Fermatova věta o pravoúhlém trojúhelníku

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Fermatova věta o pravoúhlém trojúhelníku je důkazem neexistence v teorii čísel , jediným úplným důkazem, který zanechal Pierre Fermat [1] . Věta má několik ekvivalentních formulací:

Pokud tři čtvercová čísla tvoří aritmetickou posloupnost , pak krok postupu nemůže být čtverec.
Neexistují dvě pythagorejské trojice , ve kterých dvě nohy jedné trojice jsou nohou a přeponou druhé trojice.
Pravoúhlý trojúhelník , ve kterém jsou délky všech tří stran racionálním číslem , nemůže mít obsah rovný druhé mocnině racionálního čísla. Takto definovaná oblast se nazývá kongruentní číslo , takže žádné shodné číslo nemůže být čtverec.
Pravoúhlý trojúhelník a čtverec o stejné ploše nemohou mít souměřitelné strany (hodnoty jsou souměřitelné, pokud je podíl těchto veličin racionální číslo).
Jedinými racionálními body na eliptické křivce jsou tři triviální body (0,0), (1,0) a (−1,0). $y^{2}=x(x-1)(x+1)$
Diofantova rovnice nemá žádná úplná řešení. $x^{4}-y^{4}=z^{2}$

Bezprostředním důsledkem posledního z těchto tvrzení je platnost Fermatovy poslední věty pro exponent . $n=4$

Formulace

Čtverce aritmetických posloupností

V roce 1225 byl italský matematik Fibonacci požádán, aby našel způsob, jak sestrojit trojice čtverců , které jsou od sebe ve stejné vzdálenosti a tvoří aritmetický postup [2] . Jedním ze způsobů, jak popsat Fibonacciho řešení, je reprezentovat tato čísla jako rozdíl větví, přepony a součtu větví pythagorejské trojice , a pak se krok postupu bude rovnat čtyřnásobné ploše tohoto trojúhelníku [3 ] . V pozdější práci o tomto problému, publikované v Book of Squares , Fibonacci poznamenal, že krok aritmetické posloupnosti čtverců nemůže být sám o sobě čtvercem, ale neposkytl uspokojivý důkaz této skutečnosti [4] [5 ] .

Pokud tři čtverce a tvoří aritmetickou posloupnost, ve které je krok také čtvercem , pak tato čísla splňují diofantinské rovnice $a^2$ $b^{2}$ $c^{2}$ $d^{2}$

a^{2}+d^{2}=b^{2}

a .

b^{2}+d^{2}=c^{2}

V tomto případě by podle Pythagorovy věty vytvořily dva pravoúhlé trojúhelníky s celočíselnými stranami, ve kterých by dvojice byla noha a přepona menšího trojúhelníku a stejná dvojice by byla nohama většího trojúhelníku. Pokud ale (jak ukázal Fibonacci) v aritmetické posloupnosti čtverců není čtvercový krok, pak nemohou existovat dva pravoúhlé trojúhelníky s celočíselnými stranami, jejichž dvě shodné strany jsou takto spojeny [6] . $(d,b)$

Oblasti pravoúhlých trojúhelníků

Protože krok progrese čtverců je roven čtyřem oblastem pythagorejského trojúhelníku a násobení čtyřmi nemění, zda je číslo čtvercem, je existence čtvercového kroku v aritmetické posloupnosti čtverců ekvivalentní existenci čtverce. Pythagorejský trojúhelník s plochou rovnou druhé mocnině celého čísla. Toto je varianta, kterou Fermat zvažoval ve svém důkazu a ve které ukázal, že takové trojúhelníky neexistují [1] . Fermata k tomuto úkolu nepřiměl Fibonacci, ale četba Diophantovy knihy , kterou vydal Claude Gaspard Bachet [1] . Tato kniha popisuje různé speciální pravoúhlé trojúhelníky , jejichž obsah se vztahuje ke čtvercům, ale nemají být čtverci [7] .

Transformací rovnic pro dva pythagorejské trojúhelníky výše a jejich vynásobením můžeme získat diofantinskou rovnici

b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}

které lze zjednodušit

b^{4}-d^{4}=e^{2}.

Naopak jakékoli řešení této rovnice lze rozšířit tak, že dostaneme čtvercový krok v aritmetické posloupnosti čtverců. Řešitelnost této rovnice je tedy ekvivalentní existenci čtvercového kroku v aritmetické posloupnosti čtverců. Ale pokud by Fermatův poslední teorém neplatil pro exponent , pak by jakýkoli protipříklad byly právě ty tři čtverce, které rovnici splňují. Z Fermatova důkazu, že neexistuje Pythagorův trojúhelník s plochou rovnou čtverci celého čísla, tedy vyplývá, že rovnice nemá řešení, a proto (pro tento případ) platí poslední Fermatova věta [7] . $n=4$

Jiná formulace stejného problému používá kongruentní čísla , čísla, která jsou obsahy pravoúhlých trojúhelníků s racionálními stranami. Vynásobením obou stran společným jmenovatelem lze jakékoli shodné číslo převést na plochu pythagorejského trojúhelníku, což znamená, že shodná čísla jsou přesně ta čísla získaná vynásobením kroku v aritmetické posloupnosti čtverců druhou mocninou čtverce. racionální číslo. V aritmetické posloupnosti čtverců tedy neexistuje čtvercový krok právě tehdy, když číslo 1 není shodné [8] [9] . Ekvivalentní formulace: je nemožné, aby čtverec ( geometrický obrazec ) a pravoúhlý trojúhelník měly stejnou plochu a všechny strany byly párově souměřitelné (hodnoty jsou souměřitelné, pokud je podíl těchto veličin racionální číslo) [5] .

