Teorém koule (diferenciální geometrie)

Věta koule je obecný název pro teorémy, které dávají dostatečné podmínky na Riemannově metrice , aby zaručily, že varieta je homeomorphic nebo diffeomorphic ke standardní kouli .

Formulace

Nechat být uzavřený , jednoduše připojený , n - rozměrný Riemannian varieta s nějakou podmínkou na zakřivení (viz poznámky), pak to je homeomorphic / diffeomorphic k n - rozměrná koule . $M$ $M$

Formulace s homeomorfismem a diffeomorfismem se nazývají teorém topologické koule a věta o hladké kouli .

Nejznámější podmínkou zakřivení je tzv. zakřivení quarter-pinning, což znamená, že zakřivení řezu v každém směru řezu každého bodu leží v . $(1,4]$
- Čtvrtinová podmínka je optimální, věta přestává platit, pokud zakřivení průřezu může nabývat hodnot v uzavřeném intervalu . Standardní protipříklad je komplexní projektivní prostor s kanonickou metrikou; zakřivení průřezu metriky nabývá hodnot mezi 1 a 4, včetně koncových bodů. Jiné protipříklady lze nalézt mezi symetrickými prostory 1. pozice . $[1,4]$
- Obecnější podmínkou je bodové přišpendlení. To znamená, že zakřivení průřezu je kladné a pro každý pevný bod poměr maxima k minimu zakřivení průřezu ve všech směrech průřezu nepřesahuje 4.

Další známou podmínkou zakřivení je pozitivita operátoru zakřivení .
- Obecnější podmínkou je tzv. 2-pozitivita operátoru křivosti , tedy kladnost součtu dvou nejmenších vlastních hodnot operátoru křivosti.

První teorém o kouli byl prokázán Rauchem v roce 1951. Ukázal, že jednoduše spojené manifoldy se zakřivením průřezu v intervalu [3/4,1] jsou homeomorfní ke kouli.

V roce 1960 prokázali Marcel Berger a Wilhelm Klingenberg topologickou verzi teorému o kouli pro čtvrtinový snímek.

V roce 1988 Micalef a Moore prokázali topologickou verzi pro uzavřené manifoldy s pozitivním komplexním zakřivením v izotropních směrech.
- Konkrétně to implikuje teorém topologické sféry pro operátor pozitivní křivosti.
  - To, že uzavřené manifoldy s pozitivním operátorem zakřivení jsou sféry racionální homologie , snadno vyplývá z Bochnerova vzorce .
- Jejich důkaz používá dvourozměrnou analogii Singova lemmatu .

Klasické metody umožnily dokázat větu o hladké kouli pouze pro velmi tuhé sevření, optimálních sevření bylo dosaženo pomocí Ricciho toku

V roce 1982 Richard Hamilton dokázal větu o hladké sféře ve 3-rozměrném případě s pozitivní Ricciho křivostí .
- Toto byla první aplikace Ricciho toku, zbytek důkazů hladké věty se řídil stejným schématem, ale vyžadoval vážná technická vylepšení.

V roce 1985 Gerhard Huysken použil Ricciho tok k prokázání věty o hladké sféře ve všech dimenzích.
- Předložková podmínka zakřivení, kterou navrhl, byla v určitém smyslu optimální. Zejména tenzor křivosti součinu kružnice a koule leží na hranici podmínky křivosti. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{n-1))$

V roce 2008 Burchard Wilking a Christoph Böhm dokázali větu o hladké kouli pro dvoupozitivitu operátoru křivosti. Zejména teorém hladké koule platí za podmínky, že operátor zakřivení je kladný.

V roce 2009 Simon Brende a Richard Schoen dokázali větu o hladké sféře s dělením na čtvrtiny. Jejich důkaz významně využil myšlenky Wilkinga a Boehma.

Rauch, H.E., Příspěvek k diferenciální geometrii ve velkém, Ann. matematiky. 54 (1951), 38-55
Klingenberg, W., Příspěvky k riemannovské geometrii ve velkém, Ann. matematiky. 69 (1959), 654-666.
Berger, M., Les variétes Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170.
Micallef, M., Moore, JD, Minimální dvousféry a topologie variet s kladnou křivostí na totálně izotropních dvou rovinách. Ann. matematiky. (2) 127 (1988), 199-227.
Huisken, G., Ricciho deformace na metrice na Riemannově manifoldu. J. Diferenciální geom. 21 (1985), 47-62.
B. Wilking, C. Böhm: Rozvody s pozitivními operátory zakřivení jsou prostorové formy. Ann. matematiky. (2) 167 (2008), no. 3, 1079-1097.
Simon Brandle a Richard Schoen. Rozdělovače se zakřivením o 1/4 jsou vesmírné formy // Journal of the American Mathematical Society : deník. - 2009. - Sv. 22 , č. 1 . - str. 287-307 . - doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 .