Pokhozhaevova identita

Pokhozhaevova identita je integrální vztah, který je splněn stacionárními lokalizovanými řešeními nelineární Schrödingerovy rovnice nebo nelineární Klein-Gordonovy rovnice . Obdržel jej S.I. Pokhozhaev [1] a podobně jako viriální věta . Tento vztah je také známý jako D.G. Derrick . Podobné identity lze získat pro další rovnice matematické fyziky.

Pokhozhaevova identita pro stacionární nelineární Schrödingerovu rovnici

Uvádíme obecnou formu navrženou A. Berestitskym a P.-L. Lyons [2] .

Nastavme jako spojitou reálnou funkci s . Pojďme definovat . Nechat $g(s)$ $g(0)=0$ $G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt$

u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^ {n}),\qquad G(u)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,

bude řešením rovnice

-\nabla ^{2}u=g(u)

z hlediska distribucí . Pak to uspokojí vztah $u$

{\frac {n-2}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{ \mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.

Pokhozhaevova identita pro stacionární nelineární Diracovu rovnici

Existuje forma virální identity pro stacionární nelineární Diracovu rovnici ve třech prostorových dimenzích (stejně jako Maxwell-Diracova rovnice [3] ) a v libovolné prostorové dimenzi [4] . Nechat a nechat a být samoadjungované Diracovy matice velikosti : $n\in \mathbb {N} ,\,N\in \mathbb {N}$ $\alpha ^{i},\,1\leq i\leq n$ $\beta$ $N\times N$

\alpha ^{i}\alpha ^{j}+\alpha ^{j}\alpha ^{i}=2\delta _{ij}I_{N},\quad \beta ^{2}= I_{N},\quad \alpha ^{i}\beta +\beta \alpha ^{i}=0,\quad 1\leq i,j\leq n.

Nechť je bezhmotný Diracův operátor . Nastavme jako spojitou reálnou funkci s . Pojďme definovat . Nechť je spinorové řešení splňující stacionární tvar nelineární Diracovy rovnice, ${\displaystyle D_{0}=-\mathrm {i} \alpha \cdot \nabla =-\mathrm {i} \sum _{i=1}^{n}\alpha ^{i}{\frac {\ částečný }{\částečný x^{i))))$ $g(s)$ $g(0)=0$ $G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt$ $\phi \in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N})$

\omega \phi =D_{0}\phi +g(\phi ^{\ast }\beta \phi )\beta \phi ,

pokud jde o distribuce , s některými . Pojďme to předstírat $\omega \in \mathbb {R}$

\phi \in H^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N}),\qquad G(\phi ^{\ast }\beta \phi ) \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}).

Pak uspokojuje $\phi$

\omega \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }\phi (x)\,dx={\frac {n-1}{n}} \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }D_{0}\phi (x)\,dx+\int _{\mathbb {R} ^{n}} G(\phi (x)^{\ast }\beta \phi (x))\,dx.

Viz také

Poznámky

↑ Pokhozhaev, S.I. O vlastních funkcích rovnice $\Delta u+\lambda f(u)=0$ // Dokl. Akad. Vědy SSSR. - 1965. - T. 165 . — S. 36–39 .
↑ Berestitsky, A. a Lyons, P.-L. (1983). "Nelineární rovnice skalárního pole, I. Existence základního stavu." Oblouk. Rational Mech. Anální. [ angličtina ] ]. 82 (4): 313-345. DOI : 10.1007/BF00250555 .
↑ Esteban M., Sere E. Stacionární stavy nelineární Diracovy rovnice: Variační přístup // Communications in Mathematical Physics. - 1995-08. — Sv. 171 , iss. 2 . — S. 323–350 . — ISSN 1432-0916 0010-3616, 1432-0916 . - doi : 10.1007/BF02099273 .
↑ Bussaid, N. a Komich, A. Nelineární Diracova rovnice. Spektrální stabilita osamělých vln: [ ang. ] . - Americká matematická společnost, 2019. - Sv. 244. - ISBN 978-1-4704-4395-5 . - doi : 10.1090/surv/244 .