Eliptická křivka

Další ekvivalentní formulace Fermatovy věty používá eliptickou křivku složenou z bodů, jejichž kartézské souřadnice splňují rovnici $(x,y)$

y^{2}=x(x+1)(x-1).

Tato rovnice má zřejmá řešení (0,0), (1,0) a (−1,0). Fermatova věta je ekvivalentní tvrzení, že pouze tyto body křivky mají obě racionální souřadnice [9] [10] .

Fermatův důkaz

Fermat za svého života navrhl některým dalším matematikům, že pythagorejský trojúhelník s plochou, která je čtvercem, neexistuje, ale sám důkaz nezveřejnil. Důkaz však zapsal na okraj Diophantovy aritmetiky , vydané Claudem Bachetem , kterou brzy objevil a posmrtně publikoval jeho syn [1] [5] .

Fermatův důkaz používá metodu nekonečného sestupu . Ukázal, že z jakékoli instance pythagorejského trojúhelníku se čtvercovou plochou lze získat stejnou instanci s menší plochou. Protože Pythagorejské trojúhelníky mají kladnou celočíselnou plochu a neexistuje žádná nekonečná klesající posloupnost kladných celých čísel, nemohou existovat žádné Pythagorejské trojúhelníky s plochou druhou mocninou celého čísla [1] [5] .

Předpokládejme, že , a jsou celočíselné strany pravoúhlého trojúhelníku s plochou druhou mocninou celého čísla. Po vydělení společnými činiteli můžeme trojúhelník považovat za jednoduchý [5] , a ze známých vzorců pro jednoduché pythagorejské trojúhelníky můžeme předpokládat , a , v důsledku čehož se problém změní v hledání společných celých čísel a (z nichž jedním je dokonce), takový, že je čtverec. Čtyři lineární faktory , , a jsou coprime, a proto samy musí být čtverce. Nechte a . Je důležité poznamenat, že a , a musí být liché, protože pouze jedno z čísel je buď sudé a druhé je liché. Tedy a , a jsou sudé a jedno z nich je dělitelné 4. Z těchto dvou čísel dostane Fermat další dvě čísla a , z nichž jedno je sudé. Protože je to čtverec a jsou to nohy dalšího jednoduchého pythagorejského trojúhelníku, jehož plocha se rovná . Protože je sám čtverec, a protože je sudý, je čtverec. Jakýkoli pythagorejský trojúhelník s plochou rovnou čtverci celého čísla tedy vede k menšímu pythagorejskému trojúhelníku se čtvercovou plochou, čímž je důkaz dokončen [1] [7] [5] . $X$ $y$ $z$ $x=2pq$ $y=p^{2}-q^{2}$ $z=p^{2}+q^{2}$ $p$ $q$ $pq(p^{2}-q^{2})$ $p$ $q$ $p+q$ $pq$ $p+q=r^{2}$ $pq=s^{2}$ $r$ $s$ $p$ $q$ $(rs)$ $(r+s)$ $u=(rs)/2$ $v=(r+s)/2$ $u^{2}+v^{2}=p$ $u$ $proti$ $(uv)/2=q/4$ $q$ $UV$ $q/4$

Odkazy

↑ 1 2 3 4 5 6 G. Edwards. Poslední Fermatův teorém: Genetický úvod do algebraické teorie čísel. - M .: Mir, 1980. - S. 24; 1.6 Jeden důkaz Fermatu.
↑ Michael John. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. - Infobase Publishing, 2006. - S. 124. - ISBN 978-0-8160-5423-7 .
↑ Albert H. Beiler. Zábava v teorii čísel: Královna matematiky baví. - Courier Corporation, 1964. - S. 153. - ISBN 978-0-486-21096-4 .
↑ Øysteinská ruda. Teorie čísel a její historie. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203. — ISBN 978-0-486-13643-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Leonard Eugene Dickson. Historie teorie čísel. - American Mathematical Society, 1999. - V. 2. - S. 615-626. — ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ Joshua Cooper, Chris Poirel. Pythagorejská rozdělovací pravidelnost a uspořádané trojité systémy s vlastností Sum. - 2008. - T. 0809 . - S. 3478 . - . - arXiv : 0809.3478 .
↑ 1 2 3 John Stillwell. čísla a geometrie. - Springer, 1998. - S. 131-133. - (Pregraduální texty z matematiky). - ISBN 978-0-387-98289-2 .
↑ Keith Conrad. Problém kongruentních čísel // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , vydání. 2 . — s. 58–73 . Archivováno z originálu 20. ledna 2013.
↑ 12 Neal Koblitz . Úvod do eliptických křivek a modulárních forem. - Springer-Verlag, 1984. - (Absolventské texty z matematiky). - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ Kazuya Kato, Takeshi Saitō. Teorie čísel: Fermatův sen. - American Mathematical Society, 2000. - S. 17. - ISBN 978-0-8218-0863-4 .

Externí odkazy

Weisstein, Eric W. Fermat's Right Triangle Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .