Radiační tření

Radiační tření , radiační reakce , radiační tření , radiační brzdění - síla působící na nabitou bodovou částici (např. elektron ), z jejího vlastního elektromagnetického záření , způsobená nerovnoměrným pohybem této částice.

Teoretické zdůvodnění

Systém, který vysílá elektromagnetické vlny , není uzavřený . Neplatí pro něj zejména zákony zachování energie a hybnosti . Takový systém je disipativní (rozptyluje svou energii).

Radiační tření lze vypočítat zvážením interakce náboje a jím vytvořeného elektromagnetického pole ("samočinnost").

Při rigorózní formulaci problému je třeba vzít v úvahu kvantové efekty . Zejména pokus o výpočet radiačního tření částice, na kterou působí vnější síla, pomocí metod klasické fyziky vede k paradoxům.

Metody kvantové elektrodynamiky umožňují s téměř jakoukoliv přesností zohlednit radiační tření, a to nejen jeho disipativní část (způsobující rozšíření spektrálních čar ), ale i změnu vnějšího pole, ve kterém se částice pohybuje.

Lorentzova formule

Pro rychlosti, které jsou malé ve srovnání s rychlostí světla , platí Larmorův vzorec pro radiační sílu částice a radiační třecí síla je vyjádřena (v systému CGS ) vzorcem

{\vec {F}}={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}{\frac {d{\vec {a} }}{dt}},

kde q je náboj částice a a je její (okamžité) zrychlení. Tento vzorec poprvé odvodil Hendrik Lorenz [1] .

Pokud vyjádříme veličiny v soustavě SI , pak vzorec obsahuje další konstanty:

{\vec {F}}={\frac {q^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}{\frac {d{\vec {a}} }{dt}}.

Jedná se o poměrně vzácný případ, kdy vzorce zahrnují rychlost změny zrychlení (nebo třetí derivaci vektoru poloměru s ohledem na čas), někdy nazývané trhnutí .

Lorentz-Abraham-Diracův vzorec

Vzorec získaný Lorentzem platí pouze pro případ nerelativistické částice. Poprvé jeho zobecnění na relativistický případ získal M. Abraham v roce 1905 [2] .

Relativistický výraz pro radiační odporovou sílu lze získat z následujících úvah. Nejprve je třeba mít na paměti, že ve speciální teorii relativity je zobecněním pojmu síla tzv. 4-vektor síly , který z definice musí splňovat podmínku , kde je 4-rychlostní , je relativistický interval a je 4-vektor časové souřadnice. Zde a níže je použit relativistický formalismus, ve kterém je "vynechání" vektorového indexu dosaženo násobením metrickým tenzorem Minkowského prostoru , např.: ; opakovanými indexy je implikována sumace, například: . $g^{i}$ $g^{i}u_{i}=0$ $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}$ ${\displaystyle ds={\sqrt {dx^{i}dx_{i))))$ $x^{i}=(ct,x,y,z)$ $g_{ij}={\rm {diag}}(1,-1,-1,-1)$ ${\displaystyle u_{k}=u^{i}g_{ik))$ $i=0,1,2,3$ $g^{i}u_{i}=g^{0}u^{0}-g^{1}u^{1}-g^{2}u^{2}-g^{3 }u^{3}$

K určení 4-vektoru je třeba použít skutečnost, že jelikož rychlost tělesa má tendenci k nule, výraz pro musí dávat výraz pro klasický Lorentzův vzorec. Lze prokázat, že množství $g^{i}$ $g^{i}$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}

(LAD1)

kde je tzv. interval . Výraz ( LAD1 ) však nesplňuje podmínku . Aby byla tato podmínka splněna, je nutné doplnit výraz ( LAD1 ) ještě jedním členem, který by měl tendenci k nule, když rychlost částice směřuje k nule. Tuto vlastnost má zejména jakýkoli výraz ve tvaru , kde je skalár zvolen tak, aby byla splněna podmínka . Výsledkem je, že výraz pro sílu záření získaný Abrahamem má tvar: $s$ $g^{i}u_{i}=0$ $\alpha u^{i}$ $\alpha$ $g^{i}u_{i}=0$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+ {\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}u^{i}\right)

