H-princip

H-princip (čti popel-princip ) je obecný způsob řešení parciálních diferenciálních rovnic a obecněji parciálních diferenciálních vztahů. H-princip je dobrý pro nedostatečně určené systémy, jako jsou ty, které se objevují v problémech s ponořením , izometrické ponoření a další.

Tato teorie se zformovala v dílech Eliashberga , Gromova a Phillipse.

Základem byly dřívější výsledky, ve kterých bylo řešení diferenciálních vztahů redukováno na homotopii, zejména v problémech s imerzí.

První myšlenky h-principu se objevily ve Whitney-Graussteinově teorému , sphere everzní paradoxu , Nash-Kuiperově teorému a Smale-Hirschově teorému .

Přibližná prezentace

Řekněme, že chceme najít funkci , která splňuje parciální diferenciální rovnici stupně v souřadnicích . Tuto rovnici lze zapsat jako $F$ $\mathbb {R} ^{m}$ $k$ $(u_{1},u_{2},\tečky ,u_{m})$

\Psi (u_{1},u_{2},\tečky ,u_{m},J_{f}^{k})=0,

kde znamená všechny parciální derivace až do mocniny . Místo každé proměnné do dosadíme nezávislou proměnnou Naši původní rovnici lze považovat za systém ${\displaystyle J_{f}^{k))$ $F$ $k$ ${\displaystyle J_{f}^{k))$ $y_{1},y_{2},\tečky ,y_{N}.$

\Psi (u_{1},u_{2},\tečky ,u_{m},y_{1},y_{2},\tečky ,y_{N})=0

a množství rovnic následujícího typu

y_{j}={\částečné ^{k}f \over \částečné u_{i_{1}}\ldots \částečné u_{i_{k}}}.

Řešení rovnice

\Psi (u_{1},u_{2},\tečky ,u_{m},y_{1},y_{2},\tečky ,y_{N})=0

se nazývá formální nebo neholonomní řešení , řešení soustavy (které je řešením naší původní rovnice) se nazývá holonomní řešení .

Aby mohlo existovat holonomní řešení, musí existovat neholonomní řešení. Obvykle je to druhé poměrně snadné zkontrolovat, a pokud není, pak naše původní rovnice nemá řešení.

Říká se , že PDE splňuje h-princip , jestliže jakékoli neholonomní řešení může být deformováno na holonomní ve třídě neholonomních řešení. Když je tedy h-princip splněn, diferenciálně-topologický problém se redukuje na algebraický a topologický problém. Přesněji to znamená, že kromě topologických neexistují žádné další překážky pro existenci holonomních řešení. Topologický problém nalezení neholonomního řešení je obvykle mnohem jednodušší.

Mnoho podurčených parciálních diferenciálních rovnic vyhovuje h-principu.

Zajímavým tvrzením je také nenaplnění h-principu pro určitou rovnici, intuitivně to znamená, že zkoumané objekty mají netriviální geometrii, kterou nelze redukovat na topologii. Příkladem je Lagrangiánské vložení do symplektického manifoldu ; nesplňují h-princip, aby to dokázali, používají invarianty založené na pseudoholomorfních křivkách.

Nejjednodušší příklad

Představte si auto pohybující se v letadle. Poloha vozu v rovině je určena třemi parametry: dvěma souřadnicemi a (například tyto souřadnice určují polohu středu mezi zadními koly) a úhlem , který popisuje orientaci vozu. V pohybu vůz splňuje rovnici $X$ $y$ $\alpha$

{\tečka {x}}\sin \alpha ={\tečka {y}}\cos \alpha ,

za předpokladu, že se vozidlo pohybuje bez smyku.

Neholonomní řešení v tomto případě odpovídá pohybu vozu vlivem klouzání v rovině. V tomto případě jsou neholonomní řešení nejen homotopická k holonomním, ale jsou také libovolně dobře aproximována holonomními (toho lze dosáhnout pohybem tam a zpět, jako při paralelním parkování na omezeném prostoru) - všimněte si, že v v tomto případě jsou poloha i směr vozu aproximovány libovolně blízko. Druhá vlastnost je silnější než obecný h-princip; nazývá se to hustý h-princip . $C^{0}$

Aplikace

Zde je několik neintuitivních výsledků , které lze prokázat aplikací h-principu:

Obrácení kužele . [1] Uvažujme funkci f na R 2 bez počátku, . Pak existuje souvislá rodina funkcí s jedním parametrem , že , , a pro všechny je gradient v libovolném bodě nenulový. $f(x)=|x|$ $f_t$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$ $t$ $f_t$

Jakákoli otevřená varieta připouští (ne kompletní) Riemannovu metriku kladného (nebo záporného) zakřivení.

Obrácení koule bez zvrásnění nebo roztržení lze provést pouze pomocí izometrických kulových nástavců. $C^1$

Nashův teorém o pravidelném vkládání .

Poznámky

↑ Přednáška 27 v Tabachnikov S.L. Fuchs D.B. Matematická diverzifikace . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-731-7 . Archivováno 2. dubna 2016 na Wayback Machine

Literatura

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Úvod do h -principu . - M .: Moskevské centrum pro kontinuální matematické vzdělávání, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .
Gromov M. Diferenciální vztahy s parciálními derivacemi. - M .: Mir. - ISBN 5-03-001297-4 .
N. H. Kuiper, On C 1 -isometric embeddings // Matematika 1957, svazek 1, číslo 2, s. 17—28.
J. Nash, C 1 -isometric embeddings // Matematika 1957, ročník 1, číslo 2, s. 3—16.
M.W. Hirsch, Ponoření potrubí. Trans. amer. Matematika. soc. 93 (1959)
S. Smale, Klasifikace ponoření koulí do euklidovských prostorů. Ann. of Math(2) 69 (1959)
David Spring, Teorie konvexní integrace - řešení h-principu v geometrii a topologii, Monografie z matematiky 92, Birkhauser-Verlag, 1998