Číslo s plovoucí desetinnou čárkou

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. ledna 2022; kontroly vyžadují 10 úprav .

Číslo s plovoucí desetinnou čárkou (neboli číslo s pohyblivou řádovou čárkou ) je exponenciální forma reprezentace reálných (reálných) čísel , ve které je číslo uloženo jako mantisa a exponent ( exponent ). V tomto případě má číslo s pohyblivou řádovou čárkou pevnou relativní přesnost a proměnnou absolutní. Nejčastěji používaná reprezentace je uvedena ve standardu IEEE 754 . Implementace matematických operací s čísly s pohyblivou řádovou čárkou ve výpočetních systémech může být hardwarová i softwarová.

"Plovoucí řádová čárka" a "plovoucí řádová čárka"

Vzhledem k tomu, že v některých, převážně anglicky mluvících a anglicky mluvících zemích se při psaní čísel odděluje celočíselná část od zlomkové čárky, objevuje se v terminologii těchto zemí termín „floating point“ . Vzhledem k tomu, že v Rusku je celočíselná část čísla tradičně oddělena od zlomkové části čárkou, termín „plovoucí desetinná čárka“ se historicky používá k označení stejného konceptu, avšak v současnosti lze obě možnosti nalézt v ruštině. literaturu a technickou dokumentaci.

Původ jména

Název "plovoucí desetinná čárka" pochází ze skutečnosti, že čárku v poziční reprezentaci čísla (desetinná čárka, nebo pro počítače binární čárka - dále jen čárka) lze umístit kdekoli vzhledem k číslicím v řetězci. Tato pozice čárky je specifikována samostatně v interní reprezentaci. Na reprezentaci čísla ve formě s pohyblivou řádovou čárkou lze tedy pohlížet jako na počítačovou implementaci exponenciálního zápisu čísel.

Výhodou použití reprezentace čísel s plovoucí desetinnou čárkou oproti reprezentaci s pevnou desetinnou čárkou (a celým číslem ) je, že lze použít mnohem větší rozsah hodnot při zachování stejné relativní přesnosti . Například ve formě pevné čárky může být číslo, které má 6 celých číslic a 2 desetinná místa, reprezentováno jako 123 456,78 . Ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou ve stejných 8 číslicích můžete zapsat čísla 1,2345678 ; 1,234,567,8 ; 0,000012345678 ; 12 345 678 000 000 000 a tak dále, ale k tomu je nutné mít další dvoumístné pole pro záznam exponentů základu 10 od 0 do 16, přičemž celkový počet číslic bude 8 + 2 = 10 .

Rychlost, s jakou počítač provádí operace s čísly reprezentovanými v plovoucí řádové čárce, se měří v FLOPS (z anglického floating-point operations per second - „[počet] operací s plovoucí desetinnou čárkou za sekundu“) a je jednou z hlavních jednotky pro měření rychlosti výpočetních systémů .

Struktura čísel

Číslo s plovoucí desetinnou čárkou se skládá z následujících částí:

znaménko mantisy (označuje, zda je číslo záporné nebo kladné),
mantisa (vyjadřuje hodnotu čísla bez ohledu na pořadí ),
objednací znak,
řádu (vyjadřuje stupeň základu čísla, kterým se mantisa násobí).

Normální a normalizované formy

Normální forma čísla s plovoucí desetinnou čárkou je taková forma, ve které je mantisa (bez zohlednění znaménka) na polovičním intervalu , tedy . $[0,1)$ $0\leq a<1$

Tato forma zápisu má nevýhodu: některá čísla jsou psána nejednoznačně (například 0,0001 lze zapsat jako 0,000001⋅10 2 , 0,00001⋅10 1 , 0,0001⋅ 10 0 , 0,001⋅20 a −10 −10 −1 na), proto je běžná i jiná forma zápisu (zejména v informatice) - normalizovaná , ve které mantisa desetinného čísla nabývá hodnot od 1 (včetně) do 10 (výhradně), tedy (podobně jako mantisa binárního čísla nabývá hodnot od 1 do 2). V tomto tvaru se jakékoli číslo (kromě ) zapisuje jedinečným způsobem. Nevýhodou je, že v této podobě nelze reprezentovat 0, takže reprezentace čísel v informatice poskytuje pro číslo 0 speciální znaménko ( bit ). $1\leq a<10$ $0$

Nejvyšší bit (celočíselná část čísla) mantisy binárního čísla (kromě 0) v normalizovaném tvaru je roven 1 (tzv. implicitní jednotka ), proto při zápisu mantisy čísla v počítač, lze vysoký bit vynechat, který se používá ve standardu IEEE 754 . V pozičních číselných soustavách se základem větším než 2 (v ternárních , kvartérních atd.) tato vlastnost neexistuje.

