Poziční číselný systém

Poziční číselný systém ( poziční, lokální číslování ) je číselný systém, ve kterém hodnota každého číselného znaku ( číslice ) v číselném záznamu závisí na jeho pozici ( číslici ) vzhledem k oddělovači desetinných míst . Polohové systémy oproti jiným umožňují výrazně zjednodušit algoritmy pro provádění aritmetických operací a zrychlit výpočty. Jejich vznik a rozšíření hrálo velkou roli v rozvoji exaktních věd - matematiky , astronomie a fyziky .

Číselné soustavy v kultuře
Indoarabština
Arabská tamilská barmština	Khmer Lao Mongol Thai
východní Asiat
Čínský Japonec Suzhou Korejský	Vietnamské počítací tyčinky
Abecední
Abjadia arménská Aryabhata azbuka Řek	Gruzínský etiopský židovský Akshara Sankhya
jiný
Babylonian Egyptian Etruscan Roman Danubian	Attic Kipu Mayské Egejské KPPU Symboly
poziční
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-poziční
symetrický
smíšené systémy
Fibonacci
nepoziční
jednotné číslo (unární)

Historie

Historicky první vynález pozičního číslování založeného na místním významu čísel je připisován Sumerům a Babyloňanům . Bez ohledu na euroasijské civilizace byl vigesimální poziční číselný systém vynalezen mayskými Indiány . V pozdějším období takové číslování vyvinuli hinduisté a mělo nedozírné důsledky v historii civilizace . Mezi tyto soustavy patří soustava desítkových čísel , jejíž vznik je spojen s počítáním na prstech . Ve středověké Evropě se objevila prostřednictvím italských obchodníků, kteří si ji zase vypůjčili od Arabů.

Definice

Poziční číselná soustava je definována celým číslem , nazývaným základ číselné soustavy. Číselná soustava se základem se také nazývá -ary (zejména binární , ternární , desítková , atd.). $b > 1$ $b$ $b$

Celé číslo bez znaménka v -arym číselné soustavě je reprezentováno jako konečná lineární kombinace mocnin čísla [1] : $X$ $b$ $b$

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, kde jsou celá čísla, nazývaná číslice , splňující nerovnost

\a_k

0 \leq a_k \le b-1.

Každý základní prvek v takovém zobrazení se nazývá číslice ( pozice ), seniorita číslic a jim odpovídajících číslic je určena číslem číslice (pozice) (hodnota exponentu). $\b^k$ $\k$

Pomocí pozic v -ary číselné soustavě můžete psát celá čísla v rozsahu od do , tzn. všechna různá čísla. $n$ $b$ $0$ $b^n-1$ $b^n$

Psaní čísel

Pokud neexistují žádné nesrovnalosti (například když jsou všechny číslice uvedeny ve formě jedinečných písemných znaků), je číslo zapsáno jako posloupnost vlastních číslic seřazených v sestupném pořadí podle priority číslic zleva doprava [1 ] : $X$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{0}.

V nenulových číslech se obvykle úvodní nuly vynechávají. $X$

Chcete-li psát čísla v číselných soustavách se základem do 36 včetně, arabské číslice (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) a poté písmena latinské abecedy (a , b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). V tomto případě a = 10, b = 11 atd., někdy x = 10.

Při práci s několika číselnými soustavami současně se pro jejich rozlišení základ soustavy obvykle označuje jako dolní index, který se zapisuje v desítkové soustavě:

123_{10}

je číslo 123 v desítkovém zápisu ;

173_8

- stejné číslo v osmičkové číselné soustavě ;

1111011_2

- stejné číslo, ale ve dvojkové soustavě ;

0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD}

- stejné číslo, ale v desítkové soustavě čísel s binárním kódováním desetinných číslic ( BCD );

11120_{3N}

- stejné číslo, ale v asymetrické ternární číselné soustavě ;

1iiii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S}

- stejné číslo, ale v symetrické ternární číselné soustavě znaménka "i", "7", "2" a "−" označují "-1", znaménka "1" a "+" označují "+1" .

