4-zrychlení

4-zrychlení (čtyř-zrychlení, čtyř-zrychlení) v relativistické kinematice je čtyřvektor , který zobecňuje klasické zrychlení a je definován jako derivace 4-rychlosti s ohledem na správný čas částice:

{\mathbf {A}}={\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\tečka \gamma }_{u}c,\ quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf a}+\gamma _{u}{\tečka \gamma }_{u}{\mathbf u}\right)=\left(\gamma _{u }^{4}{\frac {({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}})}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf {a }}+\gamma _{u}^{4}{\frac {\left({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}}\right)}{c^{2}}}{\ mathbf{u}}\right),

kde

{\mathbf a}={d{\mathbf u} \over dt}

- 3-zrychlení,

{\boldsymbol {\beta }}={\mathbf {u}}/c

- bezrozměrná 3rychlostní,

{\dot \gamma }_{u}={\frac {{\mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {{ \mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right )^{{3/}}}}

a je Lorentzův faktor pro 3-rychlostní u . Tečka nad proměnnou znamená derivaci s ohledem na souřadnicový čas v daném referenčním rámci, nikoli s ohledem na správný čas $\gamma _{u}$ $\tau .$

V okamžitě se pohybující inerciální vztažné soustavě , a to je v takové vztažné soustavě ${\mathbf u}=0,$ $\gamma _{u}=1$ ${\tečka \gamma }_{u}=0,$

{\mathbf {A}}=\left(0,{\mathbf a}\right).

Geometricky je 4-zrychlení vektorem zakřivení světové čáry [1] [2] .

Modul 4-zrychlení (což je invariantní skalární) se tedy rovná vnitřnímu zrychlení , které „pociťuje“ částice pohybující se podél své světočáry . Světové čáry, které mají konstantní 4-zrychlení, jsou Minkowského kružnice, tedy hyperboly (viz hyperbolický pohyb ).

Dokonce i při relativistických rychlostech souvisí 4-zrychlení se 4-silou působící na částici podle vzorce, který zobecňuje Newtonův klasický druhý zákon :

F^{\mu }=mA^{\mu };

zde m je hmotnost částice.

Skalární součin 4-rychlosti a odpovídajícího 4-zrychlení je vždy nulový. Je snadné to vidět, když odlišíme identitu s ohledem na správný čas: Čtyřnásobné zrychlení a odpovídající s ním spojená čtyřnásobná síla působící na částici jsou tedy vždy ortogonální k její čtyřnásobné rychlosti (a 4-hybnost ve společné režii s 4-velocity ) - na rozdíl od klasické mechaniky. ${\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv c^{2}$ ${\frac {d}{d\tau }}({\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}})=2{\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau } }\cdot {\mathbf {U}}=2{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.$ $p^{\mu }=mU^{\mu }$

V obecné relativitě jsou složky čtyřvektorového zrychlení ve vztahu ke složkám čtyřrychlosti prostřednictvím kovariantní derivace s ohledem na správný čas.

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}U^{\mu }U^{\nu }

( Γ λ μν jsou Christoffelovy symboly ).

Ve speciální teorii relativity jsou souřadnice obvykle vyjádřeny v přímočaré inerciální vztažné soustavě, takže termín s Christoffelovými symboly mizí, ale někdy, když autoři používají k popisu zrychleného systému křivočaré souřadnice, není vztažná soustava inerciální, ale fyzikální stále zůstává speciální relativistickou, protože metrika je jednoduše transformací souřadnic Minkowského prostorové metriky . V takovém případě by měl být použit výše uvedený výraz, protože zde nejsou všechny Christoffelovy symboly nula.

Když je 4-síla nulová, na částici působí pouze gravitace a čtyřvektorová verze druhého Newtonova zákona (viz výše) se redukuje na geodetickou rovnici. Částice provádějící geodetický pohyb má nulovou hodnotu pro každou složku 4-vektoru zrychlení. To je v souladu se skutečností, že gravitace není síla.

Viz také

Poznámky

↑ Pauli W. Teorie relativity . — 1981 Dover. - BG Teubner, Lipsko, 1921. - S. 74 . — ISBN 978-0-486-64152-2 .
↑ Synge JL , Schild A. Tenzorový počet . — 1978 Dover. - University of Toronto Press , 1949. - S. 149, 153 a 170. - ISBN 0-486-63612-7 .

Literatura

Pauli W. Teorie relativity . — znovu publikoval v roce 1981 Dover. - BG Teubner, Lipsko, 1921. - ISBN 978-0-486-64152-2 .
Papapetrou A. Přednášky z obecné teorie relativity . — D. Reidel Publishing Company, 1974. - ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang. Úvod do speciální teorie relativity (2. ) . - Oxford: Oxford University Press, 1991. - ISBN 0-19-853952-5 .
Synge JL, Schild A. Tenzorový počet . — znovu publikoval v roce 1978 Dover. - University of Toronto Press , 1949. - ISBN 0-486-63612-7 .