Metody záznamu

S omezenými možnostmi návrhu (například zobrazením čísla na sedmisegmentovém indikátoru ) a také v případě potřeby poskytují rychlé a pohodlné zadávání čísel místo psaní tvaru m b e ( m je mantisa; b je základ , nejčastěji 10; e je exponent), zapište pouze mantisu a exponent a oddělte je písmenem "E" (z anglického exponent ). V tomto případě se implicitně předpokládá, že základ je roven 10. Například číslo 1,528535047⋅10 −25 je v tomto případě zapsáno jako 1,528535047E-25.

Přehled

Existuje několik způsobů, jak mohou řetězce číslic reprezentovat čísla:

Nejběžnějším způsobem, jak vyjádřit hodnotu čísla z řetězce číslic, je celé číslo – výchozí radixový bod je na konci řetězce.
V obecné matematické reprezentaci může být řetězec čísel libovolně dlouhý a pozice čárky je označena výslovným napsáním znaku čárky (nebo tečky) na správném místě.
V systémech s pevnou čárkou existuje určitá podmínka týkající se polohy čárky. Například v řetězci 8 číslic může podmínka vyžadovat umístění čárky uprostřed položky (mezi 4. a 5. číslicí). Řetězec "00012345" tedy znamená číslo 1,2345 (nuly vlevo lze vždy zahodit).
Exponenciální zápis používá standardní ( normalizovanou ) reprezentaci čísel. Číslo se považuje za zapsané ve standardní (normalizované) formě, pokud je zapsáno ve tvaru , kde , nazývané mantisa, takže , je celé číslo, nazývá se exponent a je celé číslo, základ číselné soustavy. (písemně je to obvykle 10). To znamená, že v mantise se čárka umístí hned za první významnou (ne nulovou) číslici, počítá se zleva doprava a další záznam poskytuje informaci o skutečné hodnotě čísla. Například oběžná doba (na oběžné dráze) Jupiterova měsíce Io , která je 152 853,5047 s , může být ve standardním tvaru zapsána jako 1,528535047⋅10 5 s . Vedlejším účinkem omezení hodnot mantisy je, že v takovém zápisu není možné reprezentovat číslo 0. $aq^{n}$ $A$ $1\leq a<q$ $n$ $q$
Zápis s plovoucí desetinnou čárkou je podobný standardnímu zápisu, ale mantisa a exponent se zapisují samostatně. Mantisa je psána v normalizovaném formátu - s pevnou tečkou za první významnou číslicí. Vrátíme-li se k příkladu Io, zápis s plovoucí desetinnou čárkou by měl mantisu 1,528535047 a exponent 5. To znamená, že míněné číslo je 10 5 krát číslo 1,528535047, takže desetinná čárka je posunuta o 5, aby se získal implikovaný počet číslic. doprava. Zápis s plovoucí desetinnou čárkou se však používá především v elektronické reprezentaci čísel, která používá základ 2 spíše než 10. Také v binárním zápisu je mantisa obvykle denormalizována, což znamená, že čárka je implikována před první číslicí, nikoli za ní, a celočíselná část není myšlena vůbec - tímto způsobem je možné zachovat hodnotu 0 přirozeným způsobem. Desetinná 9 v binární reprezentaci s pohyblivou řádovou čárkou bude tedy zapsána jako mantisa +1001000…0 a exponent +0…0100. Z toho plynou například potíže s binární reprezentací čísel jako jedna desetina (0,1), pro kterou se binární reprezentace mantisy ukazuje jako periodický binární zlomek - analogicky s 1/3, kterou nelze zapsat konečný počet číslic v desítkové číselné soustavě.

Zápis čísla ve formě s plovoucí desetinnou čárkou umožňuje provádět výpočty v širokém rozsahu hodnot, přičemž kombinuje pevný počet číslic a přesnost. Například v desítkové reprezentaci čísel s plovoucí desetinnou čárkou (3 číslice) operace násobení, kterou bychom napsali jako

0,12 × 0,12 = 0,0144

v normální formě je reprezentován jako

(1,20⋅10 −1 ) × (1,20⋅10 −1 ) = (1,44⋅10 −2 ).

Ve formátu s pevným bodem bychom dostali nucené zaokrouhlení

0,120 × 0,120 = 0,014.

Ztratili jsme číslici úplně vpravo, protože tento formát neumožňuje, aby čárka „plula“ podél položky čísla.

Rozsah čísel reprezentovatelných ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou

Rozsah čísel, která lze zapsat tímto způsobem, závisí na počtu bitů přidělených k reprezentaci mantisy a exponentu. Na typickém 32bitovém počítači používajícím dvojitou přesnost (64 bitů) je mantisa 1 bit znaménko + 52 bitů, exponent je 1 bit znaménko + 10 bitů. Získáme tak rozsah přesnosti přibližně od 4,94⋅10 −324 do 1,79⋅10 308 (od 2 −52 × 2 −1022 do ~1 × 2 1024 ). (nebo od 3,7⋅10 -1126 do 9,99⋅10 1091 ). Ve standardu IEEE 754 je několik hodnot tohoto typu vyhrazeno, aby bylo možné reprezentovat speciální hodnoty. Patří mezi ně hodnoty NaN (Not a Number) a +/-INF (Infinity ) vyplývající z dělení nulovými operacemi nebo při překročení číselného rozsahu. Jsou zde také zahrnuta denormalizovaná čísla , která mají mantisu menší než jedna. Specializovaná zařízení (jako GPU ) často postrádají podporu pro speciální čísla. Existují softwarové balíčky, ve kterých je množství paměti přidělené pro mantisu a exponent nastaveno programově a je omezeno pouze množstvím dostupné paměti počítače (viz Arbitrary precision aritmetika ).

Přesnost	Singl	Dvojnásobek	Rozšířené
Velikost (bajty)	čtyři	osm	deset
Počet desetinných míst	~7.2	~15.9	~19.2
Nejmenší hodnota (>0), denorm	1,4⋅10 −45	4,9⋅10 −324	3,7⋅10 −1126
Nejnižší hodnota (>0), normální	1,2⋅10 −38	2,3⋅10 −308	1⋅10 −1091
Nejvyšší hodnota	3,4×10 +38	1,7×10 +308	9,9×10 +1091
pole	SEF	SEF	SEIF
Velikosti okrajů	1-8-23	1-11-52	1-15-1-63

S - znaménko, E - exponent, I - celočíselná část, F - zlomková část
Stejně jako u celých čísel je nejvýznamnější bit znaménkový bit.

Stroj epsilon

Na rozdíl od čísel s pevnou řádovou čárkou není mřížka čísel, kterou může aritmetika s plovoucí řádovou čárkou zobrazit, jednotná: je hustší pro čísla s malými exponenty a řidší pro čísla s velkými exponenty. Ale relativní chyba zápisu čísel je stejná pro malá čísla i pro velká. Stroj epsilon je nejmenší kladné číslo ε takové, že (znaménko značí sčítání stroje). Zhruba řečeno, čísla a a b korelují tak , že stroj nerozlišuje. $1\oplus \varepsilon \neq 1$ $\oplus$ $1<{\frac ab}<1+\varepsilon$

Pro jednoduchou přesnost , tj. přibližně 7 platných číslic . Pro dvojnásobnou přesnost: , 15 platných číslic [1] . $\varepsilon =2^{-24}\cca 5,96\cdot 10^{-8}$ ${\displaystyle \varepsilon =2^{-53}\cca 1,11\cdot 10^{-16))$

Viz také

Poznámky

↑ E. Cheney, David Kincaid. Numerická matematika a výpočetní technika. — Cengage Learning, 2012. — 43– s. — ISBN 1-133-71235-5 .

Literatura

Krinitsky N. A., Mironov G. A., Frolov G. D. Programování. - M. : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1963. - 384 s.
Henry S. Warren, Jr. Kapitola 15. Čísla s pohyblivou řádovou čárkou // Algoritmické triky pro programátory = Hacker's Delight. - M .: Williams , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .

Odkazy

Co potřebujete vědět o aritmetice s pohyblivou řádovou čárkou

Typy dat
Neinterpretovatelné	Bit Okusovat Byte qubit Zacházet Vlastnost Slovo
Numerický	Celý pevný bod plovoucí bod Racionální Komplex Dlouho časový úsek
Text	Symbolický Tětiva
Odkaz	Adresa Odkaz Ukazatel Obal
Kompozitní	Algebraický datový typ ( generický ) Třída Typový produkt ( Write Tuple struktura ) Objekt Konsolidace ( označeno ) Objednaný pár
abstraktní	pole Seznam Otočit se Zásobník Asociativní pole (displej, mapa ) Hodně multiset Typ Graf
jiný	Logický Dolní Vyšší Polymorfní Funkční spočítatelný Sbírka Výjimka Rod ( metatřída ) Monad Semafor Tok prázdnota
související témata	Abstraktní datový typ primitivní typ Datová struktura Obecný typ proměnné Rozhraní Konstruktor (OOP) konstruktér (FP) Typový konstruktor Typové odlévání Prototyp Typový systém