V některých speciálních oblastech platí zvláštní pravidla pro upřesnění základu. Například v programování se hexadecimální systém označuje:

v assembleru a obecných zápisech nevázaných na konkrétní jazyk písmeno h (od h exadecimální) na konci čísla (syntaxe Intelu);
v Pascalu znak "$" na začátku čísla;
v C a mnoha dalších jazycích na začátku kombinace 0x nebo 0X (z he x desítkové).

V některých dialektech jazyka C se analogicky s „0x“ používá předpona „0b“ k označení binárních čísel (zápis „0b“ není zahrnut ve standardu ANSI C ).

V ruských účtech se pro zápis čísel v desítkovém exponenciálním pozičním číselném systému používá systém unárního desítkového záznamu (reprezentace) pro desetinné číslice s jednou nadbytečnou unární desetinnou číslicí „1111111111“ = 10_ 10 pro každou číslici.

Příklady

2 - binární ( v diskrétní matematice , informatice , programování )
3 - ternární číselná soustava
4 - kvartérní číselná soustava
7 - přepážka (v hudbě k označení jmen not) [2]
8 - osmičková (v programování )
10 - desítková číselná soustava
12 - duodecimální (ve starověku široce používané, v některých soukromých oblastech se používá dodnes)
16 - hexadecimální (nejběžnější v programování , stejně jako ve fontech )
20 - vigezimal (používali Mayové a Aztékové )
40 - čtyřiceti číselný systém (používaný ve starověku: zejména „čtyřicet čtyřicet“ = 1600)
60 - sexagesimální (používané ve starověkém Babylonu a později starověkými řeckými astronomy k měření úhlových souřadnic hvězd ( zeměpisná délka a šířka ) a k měření času). A dnes se používá při měření denní doby.
100 -setinový číselný systém (používaný v jazyce Ithkuil ) .

Vlastnosti

Poziční číselný systém má řadu vlastností:

Samotný základ číselné soustavy se vždy zapisuje jako 10; například v binární soustavě 10 znamená číslo 2. Toto tvrzení neplatí pro unární číselnou soustavu , která používá pouze jednu číslici.
K zápisu čísla x v b -ární číselné soustavě jsou vyžadovány číslice, kde znamená převzetí celé části čísla. $\lfloor\log_b x\rpatro + 1$ $\lpodlaha\cdot\rpodlaha$
Čísla zapsaná v poziční číselné soustavě můžete porovnávat bit po bitu poté, co je sečtete s úvodními nulami na stejnou délku. V tomto případě jde srovnání od nejvýznamnější číslice k nejmladší, dokud číslice v jednom čísle není větší než odpovídající číslice ve druhém. Chcete-li například porovnat čísla 321 a 312 v desítkové soustavě čísel, číslice na stejných číslicích se porovnávají zleva doprava:
- 3 = 3 - výsledek porovnávání čísel v tomto kroku není definován;
- 2 > 1 - první číslo je větší (bez ohledu na zbývající číslice).

Přirozené pořadí čísel tedy odpovídá lexikografickému pořadí jejich položek v pozičním číselném systému za předpokladu, že tyto položky jsou doplněny o stejnou délku úvodními nulami.

Aritmetické operace s čísly. Poziční číselná soustava umožňuje snadno provádět sčítání, odčítání, násobení, dělení a dělení se zbytkem čísel, přičemž znáte pouze tabulku sčítání jednociferných čísel a pro poslední tři operace i tabulku násobení v odpovídající soustavě ( viz např. dělení sloupcem ).

Ekonomika

V digitální technologii je základní číselný systém implementován registry , které se skládají ze sad klopných obvodů , z nichž každý může nabývat různých stavů, které kódují číslice čísla. Přitom je obzvláště důležitá hospodárnost číselné soustavy - schopnost reprezentovat co nejvíce čísel s použitím co nejmenšího celkového počtu znaků. [1] Pokud je počet spouštěčů , pak celkový počet znaků je , respektive počet čísel, která představují, je . Jako funkce , tento výraz dosahuje svého maxima při stejném čísle e = 2,718281828… . [3] U celočíselných hodnot je maxima dosaženo pro . Nejekonomičtější je tedy ternární číselný systém (používaný v ternárních počítačích ), následovaný binárním systémem (tradičně používaným ve většině běžných počítačů) a kvartérním. $b$ $b$ $r$ $m=r\cdot b$ $b^r=b^{\frac{m}{b))$ $b$ $b$ $b$ $b = 3$

Účinnost číselné soustavy je důležitou okolností z hlediska jejího použití v počítači. Ačkoli tedy použití ternárního systému místo binárního v počítači s sebou nese určité konstrukční potíže (v tomto případě je nutné použít prvky, z nichž každý může být ve dvou, ale třech stabilních stavech), tento systém již byl použit [4] v některých reálných výpočetních zařízeních. [jeden]S. V. Fomin

Ekvivalentní popis ekonomiky číselné soustavy lze získat pomocí konceptu informační entropie . Za podmínky ekvipravděpodobnosti výskytu každé z číslic v záznamu čísla nabývá informační entropie záznamu n -bitového čísla v číselné soustavě se základem b hodnoty (až do konstantního koeficientu ). Hustota záznamu (tj. množství informací na bit) čísel v číselné soustavě se základem b je tedy rovna , což také nabývá maximální hodnoty v b = e , a pro celočíselné hodnoty b - při b = 3. $n\tfrac{\ln b}{b}$ $\tfrac{\ln b}{b}$

Změnit na jiný základ

Převést na desítkovou číselnou soustavu

Pokud je celé číslo v -ary číselné soustavě rovno $b$

a_{n}\;a_{n-1}\ldots \;a_{1}\;a_{0},

pak pro převod do desítkové soustavy vypočítáme následující součet : [5]

\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b^{k}=a_{n}\cdot b^{n}+a_{n-1}\cdot b^{ n-1}+\ldots +a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}\cdot b^{0},

nebo jako Hornerův diagram :

((\ldots (a_{n}\cdot b+a_{n-1})\cdot b+a_{n-2})\ldots )\cdot b+a_{0}.

Například:

{\begin{alignedat}{2}101100_{2}&=1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^ {2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=\\&=32+8+4=44.\\\end{alignedat}}

Podobné akce probíhají také u dílčí části: $0{,}011_{2}=0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=0+0{,}25+ 0{,}125=0{,}375.$

Desetinný překlad

celá část

Postupně ( iterativně ) rozdělte celočíselnou část desetinného čísla základem se zbytkem, dokud se desetinné číslo (soukromé) nestane nulou.
Zbytky získané dělením jsou číslice požadovaného čísla. Číslo v novém systému se zapisuje od posledního zbytku. [5] [6]

Zlomková část

Desetinnou část desetinného čísla vynásobíme základem soustavy, do které chcete překládat, a celou část oddělíme. Pokračujeme v násobení zlomkové části základem nového systému a oddělujeme celočíselnou část, dokud nebude číslo přesně 0.
Zlomkové číslice v novém číselném systému jsou celočíselné části získané v prvním kroku, které se snižující se senioritou od nejvýznamnější číslice zlomkové části jdou v pořadí, v jakém byly a byly přijaty.

Poznámka . Někdy při překladu zlomkového racionálního čísla z desítkové soustavy pomocí takových algoritmů lze získat nekonečný periodický zlomek: například . Chcete-li najít období, musíte provést iterace popsané v prvním odstavci a pochopit, zda se vyskytuje stejná zlomková část jako před několika iteracemi [7] . (Pravidelné zlomky v různých číselných soustavách jsou napsány níže .) $0{,}36=0{,}(2343)_{7}$

Příklady

$44_{10}$ Převedeme na binární:

44 děleno 2. kvocient 22, zbytek 0 22 děleno 2. podíl 11, zbytek 0 11 děleno 2. podílem 5, zbytek 1 5 děleno 2. podíl 2, zbytek 1 2 děleno 2. podíl 1, zbytek 0 1 děleno 2. podíl 0, zbytek 1

Kvocient je nula - dělení skončilo. Nyní, když všechny zbytky zapíšeme zdola nahoru, dostaneme číslo $101100_{2}.$

Pro zlomkovou část vypadá algoritmus takto:

Vynásobte 0,625 číslem 2. Zlomková část je 0,250. celý díl 1. Vynásobte 0,250 2. Zlomková část je 0,500. Celá část 0. Vynásobte 0,500 dvěma. Zlomková část je 0,000. celý díl 1.

Takto, $0{,}625=0{,}101_{2}.$

Převod z dvojkové soustavy na osmičkovou a šestnáctkovou

Pro tento typ operace existuje zjednodušený algoritmus. [osm]

Celá část

Pro osmičkové číslo rozdělíme přeložené číslo na počet číslic rovnající se mocnině 2 (2 se zvýší na mocninu, která je nutná k získání základu systému, do kterého chcete přeložit (2³ \u003d 8), v tento případ 3, tedy triády). Transformujme triády podle tabulky trojic:

000 - 0; 100 - 4; 001 - 1; 101-5; 010 - 2; 110-6; 011 - 3; 111-7.

Pro hexadecimální číslo rozdělíme přeložené číslo na počet číslic rovnající se mocnině 2 (2 se zvýší na mocninu, která je nutná k získání základu systému, do kterého chcete přeložit (2 4 \u003d 16), v tomto případě 4, tedy tetrády). Převedeme tetrády podle tabulky tetrád:

0000 - 0; 0100 - 4; 1000 - 8; 1100 °C; 0001 - 1; 0101 - 5; 1001 - 9; 1101 - D; 0010 - 2; 0110 - 6; 1010 - A; 1110 - E; 0011 - 3; 0111 - 7; 1011 - B; 1111-F.

Příklad:

převod 101100 2 osmičkové číslo - 101 100 → 54 8 šestnáctkové číslo - 0010 1100 → 2C 16 Zlomková část

Převod zlomkové části z binární číselné soustavy na číselné soustavy se základy 8 a 16 se provádí přesně stejným způsobem jako u celočíselných částí čísla, s jedinou výjimkou, že členění na oktávy a tetrády jde do vpravo od desetinné čárky jsou chybějící číslice doplněny nulami vpravo. Například číslo 1100.011 2 diskutované výše bude vypadat jako 14,3 8 nebo C.6 16 .

Převod z osmičkové a šestnáctkové soustavy na binární [8]

Pro tento typ operace existuje také zjednodušený algoritmus, opak výše uvedeného algoritmu.

U osmičky převádíme podle tabulky na trojky:

0 000 4 100 1001 5101 2010 6 110 3011 7111

U šestnáctkové soustavy převádíme podle tabulky na kvartety:

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Příklad:

přeměnit 54 8 → 101 100 2 2C 16 → 0010 1100 2

Variace a zobecnění

Zápis racionálních čísel

Racionální číslo v -ární číselné soustavě je reprezentováno jako lineární kombinace (obecně řečeno nekonečná) mocnin čísla : $X$ $b$ $b$

x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k= 1}^{\infty} c_k b^{-k}

kde - číslice celé části (před oddělovačem ), - číslice zlomkové části (za oddělovačem), - počet číslic celé části. $a_{k}$ $c_{k}$ $n$

Pouze racionální čísla, která mohou být reprezentována ve tvaru , kde a jsou celá čísla, tedy ta, která po vynásobení základem v konečném počtu iterací mohou získat celé číslo, mohou mít v -arym číselném systému konečný zápis : $b$ $\frac{q}{b^m}$ $m$ $q$ $b$

\frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{ n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},

kde a jsou -ary položky, v tomto pořadí , podílu a zbytku dělení . $(a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b$ $(c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b$ $b$ $q$ $b^m$

Racionální čísla, která nemohou být reprezentována ve formě , jsou psána jako periodické zlomky . $\frac{q}{b^m}$

Symetrické číselné soustavy

Symetrické (vyvážené, znaménko-číslicové) základní číselné soustavy se liší v tom, že nepoužívají čísla z množiny , ale z množiny , kde se, zhruba řečeno, všechna čísla „odrážejí“ vzhledem k nule. Aby čísla byla celá čísla, musí být lichá. V symetrických číselných systémech není pro znaménko čísla vyžadován žádný další zápis. [9] Výpočty v symetrických systémech jsou navíc pohodlné, protože nejsou vyžadována žádná speciální pravidla zaokrouhlování – zaokrouhlování na nejbližší celé číslo se redukuje na pouhé zahození extra bitů, což výrazně snižuje systematické chyby ve výpočtech. $b$ $\{0,1,\ldots ,b-1\}$ $\left\{0-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),1-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),\ ldots ,(b-1)-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right)\right\},$ $b$ $b$

Nejčastěji se používá symetrický číselný ternární číselný systém . Používá se v ternární logice a byl technicky implementován v počítači Setun . ${\displaystyle \{-1,0,1\))$

Záporné báze

Existují poziční systémy se zápornými bázemi nazývané nepoziční :

−2 - nebinární číselná soustava ;
−3 — nega-ternární číselná soustava;
−10 — soustava nega-desetinných čísel.

Neceločíselné základy

Někdy se uvažují i poziční číselné soustavy s neceločíselnými základy: racionální , iracionální , transcendentální .

Příklady takových číselných soustav jsou:

s b = ⅓ - číselný systém s racionálním zlomkovým základem, umožňuje provádět operace násobení a dělení celými čísly na ternárních reverzních posuvných registrech ,
pro b = ½ - číselná soustava s racionálním zlomkovým základem ,
s b = φ = 1,61… - Bergmanův číselný systém s iracionálním základem rovným „ zlatému řezu “. [deset]

Komplexní báze

Základem pozičních číselných soustav mohou být i komplexní [11] [12] čísla. Zároveň čísla v nich nabývají hodnot z nějaké konečné množiny , která splňuje podmínky umožňující provádět aritmetické operace přímo s reprezentacemi čísel v těchto číselných soustavách.

Zejména mezi pozičními číselnými soustavami se složitými bázemi lze rozlišit binární, ve kterých se používají pouze dvě číslice 0 a 1.

Příklady

Dále zapíšeme poziční číselnou soustavu v následujícím tvaru , kde je základ číselné soustavy a A je množina číslic. Konkrétně množina A může vypadat takto: $\langle \rho,A \rangle$ $\rho$

$B_R = \{ 0, 1, 2,\tečky, R-1 \},$
$D_R = \{-r_1,-r_1+1,\tečky, -1,0,1,\tečky,r_2-1,r_2 \},$ kde a . Když se sada změní na sadu . $r_1, r_2\geq 0$ $R=r_1+r_2+1$ $r_1=0$ $D_R$ $B_R$

Příklady číselných soustav se složitými základy jsou (dále j - imaginární jednotka ):

$\langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.$ [12]
- Příklad: $\langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;$
$\langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.$ [jedenáct]
- Příklad: $\langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;$
$\langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;$ [13]
$\langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle,$ kde , je kladné celé číslo, které může nabývat několika hodnot pro dané R ; [čtrnáct] $\varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}$ $\beta<\min\{ R, 2\sqrt{R}\}$
$\langle\rho=-R, A_R^2 \rangle,$ kde množina se skládá z komplexních čísel tvaru , a čísel Například: [13] $A_R^2$ $r_m=\alpha_m^1 + j\alpha_m^2$ $\alpha_m \v B_R.$ $\langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;$
$\langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle,$ kde . [patnáct] $\rho_2=\begin{cases}(-2)^{1/2} & \mbox{if}\ m\ \mbox{even},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{if}\ m\ \mbox{liché}.\end{cases}$

Binární komplexní číselné soustavy

Následují základy binárních pozičních číselných soustav a reprezentace čísel 2, −2 a −1 v nich:

$\rho=2$ : (číselná soustava s přirozeným základem); $2=(10)_{\rho}$
$\rho=-2$ : , , (nepoziční číselná soustava); $2=(110)_{\rho}$ $-2=(10)_{\rho}$ $-1=11_{\rho}$
$\rho=-\rho_2$ : , , (číselná soustava se složeným základem); $2=(10100)_{\rho}$ $-2=(100)_{\rho}$ $-1=101_{\rho}$
$\rho=j\sqrt{2}$ : , , (číselná soustava se složeným základem); $2=(10100)_{\rho}$ $-2=(100)_{\rho}$ $-1=(101)_{\rho}$
$\rho=-1+j$ : , , (číselná soustava se složeným základem); $2=(1100)_{\rho}$ $-2=(11100)_{\rho}$ $-1=(11101)_{\rho}$
$\rho ={\frac {-1+j{\sqrt {7}}}{2}}$ : , , (číselná soustava se složitým základem). $2=(1010)_{\rho}$ $-2=(110)_{\rho}$ $-1=(111)_{\rho}$

