Kongruentní číslo

Kongruentní číslo  je přirozené číslo rovné obsahu pravoúhlého trojúhelníku se stranami, jejichž délky jsou vyjádřeny racionálními čísly [1] . Obecnější definice zahrnuje všechna kladná racionální čísla s touto vlastností [2] .

Shodná čísla tvoří posloupnost

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (sekv. A003273 v OEIS )
Tabulka kongruentních čísel: n ≤ 120 [3]
—: neshodné číslo
K: nekvadratické Shodné číslo
Q: Shodné číslo se čtvercovým faktorem
n jeden 2 3 čtyři 5 6 7 osm
— — — — K K K —
n 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16
— — — — K K K —
n 17 osmnáct 19 dvacet 21 22 23 24
— — — Q K K K Q
n 25 26 27 28 29 třicet 31 32
— — — Q K K K —
n 33 34 35 36 37 38 39 40
— K — — K K K —
n 41 42 43 44 45 46 47 48
K — — — Q K K —
n 49 padesáti 51 52 53 54 55 56
— — — Q K Q K Q
n 57 58 59 60 61 62 63 64
— — — Q K K Q —
n 65 66 67 68 69 70 71 72
K — — — K K K —
n 73 74 75 76 77 78 79 80
— — — — K K K Q
n 81 82 83 84 85 86 87 88
— — — Q K K K Q
n 89 90 91 92 93 94 95 96
— — — Q K K K Q
n 97 98 99 100 101 102 103 104
— — — — K K K —
n 105 106 107 108 109 110 111 112
— — — — K K K Q
n 113 114 115 116 117 118 119 120
— — — Q Q K K Q

Například 5 je shodné číslo, protože je to obsah trojúhelníku se stranami 20/3, 3/2 a 41/6. Stejně tak číslo 6 je shodné, protože je to obsah trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5. 3 není shodný.

Je-li q shodné číslo, pak s 2 q je shodné i pro nějaké číslo s (stačí vynásobit každou stranu trojúhelníku s ), platí to i naopak. To vede k pozorování, že to, zda je nenulové racionální číslo q kongruentní číslo, závisí pouze na jeho kossetu ve skupině

.

Libovolná množina v této skupině obsahuje právě jedno nekvadratické číslo , takže když se mluví o kongruentních číslech, myslí se pouze kladná celá čísla bez druhé mocniny.

Problém shodného čísla

Plocha pravoúhlého trojúhelníku z hlediska nohou je vyjádřena takto:

Požadavek na obdélníkový trojúhelník je vyjádřen takto:


kde a , b jsou nohy trojúhelníku, c je jeho přepona . Problém určení, zda je přirozené číslo S kongruentní, spočívá v nalezení racionálního řešení tohoto systému rovnic.


Problém určení, zda je dané celé číslo shodné, se nazývá problém shodného čísla . Úkol (do roku 2012) dosud není vyřešen. Tunnelův teorém poskytuje jednoduchý test pro určení, zda je číslo kongruentní, ale tento výsledek se opírá o Birch-Swinnerton-Dyerův dohad , který nebyl prokázán.

Fermatova věta o pravoúhlém trojúhelníku , pojmenovaná po Pierru Fermatovi , říká, že žádné čtvercové číslo nemůže být shodné. Avšak ve formě tvrzení, že jakýkoli rozdíl (krok) mezi po sobě jdoucími členy aritmetické posloupnosti čtverců není dokonalým čtvercem, tuto skutečnost znal (bez důkazu) již Fibonacci [4] . Každý takový progresivní krok je shodné číslo a každé shodné číslo je součinem progresního kroku a druhé mocniny racionálního čísla [5] . Určit, zda je číslo krokem progrese čtverců, je však mnohem jednodušší úkol, protože existuje parametrický vzorec, ve kterém je nutné zkontrolovat pouze konečný počet hodnot parametrů [6] .

Spojení s eliptickými křivkami

Otázka, zda je dané číslo kongruentní, se ukazuje jako ekvivalentní podmínce, že nějaká eliptická křivka má kladnou hodnost [2] . Alternativní přístup k této myšlence je uveden níže (a lze jej nalézt v úvodu v Tunnelově práci).

Předpokládejme , že a , b a c  jsou čísla (ne nutně kladná nebo racionální), která splňují následující podmínky:

Nechť x = n ( a + c ) / b a y = 2 n 2 ( a + c ) / b 2 . Dostat

a y se nerovná 0 (pokud y = 0, pak a = - c , takže b = 0, ale (1/2) ab = n se nerovná nule, což je rozpor).

Naopak, pokud x a y jsou čísla splňující výše uvedené rovnice a y se nerovná 0, dejte a = ( x 2  - n 2 )/ y , b = 2 nx / y a c = ( x 2 + n 2 ) / y . Výpočty ukazují, že tato tři čísla splňují dvě výše uvedené rovnice.

Korespondence mezi ( a , b , c ) a ( x , y ) je reverzibilní, takže mezi řešeními těchto dvou rovnic pro a , b a c a řešeními pro x a máme korespondenci jedna ku jedné. y , kde y není nula. Zejména ze vzorců pro a , b a c vyplývá, že při daném racionálním n jsou čísla a , b a c racionální právě tehdy, jsou-li odpovídající x a y racionální, a naopak. (Dostaneme také, že a , b a c jsou kladné právě tehdy, když jsou x a y kladné. Z rovnice y 2 = x 3  - xn 2 = x ( x 2  - n 2 ) poznamenejte, že pokud jsou x a y kladné , pak x 2  - n 2 musí být kladné, takže výše uvedený vzorec pro a dá kladné číslo.)

Kladné racionální číslo n je tedy kongruentní právě tehdy, když y 2 = x 3  - n 2 x má racionální bod s y nerovným nule . Lze ukázat (jako elegantní důsledek Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetickém postupu), že pouze torzní body této eliptické křivky mají y rovné 0, což znamená, že existence racionálních bodů s nenulovým y je ekvivalentní tvrzení že eliptická křivka má kladnou hodnost.

Aktuální stav

Mnoho prací je věnováno klasifikaci kongruentních čísel.

Například je známo [7] , že pro prvočíslo p platí:

Je také známo [8] , že v každé ze zbytkových tříd 5, 6, 7 (mod 8) a libovolném daném k existuje nekonečně mnoho shodných čísel bez nuly s k prvočiniteli.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Mathworld .
  2. ↑ 12 Neal Koblitz . Úvod do eliptických křivek a modulárních forem . - New York: Springer-Verlag , 1993. - S.  3 . - ISBN 0-387-97966-2 .
  3. ↑ OEIS sekvence A003273 _
  4. ↑ Øysteinská ruda. Teorie čísel a její historie. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203 . — ISBN 9780486136431 .
  5. ↑ Keith Conrad. Problém kongruentních čísel // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , vydání. 2 . - S. 58-73 .
  6. ↑ David Darling. Univerzální kniha matematiky: Od Abrakadabry k Zenónovým paradoxům. - John Wiley & Sons, 2004. - S. 77. - ISBN 9780471667001 .
  7. ↑ Paul Monsky. Mock Heegnerovy body a kongruentní čísla  // Mathematische Zeitschrift. - 1990. - T. 204 , čís. 1 . - S. 45-67 . - doi : 10.1007/BF02570859 .
  8. ↑ Ty Tian. Kongruentní čísla a Heegnerovy body. - 2012. - arXiv : 1210.8231v1 .

Literatura

Odkazy