Supersymetrická kvantová mechanika

V teoretické fyzice je supersymetrická kvantová mechanika oborem, kde jsou matematické koncepty z oblasti fyziky vysokých energií aplikovány na pole kvantové mechaniky . Supersymetrie, která je chápána jako transformace z bosonických na fermionické operátory a naopak, kombinuje spojité (bosonické) a diskrétní (fermionické) transformace. V moderní teorii jsou bosony spojovány s nositeli interakce a fermiony s hmotou, ale supersymetrie byla schopna tyto dva koncepty spojit. Supersymetrie se také ukázala být užitečnou pro řešení divergence v kvantové teorii pole, což vedlo k zájmu o tuto teorii [1] .

Úvod

Je matematicky obtížné dokázat důsledky supersymetrie a je také obtížné vyvinout teorii, která by mohla demonstrovat porušení symetrie, tedy nepřítomnost pozorovatelných partnerů částic stejné hmotnosti. Aby fyzici pokročili v těchto problémech, vyvinuli supersymetrickou kvantovou mechaniku , tj. teorii použití supersymetrické superalgebry na kvantovou mechaniku na rozdíl od kvantové teorie pole . Doufáme, že studium důsledků supersymetrie v tomto jednoduchém prostředí povede k novým poznatkům; je pozoruhodné, že doprovodné pokroky vedly k vytvoření nových linií výzkumu v samotné kvantové mechanice.

Studenti se například obvykle učí „řešit“ atom vodíku jako pracný proces, který začíná začleněním Coulombova potenciálu do Schrödingerovy rovnice . Po značném množství práce s použitím mnoha diferenciálních rovnic jsou pomocí analýzy získány rekurentní vztahy pro Laguerrovy polynomy . Konečným výsledkem je spektrum : energetické stavy atomu vodíku (označené kvantovými čísly n a l ). S nápady nasbíranými ze supersymetrie lze konečný výsledek získat za mnohem nižší náklady, v podstatě stejným způsobem jako u operátorské metody řešení harmonického oscilátoru . [2] Podobný supersymetrický přístup lze použít k přesnějšímu nalezení spektra vodíku pomocí Diracových rovnic. [3] Ironicky je tento přístup podobný způsobu, jakým Erwin Schrödinger poprvé použil atom vodíku . [4] [5] Své řešení samozřejmě nenazval supersymetrickým, protože samotná teorie supersymetrie se objevila o třicet let později.

Supersymetrické řešení atomu vodíku je jen jedním příkladem velmi obecné třídy řešení: invariantní formy potenciálů . tvarově invariantní potenciály . Tato kategorie zahrnuje většinu potenciálů vyučovaných v úvodních kurzech kvantové mechaniky.

Supersymetrická kvantová mechanika zahrnuje dvojice Hamiltoniánů , mezi nimiž existují specifické matematické vztahy. Říká se jim partner Hamiltonians . partner Hamiltonians . Pak se odpovídající potenciály v Hamiltoniánech nazývají partnerské potenciály . partnerský potenciál ). Hlavní věta ukazuje, že pro všechny vlastní stavy jednoho hamiltoniánu má jeho hamiltonovský partner odpovídající vlastní stavy se stejnou energií (možná s výjimkou vlastních stavů s nulovou energií . Tento fakt lze využít k odvození mnoha vlastností spektra vlastních stavů. To je analogické k původnímu popisu supersymetrie, který se týká bosonů a fermionů. Můžeme si představit "bosonický Hamiltonián", jehož stavy jsou různé bosony naší teorie. Supersymetrickým partnerem tohoto Hamiltoniána bude "Fermion" a jeho vlastní stavy budou popisovat fermiony. Každý boson odpovídá fermionickému partnerovi o stejné energii – ale v relativistickém světě jsou energie a hmotnost zaměnitelné, takže můžeme jednoduše říci, že partnerské částice mají stejnou hmotnost.

Koncept supersymetrie poskytuje užitečná rozšíření aproximace WKB ve formě upravené verze Bohr-Sommerfeldovy kvantizační podmínky. Navíc je supersymetrie aplikována v nekvantové statistické mechanice pomocí Fokker-Planckovy rovnice . Tento příklad ukazuje, že i když původní myšlenka ve fyzice částic vede do slepé uličky, její zkoumání v jiných oblastech rozšířilo naše chápání.

