Funkční rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Funkční rovnice je rovnice , která vyjadřuje vztah mezi hodnotou funkce v jednom bodě a jejími hodnotami v jiných bodech. Mnoho vlastností funkcí lze určit zkoumáním funkčních rovnic, které tyto funkce splňují. Termín "funkční rovnice" se běžně používá pro rovnice, které nelze jednoduchými způsoby převést na algebraické rovnice . Tato neredukovatelnost je nejčastěji způsobena tím, že argumenty neznámé funkce v rovnici nejsou samotné nezávislé proměnné, ale některá data funkce z nich.

Příklady

Funkční rovnice:

f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f( 1-s)

kde je Eulerova gama funkce , splňuje Riemannovu zeta funkci . $\Gamma(z)$ $\zeta$

Funkce gama je jediným řešením tohoto systému tří rovnic:

{\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x))

f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2^{{2y-1}}}}f( 2 roky)

{\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)))

( Eulerův vzorec doplňku )

Funkční rovnice:

f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)

kde jsou celá čísla splňující rovnost , tedy: $abeceda$ $ad-bc=1$

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1

definuje jako modulární formu objednávky . $F$ $k$

Cauchyho funkcionální rovnice:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ — splňovat všechny lineární homogenní funkce , $f(x)=ax$
$f(x+y)=f(x)f(y)$ — splnit všechny exponenciální funkce , ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x))$
$f(xy)=f(x)+f(y)$ — splňovat všechny logaritmické funkce , $f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$
$f(xy)=f(x)f(y)$ — splňují všechny funkce napájení . ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a))$

Cauchyho funkcionální rovnice jsou redukovány na sebe. Rovnice se tedy po záměně zredukuje na rovnici (k tomu je samozřejmě nutné, aby nebyla shodně nulová). Ve třídě spojitých funkcí a ve třídě monotónních funkcí jsou uvedená řešení jediná, kromě degenerovaného řešení . V širších třídách funkcí jsou však možná velmi exotická řešení, viz článek „Hamelův základ“ . $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ $g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$ $g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$ $f(x)$ $f(x) \ekviv 0$

Jiný:

$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]$ je kvadratická rovnice nebo rovnoběžníková identita , splňuje , ${\displaystyle f(x)=kx^{2))$
$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ je Jensenova rovnice, splňující všechny lineární funkce , $f(x)=ax+b$
${\displaystyle f(x+y)f(xy)=f(x)^{2))$ je Lobačevského rovnice (verze Jensenovy rovnice), splňuje , ${\displaystyle f(x)=ac^{x))$
$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)f(y)]$ je d'Alembertova rovnice,
$f(h(x))=f(x)+1$ — Abelova rovnice ,
$f(h(x))=cf(x)$ je Schroederova rovnice , řešením je Koenigsova funkce spojená s funkcí . $\textstyle h(x)$

Opakující se vztahy

Zvláštním typem funkcionálních rovnic je rekurzivní vztah obsahující neznámou funkci celých čísel a operátor posunu .

Lineární rekurentní vztahy:

a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(ni)

(kde jsou konstanty nezávislé na ) mají teorii analogickou k teorii lineárních diferenciálních rovnic. Například pro lineární rekurentní vztah: ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k))$ $n$

a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)

stačí najít dvě lineárně nezávislá řešení, všechna ostatní řešení budou jejich lineárními kombinacemi.

Pro nalezení těchto řešení je nutné dosadit do rekurence recidivy testovací funkci s neurčitým parametrem a pokusit se najít ty, pro které bude tento rekurentní vztah splněn. Pro daný příklad získáme kvadratickou rovnici se dvěma různými kořeny , a proto obecným řešením tohoto rekurentního vztahu bude vzorec (konstanty a jsou zvoleny tak, aby pro a vzorec udával požadované hodnoty pro množství a ). V případě více kořenů polynomu slouží funkce a tak dále jako další zkušební řešení . ${\displaystyle a(n)=\lambda ^{n))$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda ^{2}=3\lambda +4$ $\lambda =-1$ $\lambda =4;$ ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n))$ $d_{1}$ $d_{2}$ $n=1$ $n=2$ $a(1)$ $a(2)$ $n\lambda ^{n},$ $n^{2}\lambda ^{n}$

Jedním ze známých rekurentních vztahů je , který definuje Fibonacciho posloupnost . $a(n)=a(n-1)+a(n-2)$

Řešení funkcionálních rovnic

Existuje několik obecných metod řešení funkcionálních rovnic.

Zejména může být užitečné aplikovat koncept involuce , tj. použití vlastností funkcí, pro které ; nejjednodušší involuce: $f(f(x)) = x$

f(x) = -x

, , , .

f(x)={\frac {1}{x}}

f(x)={\frac {1}{1-x}}+1

f(x)=1-x

Příklad . Chcete-li vyřešit rovnici:

{\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2))

pro všechny a , dáme : . Potom a . Dále vložení : $x,y\in \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} \to R$ $x=y=0$ $f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}$ $f(0)^{2}=0$ $f(0)=0$ $y=-x$

{\displaystyle f(xx)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

Druhá mocnina reálného čísla je nezáporná a součet nezáporných čísel je roven nule právě tehdy, když jsou obě čísla rovna 0. Proto je pro všechny a jediným řešením této rovnice. $f(x)^{2}=0$ $X$ $f(x)\equiv 0$

Literatura

Golovinskiy IA Raná historie analytických iterací a funkcionálních rovnic. // Historický a matematický výzkum. Moskva: Nauka, sv. XXV, 1980, str. 25-51.
Kuczma M. Na funkcionální rovnici φn(x) = g(x). Ann. Polon. Matematika. 11 (1961) 161-175 .
Kuczma M. Úvod do teorie funkcionálních rovnic a nerovnic. Warszawa-Krakow-Katowice: Polish Scientific Publishers & Slezská univerzita, 1985.
Likhtarnikov LM Elementární úvod do funkcionálních rovnic. Petrohrad: Lan, 1997.

Odkazy

Funkční rovnice: Přesná řešení na EqWorld: Svět matematických rovnic.
Funkční rovnice: Index na EqWorld: Svět matematických rovnic.
Text IMO Compendium o funkcionálních rovnicích při řešení problémů.