Pohybová rovnice v neinerciální vztažné soustavě

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 31. ledna 2020; kontroly vyžadují 12 úprav .

Pohybové rovnice v neinerciální vztažné soustavě jsou pohybové rovnice hmotného bodu (1) v poli konzervativních sil v klasické mechanice , zapsané v neinerciální vztažné soustavě (NFR) pohybující se vzhledem k inerciální soustava (ISR) s rychlostí translačního pohybu a úhlovou rychlostí rotačního pohybu . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

V ISO má Lagrangeova pohybová rovnice tvar [1] [2] :

m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )),

v NSO rovnice získává čtyři další členy (takzvané " eulerovské síly setrvačnosti ") [3] :

m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}-m{\frac {d\mathbf {V } }{dt))+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\ mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],

(jeden)

kde:

tučné písmo označuje vektorové veličiny, hranaté závorky - vektorové násobení ;
index odkazuje na hodnoty v ISO; $_{0}$
$t$ - čas;
$m$ je hmotnost bodu;
$\mathbf{v}$ je vektor rychlosti bodu;
$\mathbf {r}$ je vektor poloměru bodu;
$U$ - potenciální energie .

Odvození vzorce

Jakýkoli pohyb lze rozložit na kompozici pohybů translačních a rotačních [4] . Přechod z IFR K 0 na NSO K lze proto uvažovat ve formě dvou po sobě jdoucích kroků: za prvé, přechod z K 0 do středního referenčního rámce K' , který se pohybuje vpřed vzhledem k K 0 rychlostí , a pak ke K , který se otáčí vzhledem k K' s úhlovou rychlostí . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

Princip nejmenší akce nezávisí na souřadnicovém systému, spolu s ním jsou také Lagrangeovy rovnice použitelné v libovolném souřadnicovém systému.

Lagrangian v K' ,

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,

(2)

se získá dosazením translační transformace rychlosti částice do Lagrangianu zapsaného v ISO [5] : $\mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V}$

L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.

Výrazy pro IFR i NFR popisují vývoj částice v odpovídajících vztažných soustavách – zákon zachování energie .

Jak je známo, termíny, které jsou derivacemi celkového času některých funkcí, mohou být z Lagrangianu vyloučeny, protože neovlivňují pohybové rovnice (viz Lagrangeova mechanika ). Ve vzorci (2) je funkce času, a tedy celková derivace jiné funkce času, lze odpovídající člen vynechat. od , ${\displaystyle \mathbf {V} ^{2))$ $\mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt))$

m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt))={\frac {d}{dt))( m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',

kde celkovou časovou derivaci lze opět vynechat. V důsledku toho se Lagrangian (2) promění v $m\mathbf {V} \mathbf {r} '$

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} '- U.

(3)

Při pohybu z K' do K (čistá rotace) se rychlost mění o . Při dosazení do rovnice (3) vznikne Lagrangián v K (s přihlédnutím k tomu, že ): $[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} '$

L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+{\frac {m }{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.

Celkový diferenciál tohoto Lagrangianu vypadá takto:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} } {dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r}

Použitím Lagrangeova vzorce a změnou pořadí operací ve smíšeném součinu vektorů lze Lagrangeův diferenciál přepsat jako:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{ dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .

Částečné deriváty Lagrangianu s ohledem na a v tomto pořadí budou: $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ],

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r } ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )).

Po dosazení parciálních derivací do standardní pohybové rovnice v Eulerově-Lagrangeově tvaru

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }} ,

se získá vzorec (1).