Příklad: harmonický oscilátor

Schrödingerova rovnice pro harmonický oscilátor má tvar

H^{HO}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{ dx^{2))}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{ HO}\psi _{n}(x),

kde je th úroveň s energií . Chceme najít výraz pro jako funkci . Pojďme definovat operátory $\psi _{n}(x)$ $n$ $H^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $n$

A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)

A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx}}+W(x),

kde , které si musíme vybrat sami, se nazývá superpotenciál . Definujme hamiltonovské partnery a jak $W(x)$ $H^{HO}$ $H^{(1)}$ $H^{(2)}$

H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 ))}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)

H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2} ))+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).

Základní stav s nulovou energií z rovnice splní $\psi _{0}^{(1)}(x)$ $H^{(1)}$

H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A ^{\dagger }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx))+W(x){\bigg )}\psi _{0 }^{(1)}(x)=0.

Za předpokladu, že známe základní stav harmonického oscilátoru, zjistíme jako $\psi _{0}(x)$ $W(x)$

W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m))}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\ psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}

Pak to zjistíme

H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}

H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.

Nyní to můžeme vidět

H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{HO}-{\frac {\hbar \omega }{2)).

Toto je speciální případ tvarové invariance, který je diskutován níže. Přijmeme-li hlavní větu bez důkazu, je zřejmé, že spektrum začíná a dále se zvyšuje v krocích Spectra a bude mít stejné stejné intervaly, ale bude posunuto o resp . Z toho vyplývá, že spektrum nabývá známé formy . $H^{(1)}$ $E_{0}=0$ $\hbar \omega .$ $H^{(2)}$ $H^{HO}$ $\hbar \omega$ $\hbar \omega/2$ $H^{HO}$ $E_{n}^{HO}=\hbar \omega (n+1/2)$

Superalgebra supersymetrické kvantové mechaniky

V běžné kvantové mechanice se učíme, že algebra operátorů je určena komutačními vztahy mezi těmito operátory. Například kanonické operátory polohy a hybnosti mají komutátor . (Tady používáme " přirozené jednotky ", kde Planckova konstanta je nastavena na 1.) Složitějším případem je algebra operátorů momentu hybnosti ; tyto veličiny úzce souvisejí s rotační symetrií v trojrozměrném prostoru. Zobecněním tohoto konceptu definujeme antikomutátor , který definuje vztah operátorů, stejně jako běžný komutátor, ale s opačným znaménkem: $[x,p]=i$

\{A,B\}=AB+BA.

Pokud jsou operátory spojeny jak antikomutátory, tak komutátory, říkáme, že jsou součástí Lieovy superalgebry . Řekněme, že máme kvantový systém popsaný hamiltoniánem a sadou operátorů . Tento systém budeme nazývat supersymetrický , pokud pro všechny platí následující antikomutační vztahy : ${\mathcal {H}}$ $N$ $Qi}$ $i,j=1,\ldots ,N$

Pokud ano, pak systém nazýváme supercharges. $Qi}$

Příklad

Vezměme si příklad jednorozměrné nerelativistické částice se 2 ( tj. dvěma stavy) vnitřními stupni volnosti a nazvěme je „spin“ (toto není přesně spin, protože skutečný spin je vlastnost 3D částice). Nechte operátora, který převádí „roztočení“ částice na „roztočení“. Jeho přidružený operátor transformuje spin-down částici do spin-up stavu. Operátory jsou normalizovány tak, že antikomutátor . A samozřejmě ,. Nechť hybnost částice a její souřadnice je s . Nechť (superpotenciál) je libovolná komplexní analytická funkce , která definuje supersymetrické operátory $b$ $b^{\dagger }$ $\{b,b^{\dagger }\}=1$ $b^{2}=0$ $p$ $X$ $[x,p]=i$ $W$ $X$

Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]

Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]

Všimněte si, že a jsou samoadjunkce. Nechte hamiltoniána $Q_1$ $Q_{2}$

H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2 }}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^ {\dagger }-b^{\dagger }b)

kde W' je derivát W. Všimněte si také, že { Q 1 ,Q 2 }=0. To není nic jiného než N = 2 supersymetrie. Všimněte si, že se chová jako elektromagnetický vektorový potenciál . $\Im \{W\}$

Nazvěme také stav spin-down „bosonický“ a stav spin-up „fermionický“. Toto je pouze analogie s kvantovou teorií pole a neměla by být brána doslova. Potom Q 1 a Q 2 mapují "bosonické" stavy na "fermionické" a naopak.