Neexponenciální číselné soustavy

Exponenciální číselné soustavy jsou speciálním případem pozičních číselných soustav s exponenciální závislostí . Místo exponenciální závislosti mohou existovat jiné závislosti. Například poziční číselný systém hyperoperátorů

{\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ )) \quad { \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a))))} \nahoře {b\mbox{krát))} \quad {=a\to b\to 2 \nahoře {\ } }

umožňuje psát větší rozsahy čísel se stejným počtem znaků.

Poznámky

↑ 1 2 3 4 S. V. Fomin . Číselné soustavy . — M .: Nauka, 1987. — 48 s. - ( Populární přednášky o matematice ). ( alternativní odkaz Archivováno 2. června 2013 na Wayback Machine )
↑ Bityukov Sergej. 13 zvuků a intervalů. Jejich vnímání a označení. Frety deviace a modulace (ruština) ? . Habr (7. srpna 2021). Získáno 26. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 12. srpna 2021. (neurčitý)
↑ Hayes, Briane. Třetí základna (anglicky) // American Scientist :časopis. - 2001. - Sv. 89 , č. 6 . - S. 490-494 . doi : 10.1511 / 2001.40.3268 .
↑ Viz Ternární počítač .
↑ 1 2 Převod čísel z jednoho číselného systému do jiného online . matworld.ru _ Získáno 8. května 2021. Archivováno z originálu dne 9. května 2021. (neurčitý)
↑ Kapitola 4 - Aritmetické základy počítačů . mif.vspu.ru _ Získáno 8. května 2021. Archivováno z originálu dne 19. února 2020. (neurčitý)
↑ Překlad zlomkových čísel z jedné číselné soustavy do druhé - lekce. Informatika, třída 11. . www.yaklass.ru _ Získáno 8. května 2021. Archivováno z originálu dne 8. května 2021. (Ruština)
↑ 1 2 Převod čísel z binárních na osmičkové a šestnáctkové a naopak . www.5byte.ru _ Získáno 8. května 2021. Archivováno z originálu dne 15. května 2021. (neurčitý)
↑ S. B. Gaškov. Číselné soustavy a jejich aplikace . - 2004. - 52 s. - ( Knihovna "Matematická výchova" ). — ISBN 5-94057-146-8 . Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 8. března 2008. Archivováno z originálu 12. ledna 2014. (neurčitý)
↑ Systém A. V. Nikitin Bergman Archivní kopie ze dne 5. května 2009 na Wayback Machine .
↑ 1 2 Khmelnik S. I. Specializovaný digitální počítač pro operace s komplexními čísly // Problémy radioelektroniky. - 1964. - T. XII , vydání. 2 . (nedostupný odkaz)
↑ 1 2 Knuth DE Imaginární číselný systém // Komunikace ACM. - 1960. - V. 3 , č. 4 . - S. 245-247 . - doi : 10.1145/367177.367233 .
↑ 1 2 Khmelnik S.I. Kódování komplexních čísel a vektorů . — Matematika v počítačích. - Izrael, 2004. - ISBN 978-0-557-74692-7 .
↑ Khmelnik S. I. Poziční kódování komplexních čísel // Problémy radioelektroniky. - 1966. - T. XII , vydání. 9 . (nedostupný odkaz)
↑ Khmelnik S.I. Metoda a systém pro zpracování komplexních čísel . - Patent USA, US2003154226 (A1). — 2001.

Odkazy

I. Yaglom. Číselné soustavy // Kvant . - 1970. - č. 6 . - S. 2-10 .
Poziční číselné soustavy. Překlad čísel z jedné poziční číselné soustavy do druhé. Aritmetické operace s čísly v pozičních číselných soustavách // Úvod do informatiky. Laboratorní práce / Avt.-sost. A. P. Šestakov. - Trvalá: Trvalá. un-t., 1999.
Pospelov D. A. Aritmetické základy počítačů s diskrétní akcí. - Postgraduální škola. — 1970.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)