Celá část

V matematice je celá část reálného čísla zaokrouhlena dolů na nejbližší celé číslo . Celočíselná část čísla se také nazývá antier ( francouzsky entier ) nebo podlaha ( anglicky floor ). Spolu s podlahou existuje párová funkce - strop ( anglicky strop ) - zaokrouhlení nahoru na nejbližší celé číslo. $X$ $X$ $X$

Notace a příklady

Poprvé byly hranaté závorky ( ) k označení celé části čísla použity Gaussem v roce 1808 ve svém důkazu zákona kvadratické reciprocity [1] . Tento zápis byl považován za standardní [2] , dokud Kenneth Iverson ve své knize A Programming Language publikované v roce 1962 nenavrhl [3] [4] [5] zaokrouhlení čísla na nejbližší celé číslo nahoru a dolů, aby se volal „podlaha“ a „ strop“ a označují resp . $[X]$ $X$ $X$ $X$ $\lpatro x\rpatro$ $\lceil x\rceil$

Moderní matematika používá oba zápisy [6] , a , ale stále více se používá převážně Iversonova terminologie a zápis: jedním z důvodů je, že pro záporná čísla je již pojem „celočíselná část čísla“ nejednoznačný [5] . Například celočíselná část čísla 2,7 se rovná 2, ale jsou již možné dva pohledy na to, jak určit celočíselnou část čísla −2,7: podle definice uvedené v tomto článku však v některých kalkulačkách funkce celočíselné části INT pro záporná čísla je definována jako INT(– x ) = –INT( x ), tedy INT(–2,7) = −2. Iversonova terminologie postrádá tyto nedostatky: $[X]$ $\lpatro x\rpatro$ $[x]\ekviv \lpodlaží x\rpodlaží =-3$

{\begin{matrix}\lpatro 2{,}7\rpatro =2,&\lpatro -2{,}7\rpatro =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3, &\lceil -2{,}7\rceil =-2.\end{matrix}}

Definice

Funkce "pohlaví" je definována jako největší celé číslo menší nebo rovné: $\lpatro \cdot \rpatro \colon x\mapsto \lpatro x\rpatro$ $X$

\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}.

Funkce stropu je nejmenší celé číslo větší nebo rovno : $\lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil$ $X$

\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.

Tyto definice jsou ekvivalentní následujícím nerovnostem (kde n je celé číslo): [7]

{\begin{matice}\lpodlaží x\rpodlaží =n&\šipka doleva doprava &n\šipka doleva x<n+1&\šipka doleva doprava &x-1<n\na doleva x,\\\lceil x\rceil =n&\šipka doleva &n- 1<x\leqslant n&\Dlouhá šipka doleva &x\leqslant n<x+1.\end{matrix}}

Vlastnosti

V níže napsaných vzorcích písmena a označují reálná čísla a písmena a označují celá čísla . $X$ $y$ $n$ $m$

Podlaha a strop jako funkce reálné proměnné

Funkce podlahy a stropu mapují sadu reálných čísel na sadu celých čísel:

\lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {Z}},\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon {\mathbb {R}} \to {\mathbb {Z)),\quad

Podlaha a strop jsou po částech konstantní funkce .

Funkce podlahy a stropu jsou nespojité : ve všech celočíselných bodech trpí nespojitostmi prvního druhu se skokem rovným jedné.

V tomto případě je funkce podlahy:

Funkce stropu je:

Vztah mezi funkcemi podlahy a stropu

Pro libovolné číslo platí následující nerovnost [8] $X$

\lpodlaží x\rpodlaží \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil

Pro celou podlahu a strop jsou stejné: $X$

\lpodlaží x\rpodlaží =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in {\mathbb {Z))\quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x

Pokud to není celé číslo, pak je hodnota stropní funkce o jednu větší než hodnota podlahové funkce: $X$

\lceil x\rceil -\lpodlaží x\rpodlaží ={\begin{cases}1,&x\notin {\mathbb {Z}}\\0,&x\in {\mathbb {Z}}\end{cases}}

Funkce podlahy a stropu jsou vzájemně odrazy z obou os:

\lpodlaží -x\rpodlaží =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lpatro x\rpatro

Podlaha/strop: nerovnosti

Jakákoli nerovnost mezi skutečnými a celými čísly je ekvivalentní nerovnosti dna a stropu mezi celými čísly [7] :

{\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil x \rceil &\qquad x<n&\Dlouhá šipka doleva &\lpatro x\rpatro <n\end{matice}}

Dvě horní nerovnosti jsou přímým důsledkem definic podlahy a stropu a dvě spodní jsou převrácením horních .

Funkce podlahy/stropu jsou monotónně rostoucí funkce:

x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil

Podlaha/strop: doplnění

Lze zavést celočíselný člen/podlaha/strop [9] :

\lpodlaží x+n\rpodlaží =\lpodlaží x\rpodlaží +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n

Předchozí rovnosti, obecně řečeno, neplatí, pokud jsou oba členy reálná čísla. V tomto případě však platí následující nerovnosti:

\lpodlaží x\rpodlaží +\lpodlaží y\rpodlaží \leqslant \lpatro x+y\rpatro \leqslant \lpodlaží x\rpodlaží +\lpodlaží y\rpodlaží +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil - 1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil

Podlaha/strop pod funkčním znakem

Platí následující návrh: [10]

Nechť je spojitá monotónně rostoucí funkce definovaná na nějakém intervalu , která má vlastnost: $f(x)$

f(x)\in {\mathbb {Z}}\Šipka doprava x\in {\mathbb {Z}}

Pak

\lpodlaží f(x)\rpodlaží =\lpodlaží f(\lpodlaží x\rpodlaží )\rpodlaží ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil

kdykoli je definováno . $f(x),f(\lpatro x\rpatro),f(\lceil x\rceil )$

Zejména,

\left\lpatro {\frac {x+m}{n}}\right\rpatro =\left\lpatro {\frac {\left\lpatro x\vpravo\rpatro +m}{n}}\prave\rpatro , \quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\ rceil

jestliže a jsou celá čísla a . $m$ $n$ $n>0$

Podlaha/strop: součty

Jestliže jsou celá čísla, , pak [11] $m,n$ $m>0$

n=\levá\lpatro {\frac {n}{m}}\pravá\rpatro +\levá\lpatro {\frac {n+1}{m}}\pravá\rpatro +\tečky +\levá\lpatro { \frac {n+m-1}{m}}\pravé\rpodlaží

Obecně, jestliže je libovolné reálné číslo a je kladné celé číslo, pak $X$ $m$

\lpatro mx\rpatro =\left\lpatro x\prave\rpatro +\left\lpatro x+{\frac {1}{m))\prave\rpatro +\tecky +\left\lpatro x+{\frac {m- 1}{m}}\pravé\rpodlaží

Existuje obecnější vztah [12] :

\sum _{{0\leqslant k<m}}\left\lpatro {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lpatro {\frac {x}{d}}\ pravé\rpodlaží +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)

Protože pravá strana této rovnosti je symetrická vzhledem k a , pak platí následující zákon reciprocity : $m$ $n$

\sum _{{0\leqslant k<m}}\left\lpatro {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum _{{0\leqslant k<n}}\left\ lpodlaží {\frac {mk+x}{n}}\pravé\rpodlaží ,\quad m,n>0

Rozložitelnost v sérii

Triviálním způsobem je funkce antier rozšířena do řady pomocí funkce Heaviside :

[x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (xn)-\theta (xn-1)\right),

kde každý člen řady vytváří charakteristické " kroky " funkce. Tato řada absolutně konverguje , avšak chybná transformace jejích členů může vést ke "zjednodušené" řadě

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(xn\right),

která se rozchází .

Aplikace

Celočíselné funkce podlahy/stropu nacházejí široké uplatnění v diskrétní matematice a teorii čísel . Níže uvádíme několik příkladů použití těchto funkcí.

Počet číslic v čísle

Počet číslic v zápisu kladného celého čísla v poziční číselné soustavě se základem b je [13]

\lpatro \log _{{b}}n\rpatro +1

Zaokrouhlení

Nejbližší celé číslo k celému číslu lze určit pomocí vzorce $X$

(x)=\lpatro x+0{,}5\rpatro

Binární operace mod

Operaci modulo zbytek, označovanou , lze definovat pomocí funkce podlahy následovně. Jestliže jsou libovolná reálná čísla a , pak neúplný podíl dělení je $x{\bmod {y))$ $x, y$ $y\neq 0$ $X$ $y$

\lpodlaží x/y\rpodlaží

a zbytek

x\,{\bmod \,}y=xy\lpodlaží x/y\rpodlaží

Zlomková část

Zlomková část reálného čísla je podle definice rovna $X$

\{x\}=x\,{\bmod \,}1=x-\lpatro x\rpatro

Počet celočíselných intervalových bodů

Je nutné najít počet celočíselných bodů v uzavřeném intervalu s konci a , tedy počet celých čísel , která vyhoví nerovnosti $\alpha$ $\beta$ $n$

\alpha \leqslant n\leqslant \beta

Vzhledem k vlastnostem podlahy/stropu je tato nerovnost ekvivalentní

\lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor

Toto je počet bodů v uzavřeném intervalu s konci a rovným . $\lceil \alpha \rceil$ $\lpodlaží \beta \rpodlaha$ $\lpodlaží \beta \rpodlaží -\lceil \alpha \rceil +1$

Podobně můžete počítat počet celočíselných bodů v jiných typech mezer . Shrnutí výsledků je uvedeno níže [14] .

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lpatro \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lpodlaží \beta \rpodlaží -\lpodlaží \alpha \rpodlaží

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lpatro \alpha \rpatro -1

( Kardinalita množiny je označena ) $\#M$ $M$ .

První tři výsledky jsou platné pro všechny a čtvrtý platí pouze pro . $\alpha \leqslant \beta$ $\alpha <\beta$

Rayleighova věta o spektru

Nechť a být kladná iracionální čísla související vztahem [15] $\alpha$ $\beta$

{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.

Pak v řadě čísel

\lpatro \alpha \rfloor ,\lpatro \beta \rfloor ,\lpatro 2\alpha \rfloor ,\lpatro 2\beta \rfloor ,\ldots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\lfloor m\beta \rfloor ,\ ldots

každý přirozený se vyskytuje právě jednou. Jinými slovy, sekvence $n\in \mathbb {N}$

\{m\alpha \mid m\in {\mathbb {N}}\}

a ,

\{m\beta \mid m\in {\mathbb {N}}\}

nazvané Beatty sekvence , tvoří oddíl přirozené série. [16]

V informatice

V programovacích jazycích

Mnoho programovacích jazyků má vestavěné funkce podlahy/stropu floor(), ceil() .

V dispozičních systémech

TeX (a LaTeX ) má speciální příkazy pro symboly podlahy/stropu , , , \lfloor , \rfloor , \lceil , \rceil . Protože wiki používá pro psaní matematických vzorců LaTeX, jsou tyto příkazy použity také v tomto článku. $\lpodlaha$ $\rpodlaha$ $\lceil$ $\rceil$

Poznámky

↑ Lemmermeyer, str. 10, 23.
↑ Gaussův zápis používaný Casselsem, Hardym & Wrightem a Ribenboimem. Graham, Knuth & Patashnik a Crandall & Pomerance použili Iversonův zápis.
↑ Iverson, str. 12.
↑ Highham, s. 25.
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - S. 88.
↑ Weisstein, Eric W. Floor Function na webu Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - S. 90.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - S. 89.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - S. 90-91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - S. 93.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - S. 108.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. — S. 112-117.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - S. 91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - S. 95-96.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. — S. 99-100.
↑ A. Baababov. "Pentium" je dobré, ale mysl je lepší // Kvant . - 1999. - č. 4 . - S. 36-38 .

Viz také

Literatura

R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrétní matematika. - M .: "Mir", 1998. - 703 s. — ISBN 5-03-001793-3 .
M. K. Potapov, V. V. Alexandrov, P. I. Pasichenko. Algebra a počátky analýzy. - AO Century, 1996.