Fyzický význam

Vektorová rovnice (1) popisuje pohyb hmotného bodu v neinerciální vztažné soustavě (NRS), pohybující se vzhledem k inerciální soustavě (ISR) s translační rychlostí a úhlovou rychlostí rotačního pohybu . V tomto případě je vnější síla působící na těleso, která zajišťuje translační pohyb, nahrazena potenciálním polem , ve kterém působí konzervativní síly . [6]

Pohyb NFR vzhledem k IFR se zároveň nazývá přenosný, v důsledku čehož se také rychlosti, zrychlení a síly spojené s NFR nazývají přenosné. [7] [8]

Výraz je výsledný vektor součtu sil na pravé straně rovnice (1) [9] . $m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))$

Parciální derivace potenciální energie částice ve vnějším poli podél poloměru-vektoru "bodu působení" sil určuje součet všech sil působících z vnějších zdrojů [9] , $U$ $\mathbf {r}$

-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}

Výraz pro přenosnou sílu působící v rovnoměrném silovém poli, které je zase způsobeno zrychleným translačním pohybem systému, má tvar

m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))

kde je zrychlení translačního pohybu vztažné soustavy [9] . ${\frac {d\mathbf {V} }{dt))$ $K'$

"Síly setrvačnosti" v rovnici (1) způsobené rotací vztažné soustavy se skládají ze tří částí.

První částí je přenosná síla spojená s nerovnoměrným otáčením referenční soustavy [9] :

m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]

Druhá část

2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]

je vyjádřením Coriolisovy síly . Na rozdíl od téměř všech nedisipativních sil uvažovaných v klasické mechanice závisí její hodnota na rychlosti částice [9] .

Třetí část představuje přenosná odstředivá síla

m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]]

Leží v rovině procházející a , a je nasměrován kolmo k ose rotace HCO (tj. směr ), pryč od osy. Velikost odstředivé síly je , kde je vzdálenost částice k ose rotace. [9] $\mathbf {r}$ $\mathbf {\Omega }$ $\mathbf {\Omega }$ ${\displaystyle m\rho \Omega ^{2))$ $\rho$

Poznámky

↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 163.
↑ Derivace skalární veličiny vzhledem k vektoru zde a níže je chápána jako vektor, jehož složky jsou derivacemi této skalární veličiny vzhledem k odpovídajícím složkám vektoru.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 165.
↑ Arnold, 1979 , str. 107.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 164.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Pohyb tuhého tělesa. //T. I. Mechanika. Teoretická fyzika. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 166-168. — 222 s. — ISBN 5-9221-0055-6.
↑ Targ S. M. Krátký kurz teoretické mechaniky. - 20.- Moskva "Vyšší škola", 2010, - S. 156 - 416 s. ISBN 978-5-06-006193-2
↑ Nikolaev V.I. Síly setrvačnosti v obecném kurzu fyziky.—"Tělesná výchova na univerzitách", v.6, N 2, 2000. - ISSN 1609-3143 (tištěné), 1607-2340 (on-line).
↑ 1 2 3 4 5 6 Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Pohyb tuhého tělesa. //T. I. Mechanika. Teoretická fyzika. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 168. - 222 s. — ISBN 5-9221-0055-6.

Literatura

L. D. Landau, E. M. Lifshits. § 39. Pohyb v neinerciální vztažné soustavě // Teoretická fyzika . - M. : Nauka, 1988. - T. I. Mechanika. - S. 163-167. — 216 s. — ISBN 5-02-013850-9 . (Ruština)
V. I. Arnold. § 26. Pohyb v pohyblivém souřadném systému // Matematické metody klasické mechaniky . - M .: Nauka, 1979. - S. 106-110. — 432 s. (Ruština)

mechanický pohyb
referenční systém	inerciální vztažná soustava Neinerciální vztažná soustava Složený pohyb Princip relativity
Materiální bod	Jednotný pohyb Přímočarý pohyb Pohybová rovnice Pohybové rovnice v neinerciální vztažné soustavě Trajektorie (cesta) pohybující se Rychlost Zrychlení ( centripetální zrychlení tečné zrychlení ) pomlčka
Fyzické tělo	translační pohyb Rovinně-paralelní pohyb ( paralelní překlad ) Kulový pohyb ( Rotační pohyb Kruhový pohyb Precese nutace )
kontinuum	laminární proudění turbulentní proudění
Související pojmy	Plán rychlosti Trakce vlaku Šest stupňů volnosti