovností je soubor nerovností se stejnými proměnnými:

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n }&&\;\leqslant \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_ {n}&&\;\leqslant \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_ {m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leqslant \;&&&b_{m}\ \\end{alignedat}}

Zde jsou proměnné, systémové koeficienty a konstantní členy. ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m))$

Stručně to lze zapsat jako maticovou nerovnost

Ax\leqslant b,

kde A je matice m × n , x je n × 1 sloupcový vektor proměnných a b je m × 1 sloupcový vektor konstant.

Ve výše popsaných systémech lze použít striktní i nepřísné nerovnosti.

Ne všechny systémy lineárních nerovnic mají řešení.

Aplikace

Mnohostěny

Množina řešení reálné nerovnosti tvoří poloprostor n -rozměrného reálného prostoru, jeden ze dvou poloprostorů definovaných odpovídající lineární rovnicí.

Množina řešení soustavy lineárních nerovnic odpovídá průniku poloprostorů definovaných jednotlivými nerovnicemi. Je to konvexní množina, protože poloprostory jsou konvexní množiny a průnik množiny konvexních množin je také konvexní množinou. V nedegenerovaných případech je touto konvexní množinou konvexní mnohostěn (případně neohraničený, jako je poloprostor, deska mezi dvěma rovnoběžnými poloprostory nebo konvexní kužel ). Může to být i prázdný nebo konvexní mnohostěn nižší dimenze ohraničený afinním podprostorem n - rozměrného prostoru R n .

Lineární programování

Problém lineárního programování spočívá v hledání optima (maximální nebo minimální hodnoty) funkce (nazývané účelová funkce ) za určitého souboru omezení proměnných, což jsou obecně lineární nerovnosti [5] . Seznam těchto omezení je systém lineárních nerovností.

Generalizace

Výše uvedená definice vyžaduje dobře definované operace sčítání , násobení a porovnávání . Proto lze pojem lineární nerovnosti rozšířit na uspořádané kruhy a zejména na uspořádaná pole . Zobecnění tohoto typu jsou předmětem pouze teoretického zájmu, dokud se aplikace těchto zobecnění neujasní.

Poznámky

↑ Miller a Heeren 1986 , str. 355.
↑ Technicky vzato je takové tvrzení správné, když a a b nejsou zároveň rovny nule. V případě rovnosti k nule je řešením prázdná množina, případně celá rovina.
↑ Angel, Porter, 1989 , str. 310.
↑ V případě 2-rozměrného prostoru se lineární forma i afinní funkce historicky nazývají lineární funkce , protože jejich grafy jsou přímky. V jiných dimenzích žádná z těchto funkcí nemá přímku jako graf, takže zobecnění lineární funkce do vyšších dimenzí se provádí ve smyslu algebraických vlastností, což vede k rozdělení na dva druhy funkcí. Rozdíl v těchto funkcích je však jen přidaná konstanta.
↑ Angel, Porter, 1989 , str. 373.

Literatura

Allen R. Angel, Stuart R. Porter. Přehled matematiky s aplikacemi. — 3. - Addison-Wesley, 1989. - ISBN 0-201-13696-1 .
Charles D. Miller, Vern E. Heeren. Matematické myšlenky . — 5. - Scott, Foresman, 1986. - ISBN 0-673-18276-2 .
Khan Academy: Lineární nerovnosti, bezplatné online mikro přednášky
Vyalyi MN Lineární nerovnice a kombinatorika . M.: MTsNMO, 2003. 32 s.