Pojďme to trochu přeformulovat:

definovat

Q=(p-iW)b

a samozřejmě,

Q^{\dagger }=(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }

\{Q,Q\}=\{Q^{\dagger },Q^{\dagger }\}=0

\{Q^{\dagger },Q\}=2H

Operátor je „bosonický“, pokud přebírá „bosonické“ stavy do „bosonických“ stavů a „fermionické“ stavy do „fermionických“ stavů. Operátor je "fermionický", pokud převádí "bosonické" stavy na "fermionické" stavy a naopak. Jakýkoli operátor může být vyjádřen jednoznačně jako součet bosonických a fermionických operátorů. Superkomutátor [,} definujeme takto: mezi dvěma bosonickými operátory nebo mezi bosonickým a fermionickým operátorem není nic jiného než komutátor , ale mezi dvěma fermionickými operátory je to antikomutátor .

Potom x a p jsou bosonické operátory a b , , Q jsou fermionické operátory. $b^{\dagger }$ ${\displaystyle Q^{\dagger ))$

V Heisenbergově zápisu jsou x , b a funkce času $b^{\dagger }$

[Q,x\}=-ib

[Q,b\}=0

[Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}

[Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }

[Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}

[Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0

Tyto výrazy jsou obecně nelineární: tj. x (t), b (t) a netvoří lineární supersymetrickou reprezentaci, protože nejsou nutně lineární v x . Abychom se tomuto problému vyhnuli, definujeme samoadjungovaný operátor . Pak, $b^{\dagger }(t)$ $\Re\{W\}$ $F=\Re \{W\}$

[Q,x\}=-ib

[Q,b\}=0

[Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-iF

[Q,F\}=-{\frac {db}{dt))

[Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }

[Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF

[Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0

[Q^{\dagger },F\}={\frac {db^{\dagger }}{dt}}

máme lineární reprezentaci supersymetrie.

Nyní uveďme dvě "formální" veličiny: a , kde poslední je konjugátem první tak, že $\theta$ ${\bar {\theta ))$

\{\theta ,\theta \}=\({\bar {\theta )),{\bar {\theta ))\}=\({\bar {\theta )),\theta \} =0

a oba dojíždějí s bosonickými operátory, ale antikomutují s fermionickými.

Dále definujeme pojem superpole:

f(t,{\bar {\theta )),\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t )+{\bar {\theta }}\theta F(t)

f je samoadjunktní operátor. Pak,

[Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}fi{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,

[Q^{\dagger },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta )))fi\theta {\frac {\partial }{\partial t} } F.

Mimochodem, existuje také U(1) R symetrie, kde p , x , W mají nulový R-náboj, zatímco R-náboj je 1 a R-náboj b je -1. $b^{\dagger }$

Invariantní forma

Předpokládejte skutečné pro všechny skutečné . Pak můžeme zjednodušit výraz pro hamiltonián na $W$ $X$

H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}} (bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)

Existují určité třídy superpotenciálů, takže bosonické a fermionické Hamiltoniany mají podobné tvary. Konkrétně

V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})

kde jsou parametry. Například, potenciál atomu vodíku, s momentem hybnosti , moci být psán $A$ $l$

{\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+ 1 )}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}

Tomu odpovídá superpotenciál $V_{-}$

W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)))-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}

V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2 }(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2} h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}

Toto je potenciál pro moment hybnosti posunutý o konstantu. Po vyřešení základního stavu lze supersymetrické operátory použít ke konstrukci zbytku sdružených stavů spektra. $l+1$ $l=0$

Obecně, protože a jsou potenciálními partnery, mají stejné energetické spektrum s výjimkou jedné energie základního stavu. V tomto procesu hledání partnerských potenciálů můžeme pokračovat s podmínkou tvarové invariance pomocí následujícího vzorce pro energetické hladiny v závislosti na parametrech potenciálu $PROTI_{-}$ ${\displaystyle V_{+))$

E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})

kde jsou parametry pro několik partnerských potenciálů. $a_{i}$

Poznámky

↑ L. E. Gendenshtein , I. V. Krive. Supersymetrie v kvantové mechanice // UFN. - 1985. - T. 146 . - S. 553-590 .
↑ Valance, A.; Morgan, TJ & Bergeron, H. (1990), Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry , American Journal of Physics (AAPT). — V. 58(5): 487–491, doi : 10.1119/1.16452 , < http://link.aip.org/link/?AJP/58/487/1 > Archivováno z originálu 24. února 2013.
↑ Taller, B. (1992). Diracovy rovnice. Texty a monografie o fyzice. Springer.
↑ Schrödinger, Erwin (1940), Metoda určování kvantově-mechanických vlastních hodnot a vlastních funkcí, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy) . — T. 46: 9.–16
↑ Schrödinger, Erwin (1941), Další studie o řešení problémů vlastních hodnot faktorizací, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy) . - T. 46: 183-206