(LAD2)

kde se jako dříve předpokládá sumace přes opakovaný index . Vzorec ( LAD2 ) lze přepsat do jiné ekvivalentní formy [3] : $k$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}-(u^ {i}u^{k}){\frac {d^{2}u_{k}}{ds^{2}}}\right)

(LAD3)

P. A. M. Dirac v roce 1938 získal stejný vzorec z elementárnějších úvah [4] . Uvažoval o společném systému Maxwellových rovnic a výrazů pro Lorentzovu sílu působící na elektron. Přitom vzal v úvahu fakt, že elektron obecně řečeno generuje pole, která působí na elektron samotný. Pokud předpokládáme, že elektron má pro nás nějakou neznámou, ale konečnou velikost a hmotnost , a vyřešíme takový problém, vynecháme členy, které jsou mizející malé při malém , pak dostaneme následující rovnici pohybu elektronu ve vnějším poli, charakterizované tenzor : $A$ $m_{0}$ $A$ $F^{{ik}}$

(m_{0}+\delta m)c{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{ \frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+{\frac {du^{k}} {ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}u^{i}\right)

(LAD4)

kde a formálně diverguje (tj. inklinuje k nekonečnu), protože inklinuje k nule. Důležité však je, že jediný divergentní člen je úměrný zrychlení, což nám umožňuje provést jakousi klasickou renormalizační proceduru : protože množství a nelze od sebe v žádném z provedených experimentů odlišit, veličina, která má fyzikální význam a lze ji měřit, je jejich součet , který se rovná hmotnosti elektronů pozorované v experimentu. V tomto případě se veličina nazývá „holá“ hmotnost elektronu, tedy jeho hmotnost bez zohlednění hmotnosti elektromagnetického pole vytvořeného tímto elektronem. Vezmeme-li v úvahu poslední poznámku, z porovnání vzorců ( LAD2 ) a ( LAD4 ) je vidět, že Dirac získal stejný vzorec pro radiační tření jako Abraham (odpovědný je první člen na pravé straně výrazu ( LAD4 ) . pro obvyklou Lorentzovu sílu působící na elektron při vnějších polích). $\delta m=4e^{2}/3c^{2}a$ $A$ $m_{0}$ $\delta m$ $m=m_{0}+\delta m$ $m_{0}$

Podle jmen vědců, kteří přispěli k jejímu objevu, se rovnice ( LAD4 ) nazývá Lorentz-Abraham-Diracova rovnice.

Landau-Lifshitzova aproximace

Výchozím výrazem pro odvození přibližné relativistické rovnice pro radiační sílu je rovnice (LAD4) využívající plnou („oblečenou“) hmotnost na levé straně:

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{\frac {2e^{2}}{ 3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+{\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{ k}}{ds}}u^{i}\right).

(LL1)

Aproximace Landau - Lifshitz (LL) je založena na výrazu

{\frac {du^{i}}{ds}}\cca {\frac {e}{mc^{2}}}F^{ik}u_{k},

(LL2)

který se získá z (LL1) zanedbáním výrazu v závorkách, tj. bez zohlednění síly záření. Vztah (LL1) se používá k transformaci výrazu v závorkách a odstranění derivací rychlosti z výrazu pro sílu záření. Eliminace zrychlení pomocí (LL2) dává

{\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}\approx -{\frac {e^{2}}{m^{2}c ^{4}}}u_{j}F^{jk}F_{kl}u^{l}.

Nejprve vyjádříme druhou derivaci rychlosti pomocí první derivace výsledného zrychlení:

{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}\cca {\frac {d}{ds}}\left({\frac {e}{mc^ {2}}}F^{ik}u_{k}\right).

