4-gradientní

4-gradient ( čtyř-gradient , čtyři -gradient , 4 - nabla ; označeno D nebo ) ve speciální teorii relativity je 4-vektorový diferenciální operátor v pseudoeuklidovském Minkowského prostoru , definovaný jako [1] ${\displaystyle \nabla _{\mu ))$ $\partial_{\mu}$

\partial _{\mu }=\nabla _{\mu }=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t)),\;{\vec {\nabla ))\ right)=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t)),\;{\frac {\partial }{\partial x)),\;{\frac {\partial }{\ částečné y)),\;{\frac {\částečné }{\částečné z))\;\right),

kde je vektor 3 gradientů . Je třeba poznamenat, že kovariantní složky 4-vektorového operátoru jsou napsány výše. Kontravariantní složky lišící se znaménkem mínus před prostorovými složkami se zřídka používají, například pro výpočet druhé mocniny 4-gradientu [1] (zde a níže - metrický tenzor ; Einsteinova konvence o sčítání přes opakované souřadnicové indexy je použitý). ${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x)),\;{\frac {\partial }{\partial y)),\;{\frac {\partial }{\partial z))\;\right)$ $\partial ^{\mu }=\nabla ^{\mu }=g^{\mu \nu }\nabla _{\nu }=\left({\frac {\partial }{c\,\ částečné t)),\;-{\vec {\nabla }}\right),$ $g^{\mu \nu }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$

Pokud vypočítáme skalární součin D sám o sobě (vzhledem k tomu, že Minkowského prostor je pseudo -euklidovský), dostaneme skalární 4-rozměrný d'Alembertův operátor :

\square =D\cdot D=g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }=\částečné ^{\nu }\částečné _{\nu }={ \frac {\částečná ^{2}}{c^{2}\částečná t^{2}}}-\Delta ={\frac {\částečná ^{2}}{c^{2}\částečná t^ {2}}}-{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x^{2}}}-{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné y^{2}}}- {\frac {\částečné ^{2}}{\částečné z^{2}}}\;,

kde Δ je Laplaceův operátor .

Dalším způsobem, jak označit 4-gradient, je čárka před souřadnicovým indexem. Pokud je tedy a skalár, pak jeho 4-gradient

\partial _{\mu }a=a_{\;,\mu }\;.

Bodový součin 4-gradientového vektoru (vlevo) a 4-vektoru definuje 4-divergenci :

D\cdot A=\partial _{\mu }A^{\mu }=A_{\;,\mu }^{\mu }={\frac {\partial A_{t)){c\ ;\částečné t))+{\frac {\částečné A_{x)){\částečné x))+{\frac {\částečné A_{y)){\částečné y))+{\frac {\částečné A_ {z}}{\částečné z}}={\frac {\částečné A_{t}}{c\;\částečné t}}+\nabla \mathbf {A} ,

kde jsou kontravariantní komponenty 4-vektoru a je divergence . $A^{\mu }=\{A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\}=\{A_{t},\mathbf {A} \}$ $\nabla \mathbf {A}$

Symbol (a někdy ) se také používá jako kovariantní derivace v křivočarých souřadnicích : ${\displaystyle D_{\mu ))$ ${\displaystyle \nabla _{\mu ))$

D_{\mu }A^{\nu }=\částečné _{\mu }A^{\nu }+\Gamma _{\alpha \mu }^{\nu }A^{\alpha },

kde jsou Christoffelovy symboly . V kartézských souřadnicích euklidovského (pseudoeuklidovského) prostoru jsou Christoffelovy symboly nulové a kovariantní derivace se shoduje se 4-gradientem. Kovariantní derivace skaláru se shoduje se 4-gradientem, bez ohledu na křivočarost souřadnic: ${\displaystyle \Gamma _{\alpha \mu }^{\nu ))$

D_{\mu }a=\partial _{\mu }a.

Odkazy

S. Hildebrandt, "Analýza II" (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6 , 2003.
LC Evans, "Parciální diferenciální rovnice", AMSociety, Grad. Studies Vol. 19, 1988.
JD Jackson, "Klasická elektrodynamika", kapitola 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X .

Poznámky

↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. - M .: Nauka , 1988. - S. 37. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .