Reebova věta o sféře

Reebův teorém o sféře : Nechť foliace se singularitami existuje na uzavřeném orientovatelném spojeném manifoldu , jehož všechny singulární body jsou izolované a jsou středy. Pak je homeomorfní ke kouli a foliace má přesně dva singulární body. $M^{n}$ $M^{n}$ $S^{n}$

Věta byla prokázána v roce 1946 francouzským matematikem Georgesem Ribem .

Morseova foliace

Izolovaný singulární bod foliace F se nazývá bod typu Morse , pokud v jeho malém sousedství jsou všechny vrstvy úrovněmi nějaké Morseovy funkce a sám je kritickým bodem této funkce.

Singulární bod typu Morse se nazývá střed , pokud je lokálním extrémem funkce; jinak se tomu říká sedlo .

Označme ind p = min( k , n − k ), index singularity , kde k je index odpovídajícího kritického bodu Morseovy funkce. Konkrétně střed má index 0, sedlový index je alespoň 1. $p$

Morseova foliace F na manifoldu M je speciální příčně orientovaná foliace kodimenze 1 třídy C 2 s izolovanými singularitami a:

všechny singularity F typu Morse,
každé singulární vlákno L obsahuje pouze jeden singulární bod p ; navíc, pokud ind p = 1, pak je odpojen. $L\setminus p$

Nechť c je počet středů Morseovy foliace F a je počet jejích sedel, ukáže se, že rozdíl c − s úzce souvisí s topologií variety . $s$ $M$

Reebova věta o sféře

Uvažujme případ c > s = 0, to znamená, že všechny singularity jsou středy, neexistují žádná sedla.

Věta: [1] Předpokládejme, že na uzavřené orientované spojené varietě dimenze existuje -příčně orientovaná foliace kodimenze 1 s neprázdnou množinou izolovaných singulárních bodů, z nichž všechny jsou středy. Pak má foliace přesně dva singulární body a varieta $M^{n}$ $n\geq 2$ $C^1$ $F$ $F$ je homeomorfní ke kouli . $M^{n}$ $S^{n}$

Tato skutečnost je důsledkem Reebovy věty o stabilitě .

Variace a zobecnění

Obecnější je případ $c>s\geq 0.$

V roce 1978 E. Wagneur zobecnil Reebův teorém o kouli na Morseovy foliace se sedlem. Ukázal, že počet středisek nemůže být příliš velký ve srovnání s počtem sedel, totiž . Existují tedy přesně dva případy, kdy : $c\leq s+2$ $c>s$

(jeden)

c=s+2,

(2)

c=s+1.

Wagner také popsal rozdělovače, na kterých jsou foliace vyhovující případu (1).

Věta [2] : Nechť existuje Morseova foliace se středy a sedlem na kompaktní spojené manifoldu . Pak . Pokud , pak $M^{n}$ $F$ $C$ $s$ $c\leq s+2$ $c=s+2$

$M^{n}$ homeomorfní na kouli , $S^{n}$

všechna sedla mají index 1,

každé nesingulární vlákno je difeomorfní na kouli . $S^{{n-1}}$

Nakonec v roce 2008 Camacho a Scardua (C. Camacho, B. Scardua) případ zvažovali (2), . Zajímavé je, že tento případ je možný pouze v některých rozměrech. $c=s+1$

Věta [3] : Nechť kompaktní spojenou varietu a je Morseova foliace na . Pokud , pak $M^{n}$ $F$ $M^{n}$ $s=c+1$

$n=2,4,8$ nebo , $16$

$M^{n}$ je Eales-Kuiperův rozdělovač .

Odkazy

↑ G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — CRAS Paris 222, 1946, pp. 847-849. [1] Archivováno 9. března 2016 na Wayback Machine
↑ E. Wagneur , Formes de Pfaff à singularités non dégénérées - Annales de l'institut Fourier, 28, N3, 1978, s. 165-176 [2] Archivováno 5. června 2011 na Wayback Machine
↑ C. Camacho, B. Scardua , O foliacích s Morseovými singularitami. — Proc. amer. Matematika. Soc., 136, 2008, str. 4065-4073 [3]