Dále se rychlost opět diferencuje pomocí (LL2) a pro derivaci tenzoru pole podél světové čáry částice použijeme výraz

{\frac {dF^{ik}}{ds}}={\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{ j}}}=u^{j}{\frac {\částečné F^{ik}}{\částečné x^{j}}},

co dává

{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}\cca {\frac {e}{mc^{2}}}u^{j}{\frac {\částečné F^{ik}}{\částečné x^{j}}}u_{k}+{\frac {e^{2}}{m^{2}c^{4}}}F^{ ik}F_{kl}u^{l}.

Nakonec získáme rovnici se silou záření LL ve tvaru

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{\frac {2e^{2}}{ 3c}}\left[{\frac {e}{mc^{2}}}u^{j}{\frac {\částečné F^{ik}}{\částečné x^{j}}}u_{k }+{\frac {e^{2}}{m^{2}c^{4}}}\left(F^{ik}-u^{i}u_{j}F^{jk}\right )F_{kl}u^{l}\right].

(LL3)

Vlastnosti LL aproximace

Rovnice (LL3) je soustava skalárních rovnic pro energii a tři složky hybnosti, které nejsou nezávislé kvůli relativistickému vztahu . Odlišení posledního vztahu vzhledem k ds dává nezbytnou podmínku pro ortogonalitu relativistické síly k rychlosti: . Po vynásobení (LL3) prvním členem na pravé straně a prvním členem v hranatých závorkách zmizí kvůli asymetrii tenzoru pole , a členy v závorkách se navzájem vyruší. I když tedy byly při odvození rovnice (LL3) použity přibližné vztahy, je přesně zachován požadavek, aby relativistická síla byla kolmá k rychlosti. $4=1+3$ $u_{i}u^{i}\equiv 1$ $u_{i}{\frac {du^{i}}{ds}}=0$ $u_{i}$ $u_{i}F^{ik}u_{k}\equiv 0$

Výhodou LL aproximace je možnost numerické integrace pohybových rovnic, protože výraz pro 3-rozměrnou sílu, i když je extrémně těžkopádný a závisí na prostorových a časových derivacích polí a na rychlosti částic, je přesto explicitní a nezávisí na derivacích rychlosti.

Sokolovova aproximace

Viz také

Jehněčí posun

Poznámky

↑ H.A. Lorentz . Teorie elektronů. — Lipsko: Teubner, 1909.
↑ M. Abraham . Theorie der Elektrizitat. — Lipsko: Teubner, 1905.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 8. vydání, stereotypní. - M .: Fizmatlit , 2006. - S. 285. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
↑ Dirac, PAM // Proc. R. Soc. Londýn. A. - 1938. - Sv. 167. - S. 148.

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 8. vydání, stereotypní. - M .: Fizmatlit , 2006. - S. 279-288. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
Eric Poisson. Úvod do Lorentz-Diracovy rovnice // arXiv.org . — 1999.
Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Gérard A. Mourou a Victor P. Yanovsky. Dynamika emitování elektronů v silných laserových polích // Phys . Plazma . - 2009. - Sv. 16 . — S. 093115 . ( arXiv : 0904.0405 )
I. V. Sokolov. Renormalizace Lorentz-Abraham-Diracovy rovnice pro sílu záření v klasické elektrodynamice // ZhETF . - 2009. - T. 136 , č.p. 2 . - S. 247 . ( arXiv : 0906.1150 )
Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Victor P. Yanovsky a Gérard A. Mourou . Zpětná reakce záření v relativisticky silných a QED-silných pulzních laserových polích // AIP Conf . Proč. . - 2010. - Sv. 1228 , iss. 1 . - str. 305-322 . ( arXiv : 0910.4268 )
D. B. Zoťev , Kritické poznámky k Sokolovově rovnici dynamiky vyzařujícího elektronu // Phys. Plazma . - 2016. - Sv. 23. - č. 9, http://dx.doi.org/10.1063/1.4962692 . Překlad do ruštiny: http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2016/06/Sokolov_LAD_Russian.pdf